\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\id{\operatorname{id}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  12. cvičení z M1110 -- determinanty, vlastní čísla, podzim 2024}
\end{center}



 \bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
2&-1&0&3\\
1&0&-2&0\\
-1&1 &2&1\\
-3&-2&1&1
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }
 Pomocí řádkových úprav spočtěte determinant matice
 $$\begin{pmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c &c^2
\end{pmatrix}$$
 \end{zad}
 

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x&x&x&\dots&x&x\\
y&x&x&\dots&x&x\\
y&y &x&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
y&y&y&\dots&y&x\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } 
Vypočtěte determinant matice
$$\begin{pmatrix}
x+a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&x+a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
a_1&a_2&x+a_3&\dots&a_{n-1}&a_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
a_1&a_2&a_3&\dots&a_{n-1}&x+a_n\\
\end{pmatrix}.
$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } 
Vypočtěte determinant 
$$D(a_1, a_2,\dots,a_n)=\det \begin{pmatrix}
a_1+x&x&x&\dots&x&x\\
x&a_2+x&x&\dots&x&x\\
x&x &a_3+x&\dots&x&x\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
x&x&x&\dots&x&a_n+x\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\begin{navod} Pomocí řádkových úprav a Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah mezi $D(a_1,a_2.\dots, a_n)$ a $D(a_2, a_3, \dots, a_n)$.
\end{navod}


\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } 
Vypočtěte determinant 
$$D_n=\det \begin{pmatrix}
a+1&a&0&\dots&0&0\\
1&a+1&a&\dots&0&0\\
0&1 &a+1&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\dots&a+1&a\\
0&0&0&\dots&1&a+1\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}
\begin{navod} Pomocí Laplaceova rozvoje lze odvodit rekurentní vztah.
\end{navod}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení $\varphi :\R^3\to \R^3$
 zadaného předpisem 
$$\varphi(x)=\begin{pmatrix}
5&2&-3\\4&5&-4\\6&4&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$
\end{zad}


\begin{res} Vlastní čísla jsou $1$, $2$ a $3$. Příslušné vlastní vektory jsou  $(1,1,2)^T$,  $(1,0,1)^T$, $(1,2,2)^T$.
\end{res}




\end{document}

