\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\id{\operatorname{id}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  13. cvičení z M1110 -- inverzní matice, teoretické úlohy, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.}
Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
$$A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&3&1\\
3&1&2\\
\end{pmatrix}.$$
 \end{zad}
 

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru $n\times n$
$$\begin{pmatrix}
1&x&0&0&\dots&0&0\\
0&1&x&0&\dots&0&0\\
0&0 &1&x&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\dotsi&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\dots&1&x\\
0&0&0&0&\dots&0&1\\
\end{pmatrix}.$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.}
Nechť $U$ je množina všech matic $A \in \operatorname{Mat}_{2\times 2} (\R)$ ,
jejichž řádky jsou lineárně závislé. Zjistěte, zda je
$U$ vektorový podprostor ve vektorovém prostoru $\operatorname{Mat}_{2\times 2} (\R)$
Bod pouze za zdůvodnění.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.}
Uvažujme lineární zobrazení $\varphi :\R^{50}\to\operatorname{Mat}_{7\times 7}(\R)$
a  $\psi :\operatorname{Mat}_{7\times 7}(\R)\to \R^{60}$. Může být složené zobrazení $\psi\circ\varphi: \R^{50} \to \R^{60}$ prosté? Bod pouze za
zdůvodnění správné odpovědi.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.}
Napište předpis lineárního zobrazení $\varphi : \R^{20}\to \R_9 [x]$ 
$$\varphi(a_1 , a_2 , . . . , a_{20} ) =\dots$$
takového, že $\dim \operatorname{im}\varphi = 5$ a $\varphi(1, 0, 1, 0, 1, . . . , 1, 0) =x^5$.
Napište rovněž bázi obrazu.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.}
V prostoru $\R_1[x]$ uvažujme báze $\alpha = (p_1 , p_2 )$ a
$\beta = (q_1, q_2)$ . Najděte polynomy $q_1$ a  $p_2$ , jestliže
$p_1 (x) = 1-2x$ a  $q_2(x)= 3-2x$ a matice přechodu je
$$(\operatorname{id})_{\beta,\alpha} =
\begin{pmatrix} 2&-7\\
                               3&4
\end{pmatrix}.
$$

\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.}
Platí pro každé dvě reálné čtvercové matice $A$,  $B$ tvaru $n\times  n$ rovnost
$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ?$$
Svou odpověď zdůvodněte.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.}
Ve vektorovém prostoru $\R^2$ udejte příklad bází $\alpha$, $\beta$ takových, že matice přechodu je
$$(\operatorname{id})_{\beta,\alpha} =
\begin{pmatrix} 1&2\\
                               2&4
\end{pmatrix}.
$$
nebo dokažte, že neexistují.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.}
Nalezněte bázi $\alpha = (u_1 , u_2 , u_3 )$ vektorového prostoru $\R^3$ takovou, že souřadnice vektoru $v = (1, 0, 0)$ v bázi $\alpha$
jsou $(1, 1, 1)^T$  a souřadnice vektoru $z = (1, 1, 1)$ v bázi $\alpha$ jsou $(1, 0, 0)^T$ . Svou volbu zdůvodněte z definice souřadnic.
\end{zad}

\end{document}

