13. cvičení z Ml 110 - inverzní matice, teoretické úlohy, podzim 2024
Příklad. 1. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
/l  2 3N A =   2  3 1 \3  1 2.
Příklad. 2. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru n x n
í1	x	0	0 .	.. 0	
0	1	x	0 .	.. 0	0
0	0	1	x	.. 0	0
0	0	0	0 .	.. 1	x
Vo	0	0	0 .	.. 0	1/
Příklad. 3. Nechť U je množina všech matic A e Mat2x2(R) , jejichž řádky jsou lineárně závislé. Zjistěte, zdaje U vektorový podprostor ve vektorovém prostoru Mat2x2(IR) Bod pouze za zdůvodnění.
Příklad. 4. Uvažujme lineární zobrazení^ : IR50 -> Mat7x7(M) sli/j : Mat7x7(M) -> IR60. Může být složené zobrazení ip o p : IR50 —y IR60 prosté? Bod pouze za zdůvodnění správné odpovědi.
Příklad. 5. Napište předpis lineárního zobrazení <p : IR20 —> IR9 [x]
y?(cti, a2,a20) = ... takového, že dim im tp = 5 a <p(l, 0,1, 0,1,1, 0) = x5. Napište rovněž bázi obrazu.
Příklad. 6. V prostoru IRi [x] uvažujme báze a = (pi, p2) a j3 = (ql7 q2) . Najděte polynomy qi a p2 , jestliže pL (x) = 1 — 2x a q2 (x) = 3 — 2x a matice přechodu je
(idW = (3 •
Příklad. 7. Platí pro každé dvě reálné čtvercové matice A, B tvaru n x n rovnost
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2?
Svou odpověď zdůvodněte.
Příklad. 8. Ve vektorovém prostoru IR2 udejte příklad bází a, (3 takových, že matice přechodu je
'1 2N ,2  4/ •
nebo dokažte, že neexistují.
(idW
2
Příklad. 9. Nalezněte bázi a = (ui,u2, u3) vektorového prostoru IR3 takovou, že souřadnice vektoru v = (1,0, 0) v bázi a jsou (1,1,1)T a souřadnice vektoru z = (1,1,1) v bázi a jsou (1,0, 0)T . Svou volbu zdůvodněte z definice souřadnic.