Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice 7. BAZE A DIMENZE Jan Paseka Ústav matematiky a štatistiky Masarykova univerzita 29. ríjna 2024 Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Báze a dimenze Kanonická báze Jednoznačnost Dimenze součtu 0 bsal h Báze a dimenze • Steinitzova věta Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru • Jednoznačnost vyjádření • Souřadnicové zobrazení 9 Kanonická báze • Dimenze součtu Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Abstrakt V této kapitole sa seznámíme s pojmem báze vektorového prostoru. To nám umožní ve vektorových prostorech zavést souřadnice. Dále budeme definovat dimenzi vektorového prostoru a odvodíme si některé její základní vlastnosti. V následující kapitole si potom mimo jiné dokážeme, že dimenze je základní strukturní invariant tzv. konečně rozměrných vektorových prostorů. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Báze a dimenze Kanonická báze Jednoznačnost Dimenze součtu 0 bsal h Báze a dimenze • Steinitzova věta Báze a dimenze konečně rozměrného prostoru • Jednoznačnost vyjádření • Souřadnicové zobrazení 9 Kanonická báze • Dimenze součtu Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Baze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Steinitzova věta 1 Věta 1.1 (Steinitzova věta) Nechť ui,..., un, ví,..., vm e V. Jsou-li vektory Ui,..., un lineárně nezávislé a všechny patří do lineárního obalu [ví,..., vm], pak n < m. Zároveň při vhodném uspořádání cx' = (v\,..., y'm) posloupnosti a = (v^,..., vm) platí, že posloupnost (ui,..., un, v^+1,..., v'm) generuje [v^,..., vm] Tvrzení 1.2 Pro libovolný vektorový prostor V jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) existuje konečná množina X c V tak, že [X] = V; (ii) každá lineárně nezávislá množina Y c V je konečná. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Baze a dimenze Kanonická báze Jednoznačnost Dimenze součtu Steinitzova věta II Říkáme, že vektorový prostor V je konečně rozměrný (konečně dimenzionální), pokud splňuje některou (tedy nutně obě) z ekvivalentních podmínek (i), (ii) právě dokázaného tvrzení. V opačném případě říkáme, že V je nekonečně rozměrný (nekonečně dimenzionální) vektorový prostor. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Báze a dimenze Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Bází prostoru V nazýváme každou lineárně nezávislou uspořádanou n-tici (ui,..., un) vektorů z V, která generuje celý prostor V. Říkáme pak, že vektory Ui,..., un tvoří bázi prostoru V. Tvrzení 1.3 Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) libovolnou lineárně nezávislou uspořádanou k-tici (ui,..., U/c) vektorů z V můžeme doplnit do nějaké báze (ui,...,u/c,...,un) prostoru V; (b) z libovolné generující uspořádané m-tice (v^,..., vm) vektorů z V můžeme vybrat nějakou bázi (v,-,..., v/n) prostoru V. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Báze a dimenze II Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor. Potom (a) V má alespoň jednu bázi; (b) libovolné dvě báze prostoru V mají stejný počet prvků. Právě dokázaná věta nám umožňuje korektně definovat dimenzi nebo též rozměr konečně rozměrného vektorového prostoru V jako počet prvků jeho libovolné báze. Dimenzi vektorového prostoru V značíme dimV. Pokud dimV = n, říkáme, že V je n-rozměrný vektorový prostor. Pokud V je nekonečně rozměrný prostor, klademe dimV = oo. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Baze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Báze a dimenze III Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze s ua^-c a. uii i id i^-o i v V případě, že bude potřebné zdůraznit úlohu (číselného) tělesa K, budeme používat podrobnější označení áimKV. Tedy V je konečně rozměrný právě tehdy, když áimV < oo. Tvrzení 1.5 Nechť áimV = /7, Ví,..., vm e V. Potom libovolné dvě z následujících podmínek implikují třetí: (i) vektory ví,..., vm jsou lineárně nezávislé; (ii) [v1?...,vm] = V; (iii) m = n. To kromě jiného znamená, že na ověření, zda n vektorů Ví,..., vn tvoří bázi n-rozměrného vektorového prostoru V, stačí ověřit jen jednu (a to libovolnou) z podmínek (i), (ii). Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Baze a dimenze Kanonická baze Jednoznačnost Dimenze součtu Jednoznačnost vyjádření vzhledem na danou bázi I Následující věta je speciálním případem věty z předchozí kapitoly o lineární nezávislosti. Vektory in,..., un tvoří bázi vektorového prostoru V právě tehdy, když každý vektor x e V můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru lineární kombinace x = c1Ui+... + cnun. Existence aspoň jednoho vyjádření x = ci Ui + ... + cnun je ekvivalentní s podmínkou, že vektory ui,..., un generují V. Jednoznačnost tohoto vyjádření je zase ekvivalentní s lineární nezávislostí vektorů Ui,..., un. Abstrakt E 3áze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Báze a dimenze Kanonická báze Jednoznačnost Dimenze součtu ■ dření vzh em na danou bázi II Tedy a = (ui,..., un) je bází V tehdy a jen tehdy, když pro každé xe V existuje právě jedno c = (ci,..., cn)T e Kn tak, že X = C1U1 + . . . + CnUn = a • C. Uvědomme si, že / C1 ^ X = a-C=(Ui,...,Un)- V Cn J Tento jednoznačně určený sloupcový vektor c g Kn budeme nazývat souřadnice vektoru x vzhledem na bázi a a označovat c = (x) Ol • Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Baze a dimenze Kanonická baze Jednoznačnost Dimenze součtu Souřadnicové zobrazen íi Tedy každá báze a v n-rozměrném vektorovém prostoru V definuje souřadnicové zobrazení x h> (x)a z \/ do sloupcového vektorového prostoru Kn. Tvrzení 1.7 Nechť a = (ui,..., un) je báze konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom příslušné souřadnicové zobrazení : V -> Kn je bijektivní a zachovává lineární kombinace, tj. pro libovolná a, b e K, x, y g y platí (ax + by)Q = a{x)a + b(y)Q. K němu inverzní zobrazení : Kn -> V je dané předpisem c 4 a • c. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Souřadnice Baze a dimenze Kanonická baze Jednoznačnost Dimenze součtu Souřadnicové zobrazení II Zejména tedy pro libovolné x g V, c e Kn platí x = a-(x)a, (a-c)a = c. První rovnost ukazuje, jak je možno vektor x zrekonstruovat z dané báze a a jeho souřadnic (x)a v této bázi; druhá, že souřadnice lineární kombinace J2?=-\ c/u/ = a c v bázi a = (ui,..., un) tvoří právě vektor (ci,..., cn)r. Takto zavedené souřadnice můžeme nazvat sloupcovými souřadnicemi vzhledem k dané bázi. Podobným způsobem můžeme zavést i řádkové souřadnice a dokázat pro ně analogická tvrzení jako pro sloupcové. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Kanonická báze I Označme e-^ = S/(ln) g K" sloupcový vektor skládající ze samých nul, mimo i-té složky, která je 1. Potom = (e\n\ ..., e^) je báze sloupcového vektorového prostom Kn. Nazýváme ji kanonickou bází tohoto prostom. Můžeme ji ztotožnit s jednotkovou maticí \n. Občas budeme horní index (n) vynechávat a príslušnou bázi označovat stručně e = (ei,..., en). Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Kanonická báze II Pro libovolný vektor x = (x-\,..., xn)T e Kn platí x = xiei + ... + xnen, proto (x)£ = x, tj. každý vektor x g Kn splýva se svými vlastními souřadnicemi v kanonické bázi. Kanonická báze řádkového vektorového prostoru Kn je tvořená řádky jednotkové matice \n a značíme ji stejně jako v předcházejícím případě = (e\n\ • • •, e^)T nebo stručně e = (e^,..., en)r, s tím rozdílem, že = e je sloupec vektorů a každé e,- je řádek skládající se ze samých nul, mimo /-té pozice, na které je 1. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Baze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Kanonická báze III Věta 1.9 Pro libovolné n e N platí dim Kn = n. Príklad 1.10 1 Sloupce matice í 1 1 1 1 \ 1110 110 0 ^ 1 o o oj tvoří bázi a sloupcového vektorového prostom K4. Souřadnice vektoru x = (x\, x2l x3l x4)T e Kn v bázi a jsou dané vztahem {x)a = {x4,x3 -x4,x2 -x3,*i -x2)T. Platí totiž / *1 \ x2 \ *4 J XA í 1 \ 1 1 V 1 / + (*3 - xa) (X2 - X3) í 1 \ 1 0 V o / / 1 \ 1 1 V o / + (*i - x2) + /1 \ o o V o / Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Steinitzova věta Báze a dimenze Jednoznačnost Souřadnice Kanonická báze Dimenze součtu Kanonická báze V Příklad 1.11 Nechť m, n e N. Pro libovolné 1 < k < m, 1 < I < n označme {ôikôji)mxn matici typu m x n nad tělesem K, ■ (m,n) která sestává ze samých nul, kromě pozice (k J), na které je 1. Zřejmě každou matici A = (a^) e Kmxn lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru ™ " A = 22 ^kiEki- k=\ /=1 Z toho vyplývá, že matice E^"'n\ 1 Kmx1 lineárni zobrazení dané předpisem (p(x) = A x pro x g Knx1. Hodností lineárního zobrazení (p nazýváme dimenzi jeho obrazu, t. j. h((p) = dim Irrup. Zřejmě platí h((p) = /?S(A), protože lineární podprostor Imip c /cmx1 je generovaný sloupci matice A. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Definice Vlastnosti ■ Lemma 2.1 Nechť A e Kmxn. (a) Nechť matice B vznikne z matice A provedením jedné elementární řádkové operace (ERO). Pak [ľ! (A), r2(A),..., rm(A)] = [n (B), r2(B),..., rm(B)]. (b) Nechť matice C vznikne z matice A vykonáním jedné elementární sloupcové operace (ESO). Pak [si (A), s2(A),..., s„(A)] = [si (C), s2(C),..., s„(C)]. Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Definice Vlastnosti Hodnost matice VI Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Definice Vlastnosti Tvrzení 2.2 Pro každou matici A e Kmxn platí /?r(A) = /?S(A). Společnou hodnotu řádkové a sloupcové hodnosti budeme nyní značit /?(A) a nazývat hodností matice A. Zřejmě pro A e Kmxn je /?(A) < min(/T?, n). Tvrzení 2.3 Nechť A g Kmxn. Potom /?(A) = /?(Ar). Abstrakt Báze a dimenze Hodnost matice Definice Vlastnosti Hodnost matice VIII Tvrzení 2.4 Nechť Ui,..., un g Kmx1 jsou libovolné vektory a A e /cmxn ye matice taková, že sy-(A) = uy pro 1