Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu 8. JADRO, OBRAZ a MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ Jan Paseka Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita 4. listopadu 2024 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Obsah • Lineárni izomorfismy Q Jádro a obraz lineárního Ä zobrazení ^ Matice nnearnino • Vlastnosti lineárního zobrazeni zobrazení o Jádro a obraz lineárního w Matice přechodu zobrazení o Hodnost lineárního Q Skeletní rozklad matic zobrazení Abstrakt Jádro a obraz Abstrakt Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy V této kapitole blíže prozkoumáme pojem lineárního zobrazení. □ S1 Abstrakt Jádro a obraz Abstrakt Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy V této kapitole blíže prozkoumáme pojem lineárního zobrazení. To nám umožní porovná vat struktury různých vektorových prostom nad tímž tělesem. Abstrakt Jádro a obraz Abstrakt Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy V této kapitole blíže prozkoumáme pojem lineárního zobrazení. To nám umožní porovná vat struktury různých vektorových prostom nad tímž tělesem. Budeme studovat pojem jádra, matice lineárního zobrazení a matice přechodu. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Obsah • Lineárni izomorfismy Q Jádro a obraz lineárního Ä zobrazení ^ Matice nnearnino • Vlastnosti lineárního zobrazeni zobrazení o Jádro a obraz lineárního w Matice přechodu zobrazení o Hodnost lineárního Q Skeletní rozklad matic zobrazení Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu stnosti Hodnost Iro a obraz Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení 1 1 Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad VI; Já Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení I Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad VI; Já Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení I Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad VI; Já Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení I Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení 1.1 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a i[) \ W ^ V, (p : V ^ U jsou lineární zobrazení. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad VI; Já Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení I Významné vlastnosti lineárních zobrazení jsou: kompozice (složení) lineárních zobrazení je opět lineární zobrazení a obrazy i vzory lineárních podprostorů v lineárních zobrazeních jsou též lineární podprostory. Tvrzení 1.1 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K a i[) \ W ^ V, (p : V ^ U jsou lineární zobrazení. Potom i jejich složení Lp o ^ : W -> U je lineární zobrazení Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Skeletní rozklad Matice přechodu Vlastnosti Hodnost Jádro a obraz Izomorfismy Vlastnosti 1 ineárního zobrazení II Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení II fí,(A, B) = (s/(A), r,(B)), /i(x, y) = x y, A(C) = {cu,..., cnn), H*) = £/Li zh (51 ° A o /i o Ri)(A, B) = Eyti ajibij. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení III Tvrzení 1.2 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a (p : V -> U je lineární zobrazení. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení III Tvrzení 1.2 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a (p : V -> U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineárnípodprostor prostoru V, takicp(S) je lineární podprostor prostoru U. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení III Tvrzení 1.2 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K a (p : V -> U je lineární zobrazení. (a) Je-li S lineárnípodprostor prostoru V, takicp(S) je lineární podprostor prostoru U. (b) Je-li T lineární podprostor prostoru U, tak(p~\T) je lineární podprostor prostoru V. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Skeletní rozklad Matice přechodu Vlastnosti Hodnost Jádro a obraz Izomorfismy Vlastnosti 1 ineárního zobrazení IV Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Vlastnosti lineárního zobrazení V Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro I Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Nechť Lp : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovým prostory nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro I Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Nechť cp : V U je lineárni zobrazení mezi vektorovým prostory nad tělesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Kenp = v?"1 (0) = {xel/; U je lineárni zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Ktnp = v?-1 (0) = {xeV\ cp(x) = 0}. Obrazem lineárního zobrazení

U je lineárni zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Jeho jádrem nazýváme množinu Kerv? = v?"1 (0) = {xeV; U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro II Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení 1.3 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker^ a Im^ jsou lineární podprostory Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro II Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení 1.3 Nechť (p : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker^ a Im^ jsou lineární podprostory Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro II Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení 1.3 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker^ a Im^ jsou lineární podprostory. Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta 1.4 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení. Potom Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro II Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení 1.3 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker^ a Im^ jsou lineární podprostory. Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta 1.4 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení. Potom (a) (p je injektivní právě tehdy když Ker^ = {0}; Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Jádro II Skeletní rozklad Vh Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Protože {0} je lineární podprostor prostoru U a V je lineární podprostor prostoru V, jako speciální případ tvrzení o vzoru a obrazu lineárního zobrazení dostáváme následující výsledek. Tvrzení 1.3 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory nad tělesem K. Potom Ker^ a Im^ jsou lineární podprostory. Pomocí pojmů jádra a obrazu můžeme charakterizovat injektivní resp. surjektivní lineární zobrazení. Věta 1.4 Nechť\p : V -> U je lineární zobrazení Potom (a) (p je injektivní právě tehdy když Ker^ = {0}; (b) (p je surjektivní právě tehdy když Imip = U. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení I Věta 1.5 Nechť (p : V -> U je lineárni zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení I Věta 1.5 Nechť (p : V -> U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Potom i KtY(p a Imip jsou konečně rozměrné prostory a platí Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení I Věta 1.5 Nechť (p : V -> U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Potom i KtY(p a Imip jsou konečně rozměrné prostory a platí dim V = dim Ker^ + dim Imip. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení I Věta 1.5 Nechť (p : V -> U je lineární zobrazení, přičemž vektorový prostor V je konečně rozměrný. Potom i KtY(p a Imip jsou konečně rozměrné prostory a platí dim V = dim Ker^ + dim Imip. Dimenzi obrazu Im^ nazýváme hodností lineárního zobrazení (p a značíme ji h((p) = dim lm(p. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení II v u áiraV - Keiy \ dimker(£ \ o Irnip -( (p/ ker (p dimlmy? > 0 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení II dim V — dim Ker^ + dim U V áimV \ dim ker cp (p/ ker (p dimlmip I I Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Hodnost lineárního zobrazení III Hodnost Izomorfismy Lineární zobrazení cp : V -> V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení III Lineární zobrazení cp : V -> V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení III Lineární zobrazení p : V -> V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací Důsledek 1.6 Nechť (p : V V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Hodnost lineárního zobrazení III Lineární zobrazení cp : V -> V vektorového prostoru V do sebe nazýváme lineárním operátorem neboli lineární transformací. Důsledek 1.6 Nechť (p : V V je lineární transformace konečně rozměrného vektorového prostoru V. Potom (p je injektivní právě tehdy, když je surjektivní. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy I Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Bijektivní lineární zobrazení ^ : V -> U mezi vektorovým prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy I Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Bijektivní lineárni zobrazení cp : V -> U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy I Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Bijektivní lineárni zobrazení p : V -> U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, pokud existuje nějaký lineární izomorfismus p : V -> U. Tvrzení 1.7 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy I Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Bijektivní lineárni zobrazení p : V -> U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, pokud existuje nějaký lineární izomorfismus (p : V -> U. Tvrzení 1.7 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idy : V V je lineární izomorfismus. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy I Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Bijektivní lineárni zobrazení cp : V -> U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, pokud existuje nějaký lineární izomorfismus cp : V -> U. Tvrzení 1.7 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idy : V V je lineární izomorfismus. (b) Je-li p : V -> U lineární izomorfismus, pak i : U -> V je lineární izomorfismus. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu astnosti Hodnost idro a obraz Izomorfismy Lineární izomorfismy 1 1 Bijektivní lineárni zobrazení cp : V -> U mezi vektorovými prostory V, U nad tímž tělesem K nazýváme lineární izomorfismus. Říkáme, že vektorové prostory V, U jsou lineárně izomorfní nebo jen krátce izomorfní a píšeme V = U, pokud existuje nějaký lineární izomorfismus (p : V -> U. Tvrzení 1.7 Nechť U, V, W jsou vektorové prostory nad tělesem K. (a) idy : V V je lineární izomorfismus. (b) Je-li (p : V -> U lineární izomorfismus, pak'np~A : U -> V je lineární izomorfismus. (c) Jsou-li i[): W -> V, (p : V -> U lineární izomorfismy pak i p) o i[): W -> U je lineární izomorfismus. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.8 Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.8 Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.8 Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.8 Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: (a) V *á V; (b) V^U U^V; (c) W^V&iV^U ^ W^U. Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, tj. je vztahem ekvivalence. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy II Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Z právě dokázaného tvrzení okamžitě vyplývá následující důsledek. Důsledek 1.8 Pro libovolné vektorové prostory U, V, W nad tímž tělesem K platí: (a) V *á V; (b) V^U U^V; (c) W^V&iV^U ^ W^U. Říkáme, že vztah izomorfnosti = je reflexivní, symetrický a tranzitivní, tj. je vztahem ekvivalence. Z formálního hlediska s ním můžeme pracovat podobně jako se vztahem rovnosti =. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Lineární izomorfismy III Příklad 1.9 Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a /3 = (v1,..., vn) je nějaká jeho báze. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Lineárni izomorfismy III I Příklad 1.9 Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a (3 = (v1,..., vn) je nějaká jeho báze. Potom souřadnicové zobrazením ^ (x)^ je lineární izomorfizmus V -> Kn. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Lineárni izomorfismy III I Příklad 1.9 Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a (3 = (v1,..., vn) je nějaká jeho báze. Potom souřadnicové zobrazením ^ (x)^ je lineární izomorfizmus V -> Kn. Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Lineárni izomorfismy III I Příklad 1.9 Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a /3 = (v1,..., vn) je nějaká jeho báze. Potom souřadnicové zobrazením ^ (x)p je lineární izomorfizmus V -> Kn. Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Věta 1.10 Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad astnosti ro a obraz Lineární izomorfismy III I Příklad 1.9 Nechť V je konečné rozměrný vektorový prostor nad tělesem K, dimV = n a /3 = (v1,..., vn) je nějaká jeho báze. Potom souřadnicové zobrazením ^ (x)p je lineární izomorfizmus V -> Kn. Platí, že typ izomorfismu daného konečně rozměrného prostoru je jednoznačně určený jeho dimenzí. Věta 1.10 Nechť U, V jsou konečné rozměrné vektorové prostory nad tělesem K. Potom V 9á U & dim V = dim U. □ i5P Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy IV Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem K právě tehdy, když n = dimV. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy IV Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem K právě tehdy, když n = dimlA Přitom každá báze /3 prostoru V určuje jeden takovýto izomorfismus V -> Kn - Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy IV Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Tedy konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní se sloupcovým (řádkovým) vektorovým prostorem K právě tehdy, když n = dimlA Přitom každá báze /3 prostoru V určuje jeden takovýto izomorfismus V -> Kn - je jím souřadnicové zobrazení x h> (x)^. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Lineární izomorfismy V Skeletní rozklad Vlastnosti Jádro a obraz Hodnost Izomorfismy Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad M M otivace atice v bazích Příklady Prostory LZ Obsah Q Matice lineárního zobrazení 9 Motivace • Matice v bazích • Příklady • Prostory lineárních zobrazení □ t3 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace I Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Uvažujme lineární zobrazení cp : Kn -> Km. V prostoru K máme kanonickou bázi = (e-i,..., en). Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace I Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Uvažujme lineární zobrazení cp : Kn -> Km. V prostom Kn máme kanonickou bázi = (e-i,..., en). Protože obrazy ^(ey) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace I Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Uvažujme lineární zobrazení cp : Kn -> Km. V prostom Kn máme kanonickou bázi = (e-i,..., en). Protože obrazy ^(ey) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = (p(ei),...,p(en)) g K Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Motivace 1 Uvažujme lineární zobrazení p : Kn -> Km. V prostom Kn máme kanonickou bázi = (e-i,..., en). Protože obrazy ^(ey) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = Wei),...,íp(en))G/('nx'?, jejímiž sloupci jsou právě tyto vektory, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace I Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Uvažujme lineární zobrazení p : Kn -> Km. V prostom Kn máme kanonickou bázi = (e-i,..., en). Protože obrazy ^(ey) vektorů této báze jsou sloupcové vektory z prostoru Km, můžeme vytvořit matici A = (V(ei),...^(8n))G/ťnx'í, jejímiž sloupci jsou právě tyto vektory, t. j. platí S/(A) = p(ei) pro 1 (en) Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace III Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Ukážeme, jak můžeme obraz <^(x) libovolného vektoru x = (xi,...,xn)T e Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x-ie-i h-----h xnen, a počítejme (f(x) = (pfa ei + ... + xnen) = x} ipfa) + ... + xn(p{en) = (Si(A),...,Sn(A))-(x1>...,X„) Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace III Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Ukážeme, jak můžeme obraz <^(x) libovolného vektoru x = (xi,...,xn)T e Kn vypočítat pouze ze znalosti této matice. Uvědomme si, že x = x-ie-i h-----h xnen, a počítejme (f(x) = (pfa ei + ... + xnen) = x} ipfa) + ... + xn(p{en) = (Si(A),...,Sn(A))-(x1>...,X„) Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace III Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Ukážeme, jak můžeme obraz (en) = (s1(A),...,sA?(A)).(x1,...,xA?)7r = A x Tedy každé lineárni zobrazení cp : Kn -> Km má tvar (p(x) = A • x pro vhodnou matici A e Kmxn. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Motivace IV Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace IV Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení p : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Motivace IV Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení cp : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. V U Kn K m Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace IV Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení cp : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. V (-) -i ß Kn U K m Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace IV Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení cp : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. V U (-) -i ß Kn K m Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Motivace IV Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení cp : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. Protože každý konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K je izomorfní s prostorom Kn pro n = dimV, při volbě pevných bazí v konečně rozměrných prostoroch U, V, bude možné libovolné lineární zobrazení p : V -> U zakódovat pomocí vhodné matice A. V > U (-) -1 (-) OL -1 - Km A' (-) = (~)a 0(fi° (") Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím I Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim l/ = naa = (u1,...,um), (3 = (v-|,..., vn) jsou báze v U, resp. ve V. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím I Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim l/ = naa = (u1,...,um), (3 = (v-|,..., vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení r : V -> U vzhledem k bažím j3, ol nazýváme matici A = ((^(vi))«>•••> (^(vn))ct) e /CA7?xn, Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím I Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, dim U = m, dim l/ = naa = (u1,...,um), (3 = (v-|,..., vn) jsou báze v U, resp. ve V. Maticí lineárního zobrazení r : V -> U vzhledem k bažím /3, ol nazýváme matici A = ((^(vi))«>•••> (^(vn))ct) e /CA7?xn, jejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů U vzhledem k bažím (3, ol nazýváme matici A = ((^(vi))«>•••> (^(vn))ct) e /CA7?xn, jejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů U vzhledem k bažím /3, ol nazýváme matici A = ((^(vi))«>•••> (^(vn))ct) e /CA7?xn, jejíž sloupce jsou tvořeny souřadnicemi obrazů U. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím II Všimněme si u ((p)a,p obrácené pořadí znaků bazí vůči pořadí vektorových prostorů v označení zobrazení p : V -> U. Matici A ze začátku tohoto paragrafu můžeme nazvat maticí lineárního zobrazení p : Kn -> Km vzhledem na kanonickou Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím II Všimněme si u ((p)a,p obrácené pořadí znaků bazí vůči pořadí vektorových prostorů v označení zobrazení cp : V -> U. Matici A ze začátku tohoto paragrafu můžeme nazvat maticí lineárního zobrazení cp : Kn -> Km vzhledem na kanonickou Tedy A = (^(m)^). Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím II Všimněme si u ((p)a,p obrácené pořadí znaků bazí vůči pořadí vektorových prostorů v označení zobrazení p : V -> U. Matici A ze začátku tohoto paragrafu můžeme nazvat maticí lineárního zobrazení p : Kn -> K171 vzhledem na kanonickou bázie^n\ e^m\ Tedy A = (p)£{m)^n). Pokud neřekneme jinak, budeme pod maticí lineárního zobrazení p : Kn -> Km mezi sloupcovými vektorovými prostory vždy rozumět matici (p)£(m) e{n) zobrazení p vzhledem ke kanonickým bažím. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím III Maticí lineární transformace

V vzhledem k bázi a prostoru VXeáy rozumíme matici ( V vzhledem k bázi a prostom Vtedy rozumíme matici ( V vzhledem k bázi a prostom Vtedy rozumíme matici ( V vzhledem k bázi a prostom Vtedy rozumíme matici ( V, cp : V -> U platí Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Maticí lineárního zobrazení vzhledem k bažím V Skládání lineárních zobrazení zodpovídá násobení matic. Nechť U, V, W jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K, ol je báze U, {3 je báze V aj je báze W. Potom pro libovolné lineární zobrazení ý : W -> V, cp : V -> U platí Abstrakt Jádro a obraz Příklady I Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.3 Otočení roviny okolo počátku o úhel a e R je lineární zobrazení Ra : R2 -> R2. Abstrakt Jádro a obraz Příklady I Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.3 Otočení roviny okolo počátku o úhel a e R je lineární zobrazeníRa : R2 R2. I Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi e budeme značit rovněž Ra, Abstrakt Jádro a obraz Příklady I Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.3 Otočení roviny okolo počátku o úhel a e R je lineární zobrazeníRa : R2 R2. I Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi e budeme značit rovněž Ra, tedy pro xgR2 budeme psát Ra(x) = Ra x. Abstrakt Jádro a obraz Příklady I Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.3 Otočení roviny okolo počátku o úhel a e R je lineární zobrazeníRa : R2 R2. ■ Matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem na kanonickou bázi e budeme značit rovněž Ra, tedy pro xgR2 budeme psát Ra(x) = Ra x. Její sloupce získáme otočením vektorů e-i = (1,0)T, e2 = (0,1)7" o úhel a. Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady II Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady II Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame _ / cos o\ Ra ■ ei = . y sin a J Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady II Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame _ / cos Qí\ Rtt • ei = . y sin a J R« e2 = / cos (f + a) \ V sin (f+a) ) Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostáváme _ / cos o\ = { sinaJ' Ra.e2=( coÍI + a} ) =( "sina V á \ sin (| + a) J \ cos a J Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostáváme _ / cos o\ = { sinaJ' Ra.e2=( coÍI + a} ) =( "sina V á \ sin (| + a) J \ cos a J znamená, že Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Ra ■ ei = Ra■e2 = cos a sin a i cos (l + a) \ _ í —s\na sin (| + a) J \ cos a To znamená, že r - cos a —sin a sin a cos a Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostávame Ra ■ ei = cos a sin a i Ra■e2 = cos (l + a) \ _ í —s\na sin (| + a) J \ cos a To znamená, že r - cos a —sin a sin a cos a a obrazem libovolného vektoru (x, y)7 g R2 v otočení Ra ye ve/cfor Abstrakt Jádro a obraz Příklady II Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Z definice goniometrických funkcí sinus a cosinus pomocí jednotkové kružnice dostáváme Ra ■ ei = cos a sin a i Ra e2 = cos (l + a) \ _ í —s\na sin (| + a) J \ cos a To znamená, že r - cos a —sin a sin a cos a a obrazem libovolného vektoru (x, y)7 g R2 v otočení Ra ye ve/cfor ^ ^ x \ ^ / xcosa-ysina y ) \ x sm 01-\-y cos 01 Abstrakt Jádro a obraz Příklady III Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Matice P _ / cos(7ľ/6) — sin(7ľ/6) \ ^ " V sin(7r/6) cos(tí/6) J Abstrakt Jádro a obraz Příklady III Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Matice f cos(tt/6) -sin(vr/6) \ / VŠ/2 -1/2 \ ""Z6 ^ sin(vr/6) cos(tt/6) J { 1 /2 VŠ/2 J Abstrakt Jádro a obraz Příklady III Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Matice f cos(tí/6) -sin(7í/6) \ f VŠ/2 -1/2 \ \ sin(7r/6) cos(tí/6) J \ ^/2 VŠ/2 J reprezentuje vzhledem ke standardní bázi transformaci R^/e : IR2 —>► IR2, která otočí vektory ott/6 radiánů proti směru hodinových ručiček. Abstrakt Jádro a obraz Příklady IV Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.4 Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazeníSa :R2 ^M2, kde a e R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Abstrakt Jádro a obraz Příklady IV Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.4 Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazeníSa : M2 M2, kde a e R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i Sa je lineární zobrazení Abstrakt Jádro a obraz Příklady IV Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.4 Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazeníSa : M2 M2, kde a e R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i Sa je lineární zobrazení Jeho matici vzhledem ke kanonické bázi e budeme značit stejně, tj. Sa. Osová souměrnost roviny podle libovolné přímky procházející počátkem definuje zobrazeníSa : M2 M2, kde a e R je úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x. Pomocí obdobné úvahy jako v případě otočení můžeme ověřit, že i Sa je lineární zobrazení. Jeho matici vzhledem ke kanonické bázi e budeme značit stejně, tj. Sa. Zřejmě matice souměrnosti podle osy x je Abstrakt Jádro a obraz Příklady V Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ra, Abstrakt Jádro a obraz Příklady V Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ra, tj- Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme Abstrakt Jádro a obraz Příklady V Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ra, tj- Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme cos 2a sin 2a sin 2a —cos 2a Abstrakt Jádro a obraz Příklady V Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ra, tj- Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme cos 2a sin 2a sin 2a —cos 2a Tedy osová souměrnost Sa zobrazí vektor (x, y)7 e R2 na vektor Abstrakt Jádro a obraz Příklady V Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Osovou souměrnost Sa můžeme obdržet jako složení otočení R_a, osové souměrnosti S0 a otočení Ra, tj- Po vynásobení příslušných matic z toho s využitím trigonometrických vzorců dostaneme cos 2a sin 2a sin 2a —cos 2a Tedy osová souměrnost Sa zobrazí vektor (x, y)7 e R2 na vektor 'a x \ _ / x cos 2a + y sin 2a y J ~ \ x sin 2a - y cos 2a Abstrakt Jádro a obraz Příklady VI Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.5 Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 ^ c eRje opět lineární zobrazení R2 -> R2 s maticí c\2 = diag(c, c). Abstrakt Jádro a obraz Příklady VI Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.5 Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 ^ c eRje opět lineární zobrazení R2 -> R2 s maticí cl2 = diag(c, c). Abstrakt Jádro a obraz Příklady VI Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.5 Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 ^ c eRje opět lineární zobrazení R2 -> R2 s maticí c\2 = diag(c, c). Abstrakt Jádro a obraz Příklady VI Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklad 2.5 Stejnolehlost neboli též homotetie se středem v počátku a s koeficientem podobnosti 0 ^ c e R je opět lineární zobrazení R2 -> R2 s maticí cl2 = diag(c, c). Tento příklad můžeme evidentním způsobem zevšeobecnit na libovolnou dimenzi n. Abstrakt Jádro a obraz Příklady VII Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Zkosený hranol Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. 10 0,0 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Pro zkosení ve směru x s parametrem a e K se používá transformační matice určená předpisem: Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Pro zkosení ve směru x s parametrem a e K se používá transformační matice určená předpisem: Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Pro zkosení ve směru x s parametrem a e K se používá transformační matice určená předpisem: Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x,y); y = s}, s e K, o vektor ase-|. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Příklady VIII Příklad 2.6 Zkosení (kroucení, střih) způsobuje deformace tvarů. Výsledek transformace vyvolává dojem, jako kdyby objekty byly složeny z mnoha vrstev, které jsou po sobě posouvány. Dvě základní transformace jsou zkosení ve směru x a zkosení ve směru y. Pro zkosení ve směru x s parametrem a e K se používá transformační matice určená předpisem: X y ) = X ax + y 1 0 a 1 x y Je tak definovaná lineární transformace roviny, která posouvá její každou "vodorovnou vrstvu" {(x,y); y = s}, s g K, o vektor ase-i. Analogické lineární transformace fungují i ve vícerozměrných prostorech Kn. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení 1 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení I Nechť U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Uvažme vektorový prostor Uv všech zobrazení f: V -> U s operacemi součtu a skalárního násobku definovanými po složkách. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení I Nechť U, V jsou vektorové prostory nad číselným tělesem K. Uvažme vektorový prostor Uv všech zobrazení f: V -> U s operacemi součtu a skalárního násobku definovanými po složkách. Pak pro množinu C(V, U) všech lineárních zobrazení Up\a\\C(V,U) c Uv. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení 2.7 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení 2.7 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom C(V,U) je lineární podprostor vektorového prostoru Uv. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení 2.7 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom C(V,U) je lineární podprostor vektorového prostoru Uv Tedy C( V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení 2.8 Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení 2.7 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom C(V,U) je lineární podprostor vektorového prostoru Uv Tedy C( V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení 2.8 Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Potom C{V, U) = Kmxn, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení II Tvrzení 2.7 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom C(V,U) je lineární podprostor vektorového prostoru Uv Tedy C( V, U) je vektorový prostor nad K. Tvrzení 2.8 Nechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K a dimU = m, dimV = n. Potom C(V, U) * Kmxn, tedy dim£( V, U) = mn. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi a v prostoru U a ß v prostoru V. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi a v prostoru U a (3 v prostoru V. Na matici (<^)a,/3 se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru (p e C(V, U) v prostoru Kmxn, vzhledem na dvojici bazí (3, a. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi a v prostoru U a /3 v prostoru V. Na matici ((p)a,p se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru (p e C(V, U) v prostoru Kmxn, vzhledem na dvojici bazí /3, a. Lineární zobrazení cp : V -> K z vektorového prostoru V do tělesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi a v prostoru U a /3 v prostoru V. Na matici ((p)a,p se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru (p e C(V, U) v prostoru Kmxn, vzhledem na dvojici bazí (3, a. Lineární zobrazení cp : V -> K z vektorového prostoru V do tělesa K se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor /C) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce duál vektorového prostoru V. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení III Zvolme bázi a v prostoru U a /3 v prostoru V. Na matici ((p)a,p se můžeme dívat jako na souřadnice vektoru (p g C(V, U) v prostoru /CA7?XA75 vzhledem na dvojici bazí (3, a. Lineární zobrazení p : V /C z vektorového prostoru V do tělesa /C se nazývá lineární funkcionál nebo též lineární forma na V. Vektorový prostor C(V, K) všech lineárních forem na V se nazývá duální prostor nebo jen krátce c/uá/ vektorového prostoru V. Budeme používat označení C(V, K) = V*. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 e K, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 e K, libovolná báze (3 v konečně rozměrném prostoru V určuje lineární izomorfismus V* -> V daný předpisem p ^ (cp)^^. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení IV Pokud v tělese K budeme vždy uvažovat pouze kanonickou bázi sestávající z jediného vektoru 1 e K, libovolná báze (3 v konečně rozměrném prostoru V určuje lineární izomorfismus V* -> V daný předpisem p ^ (cp)^^. Platí tedy Tvrzení 2.9 Pro libovolný konečně rozměrný vektorový prostor V nad tělesem K platí V* V. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení V Matice {(p)^ß lineárního funkcionálu cp : V K je řádkový vektor z prostoru KAxn. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení V Matice () = y>(x) pro x g V, (p e V*. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení 2.10 Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Motivace Matice v bazích Příklady Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení 2.10 Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Potom (a) x i—y x je injektivní lineární zobrazení V V**; Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení VII Tvrzení 2.10 Nech V je vektorový prostor nad tělesem K. Potom (a) x i—y x je injektivní lineární zobrazení V V**; (b) pokud je V konečně rozměrný, pakx ^ x je lineární izomorfismus V V**. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motivace Příklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x e V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V*. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Motlvace , Pnklady Matice v bazích Prostory LZ Prostory lineárních zobrazení VIII Každý vektor x e V definuje lineární funkcionál x na duálním prostoru V*. Konečně rozměrný vektorový prostor V můžeme přiřazením X4X přirozeně ztotožnit s duálem prostoru V*. Q Matice přechodu • Definice matice přechodu • Vlastnosti matice přechodu • Výpočet matice přechodu • Matice lineárního zobrazení • Matice lineárního zobrazení vzhledem na různé báze Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu I Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K a öl = (u-i,..., un), ß = (v-i,..., vn) jsou jeho dvě báze. Maticí přechodu z báze ß do báze a nazýváme matici identického zobrazení idv : V -> V vzhledem na bázi ß, a, kterou značíme P aß- Tedy Paß = (täv)cxß' Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu II Sloupce matice přechodu P^p jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze (3 vzhledem na bázi a, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu II Sloupce matice přechodu P^p jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze (3 vzhledem na bázi a, t. j. Sy(Pa,/3) = (Vy)a pro 1 < j < íl. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu II Sloupce matice přechodu P^p jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze (3 vzhledem na bázi a, t. j. Sy(Pa,/3) = (Vy)a pro 1 < j < íl. Tedy P«,/3 = ((V1)aj(V2)aj... ,(Vn)a), Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu II Sloupce matice přechodu P^p jsou tvořeny souřadnicemi vektorů báze (3 vzhledem na bázi a, t. j. Sy(Pa>/3) = (Vy)a pro 1 < j < íl. Tedy P«,/3 = ((V1)aj(V2)aj... ,(Vn)a), a tato matice je jednoznačně určená podmínkou transformace souřadnic (x)q, = P^p • (X)f3 pro libovolné x e V. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu III Pokud do rovnosti x = a (x)a budeme za x postupně dosazovat vektory v1,..., vn bázi /3, s využitím vztahu pro sloupce součinu matic dostaneme Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Definice matice přechodu III Pokud do rovnosti x = a (x)a budeme za x postupně dosazovat vektory v1,..., vn bázi (3, s využitím vztahu pro sloupce součinu matic dostaneme Vy = ol (Vy)a = ol • Sy(Paj/3) = Sy(a ■ Pttj/3) pro každé 1 Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad inice Vlastnosti Vlastnosti matice přechodu II Tvrzení 3.2 Nechť Pa,/3 • P/3,7 = P7' Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad inice Vlastnosti Vlastnosti matice přechodu II Tvrzení 3.2 Nechť ex, j3, 7 jsou báze konečně rozměrného vektorového prostom V nad tělesem K. Potom p — i P/3, ol Pq:,/3 5 Pq:,/3 ' P/3,7 = Pq:,7* Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice přechodu Pttj/3 je vždy regulárni. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad inice Vlastnosti Vlastnosti matice přechodu II Tvrzení 3.2 Nechť cx, j3, 7 jsou báze konečně rozměrného vektorového prostoru V nad tělesem K. Potom p — i Pq:,/3 ' P/3,7 = Pq:,7* Z druhé z uvedených podmínek vidíme, že matice přechodu Pttj/3 je vždy regulární. Naopak, každá regulární matice P e Knxn je maticí přechodu mezi vhodnou dvojicí bazí. „n >>______ Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Vlastnosti matice přechodu III Tvrzení 3.3 Nechť V je n-rozmerný vektorový prostor nad K a P e Knxn je libovolná regulární matice. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Definice Výpočet Vlastnosti Zobrazení Vlastnosti matice přechodu III Tvrzení 3.3 Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad K a P e K libovolná regulární matice. Nechť oč = (u-i,..., un) je nějaká báze ve V. Položme vy = ol Sy(P), Wy = ol • Sy(P~1) pro 1 < j < n, a dále /3 = (v1j...,vn) = a-PJ Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Definice Výpočet Vlastnosti Zobrazení Vlastnosti matice přechodu III Tvrzení 3.3 Nechť V je n-rozměrný vektorový prostor nad K a P e K libovolná regulární matice. Nechť oč = (u-i,..., un) je nějaká báze ve V. Položme vy = ol Sy(P), Wy = ol • Sy(P~1) pro 1 < j < n, a dále /3 = (v-i,..., vn) = a • P, 7 = (w-i,..., wn) = a • P~ Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Vlastnosti matice přechodu III Tvrzení 3.3 Nechť V je n-rozmerný vektorový prostor nad K a P e Knxn je libovolná regulární matice. Nechť oč = (u-i,..., un) je nějaká báze ve V. Položme vy = ol Sy(P), Wy = ol • Sy(P~1) pro 1 < j < n, a dále /3 = (v1j...,vn) = a-PJ 7 = (w1j...,wn) = a- P 1. Potom P je matici prechodu z báze ß do báze ol a zároveň z báze ol do báze 7, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Vlastnosti matice přechodu III Tvrzení 3.3 Nechť V je n-rozmerný vektorový prostor nad K a P e Knxn je libovolná regulární matice. Nechť oč = (u-i,..., un) je nějaká báze ve V. Položme vy = ol Sy(P), Wy = ol • Sy(P~1) pro 1 < j < n, a dále /3 = (v1j...,vn) = a-PJ 7 = (w1j...,wn) = a- P 1. Potom P je matici prechodu z báze ß do báze a a zároveň z báze a do báze 7, t. j. P = P 7,a- Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Vlastnosti matice přechodu IV Speciálně, P je maticí přechodu z báze (s-i (P),..., sn(P)) do báze e = (e-i,..., en) v Kn Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Definice Výpočet Vlastnosti Zobrazení Vlastnosti matice přechodu IV Speciálně, P je maticí přechodu z báze (s-i (P),..., sn(P)) do báze e = (e-i,..., en) v Kn a taktéž z báze e do báze (si (P~1),..., sn(P~1)). Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Vlastnosti matice přechodu IV Speciálně, P je maticí přechodu z báze (s-i (P),..., sn(P)) do báze e = (e-i,..., en) v Kn a taktéž z báze e do báze (si (P~1),..., sn(P~1)). Tvrzení 3.4 Nechť a = (u-i,..., un), /3 = (v1,..., vn) jsou dvě báze sloupcového vektorového prostoru Kn. Potom Pa^ = a~1 • /3. Matice LZ Matice přechodu Abstrakt Jádro a obraz Výpočet matice přechodu I Výpočet Zobrazení Návod na výpočet matice přechodu pro báze a, (3 vektorového prostoru Kn Matice LZ Matice přechodu Abstrakt Jádro a obraz Výpočet matice přechodu I Výpočet Zobrazení Návod na výpočet matice prechodu pro baze a, /3 vektorového prostoru Kn (a I ß) ™ (ln I Paß) = (s I a -1 ß). Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze I Věta 3.5 Nechť , V2 jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K,

V2 je lineární zobrazení, a-i, fa jsou dvě báze prostoru aoc2, /32 jsou dvě báze prostoru V2. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze I Nechť , V2 jsou konečně rozměrné vektorové prostory nad tělesem K,

V2 je lineární zobrazení, a1, fa jsou dvě báze prostoru a V2 je lineární zobrazení, a1, fa jsou dvě báze prostoru aoc2, /32 jsou dvě báze prostoru V2. Potom Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze II Výše uvedenou transformační formuli si můžeme zapamatovat pomocí následujícího diagramu: (Ví ,0m) —► (1/2,0:2) B ß2,OL2 (V,,ß,)^(V2,ß2) Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Příklad 3.7 Nechť (p : Kn -> K171 je lineárni zobrazení a cx, ß jsou nějaké báze prostom Km resp. Kn. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Příklad 3.7 Nechť p : Kn -> K171 je lineárni zobrazení a cx, j3 jsou nějaké báze prostom Km resp. Kn. Označme A = (y>)a,/3, M = (¥>)e (m) £{n) matice zobrazení (p vzhledem k bazím (3, cx resp. vzhledem ke kanonickým bazím Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Příklad 3.7 Nechť p : Kn -> K171 je lineárni zobrazení a ol, j3 jsou nějaké báze prostom Km resp. Kn. Označme A = fa)^, M = (p)£ (m) £{n) matice zobrazení cp vzhledem k bazím (3, cx resp. vzhledem ke kanonickým bazím Pak platí: A = P ol.e (m) • M P Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Příklad 3.7 Nechť (p : Kn -> K171 je lineárni zobrazení a cx, (3 jsou nějaké báze prostom Km resp. Kn. Označme A = fa)^, M = (^)e (m) e(n) matice zobrazení (p vzhledem k bazím (3, a resp. vzhledem ke kanonickým bazfm Pak platí: A = Pa _(m) • M • P( M = Pe(m) a • A • Pß!£(n) Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar A = a"1 >lm M I"1 - ß = a"1 M ■ /3, Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Vlastnosti Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze III Pokud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak výše uvedené rovnosti získají tvar A = a-1 -\m M I"1 ■ /3 = a"1 M ■ /3, a M = I"1 • a • A • • \n = a • A • . Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad , „ Jádro a obraz Matice přechodu VyPocet , Vlastnosti Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze IV Věta 3.8 Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad , „ Jádro a obraz Matice přechodu VyPocet , Vlastnosti Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze IV Věta 3.8 Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B g Kmxn jsou následující podmínky ekvivalentní: Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad , „ Jádro a obraz Matice přechodu VyPocet , Vlastnosti Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze IV Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B g Kmxn jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení (p : V -> U vzhledem na nějaké dvě dvojice bazí prostom U, V; Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad , „ Jádro a obraz Matice přechodu VyPocet , Vlastnosti Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze IV Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B g Kmxn jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení (p : V -> U vzhledem na nějaké dvě dvojice bazí prostom U, V; (ii) existují regulárni matice P g Kmxm, Q g Knxn tak, že B = P A Q; Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad , „ Jádro a obraz Matice přechodu VyPocet , Vlastnosti Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze IV Nechť U je m-rozměrný a V je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Potom pro libovolné matice A, B g Kmxn jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A, B jsou matice stejného lineárního zobrazení (p : V -> U vzhledem na nějaké dvě dvojice bazí prostom U, V; (ii) existují regulárni matice P g Kmxm, Q g Knxn tak, že B = P A Q; (iii) /7(A) = /7(B). Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze V Věta 3.9 Pro každé lineární zobrazení (p : V -> U mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad tělesem K můžeme zvolit bázi /3 prostoru V a bázi a prostoru U tak, že Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Výpočet Zobrazení Matice LZ vzhledem na různé báze V Věta 3.9 Pro každé lineární zobrazení

U mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad tělesem K můžeme zvolit bázi (3 prostoru V a bázi a prostoru U tak, že p má vzhledem k bazím (3, a matici v blokovém tvaru ( U mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad tělesem K můžeme zvolit bázi (3 prostoru V a bázi a prostoru U tak, že p má vzhledem k bažím (3, a matici v blokovém tvaru V UA7?-/?,/? Vm-h,n-h J kde n = dimV, m = dimL/ a h = /7(^). Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Obsah Q Skeletní rozklad matic • Definice skeletního rozkladu matice Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad efinice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Definice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Každý sloupec ay matice A je lineární kombinací sloupců matice B. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad efinice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Každý sloupec ay matice A je lineární kombinací sloupců matice B. Platí tedy ay = Bc, pro nějaký vektor cy g Kr. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad efinice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Každý sloupec ay matice A je lineární kombinací sloupců matice B. Platí tedy ay = 6cy pro nějaký vektor cy g Kr. Označíme-li tedy C = (c11... |cn), máme rozklad /4 = BC, kde 6 je matice typu m x r a C je matice typu r x n. Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad efinice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Každý sloupec ay matice A je lineární kombinací sloupců matice B. Platí tedy ay = 6cy pro nějaký vektor cy g Kr. Označíme-li tedy C = (c11... |cn), máme rozklad /4 = BC, kde 6 je matice typu m x r a C je matice typu r x n. Takovému rozkladu říkáme skeletní rozklad. □ S1 - = Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad efinice Definice skeletního rozkladu matice I Uvažme matici A typu m x n hodnosti r > 1 nad tělesem K. Napišme nějakou bázi podprostoru ImA prostoru Km do sloupců matice B. Každý sloupec ay matice A je lineární kombinací sloupců matice B. Platí tedy ay = Bcy pro nějaký vektor cy e Kr. Označíme-li tedy C = (c11... |cn), máme rozklad /4 = BC, kde 6 je matice typu m x r a C je matice typu r x n. Takovému rozkladu říkáme skeletní rozklad. Za sloupce matice B můžeme vzít bázové sloupce matice A, tj. ty sloupce matice A určené vedoucími prvky matice řádkově ekvivalentní s maticí A, která je v (redukovaném) stupňovitém tvaru. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Skeletní rozklad matic II Skeletní rozklad se hodí pro ukládání matic nízkých hodností a počítání s nimi. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Skeletní rozklad matic II Skeletní rozklad se hodí pro ukládání matic nízkých hodností a počítání s nimi. Věta 4.1 Libovolná matice A typu m x n nad tělesem K s hodností r > 1 je rovná součinu A = BC, kde B je matice typu m x r tvořená bázovými sloupci matice A (v pořadí, v jakém se vyskytují v A) a C je matice typu r x n tvořená nenulovými řádky v redukovaném stupňovitém tvaru D matice A. Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Skeletní rozklad matic II Skeletní rozklad se hodí pro ukládání matic nízkých hodností a počítání s nimi. Věta 4.1 Libovolná matice A typu m x n nad tělesem K s hodností r > 1 je rovná součinu A = BC, kde B je matice typu m x r tvořená bázovými sloupci matice A (v pořadí, v jakém se vyskytují v A) a C je matice typu r x n tvořená nenulovými řádky v redukovaném stupňovitém tvaru D matice A. Věta 4.2 Pro každou matici A existuje práve jedna matice J v redukovaném stupňovitém tvaru taková, že J lze získat z A elementárními řádkovými úpravami. O1 Abstrakt Matice LZ Jádro a obraz Matice přechodu Skeletní rozklad matic A = B-C III n vstupních vlastností r skrytých vlastností dat n vstupních vlastností r skrytých vlastností dat Abstrakt Jádro a obraz Matice LZ Matice přechodu Skeletní rozklad Skeletní rozklad matic III Redukovaný stupňovitý tvar Abstrakt Matice LZ Skeletní rozklad Jádro a obraz Matice přechodu Skeletní rozklad matic IV