Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky 3. ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU Jan Paseka Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita 2. října 2024 Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Typy matic Operace s bloky Prvky matice Příklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice Q Matice nad danou množinou • Typy matic • Prvky matice • Příklady matic • Totožné matice • Řádky a sloupce • Blokové matice □ Abstrakt Matice nad množinou Abstrakt Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Typy matic Operace s bloky prvky matice Příklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice V této kapitole se znovu potkáme s maticemi, tj. obdélníkovými tabulkami, s jejichž pomocí budeme kódovat nejrůznější důležité údaje, a naučíme se s nimi lépe pracovat. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Typy matic Operace s bloky Prvky matice Příklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice Q Matice nad danou množinou • Typy matic • Prvky matice • Příklady matic • Totožné matice • Řádky a sloupce • Blokové matice □ Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Řádky a sloupce Príklady matic Blokové matice Nechť X je libovolná množina a m, n e N. Maticí typu m x n, nebo též m x n-rozměrnou maticí nad množinou X rozumíme obdélníkovou tabulku Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Řádky a sloupce Príklady matic Blokové matice Nechť X je libovolná množina a m, n e N. Maticí typu m x n, nebo též m x n-rozměrnou maticí nad množinou X rozumíme obdélníkovou tabulku / 3i 1 a-| 2 • • • 3i n ^ 321 a22 • • • ■ ■ . ■ ■ ■ ■ ■ V 3m2 • • • ämn / sestávající z prvků množiny X. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Řádky a sloupce Príklady matic Blokové matice Nechť X je libovolná množina a m, n e N. Maticí typu m x n, nebo též m x n-rozměrnou maticí nad množinou X rozumíme obdélníkovou tabulku / 3i 1 a-| 2 • • • 3i n ^ 321 a22 • • • ■ ■ . ■ ■ ■ ■ ■ V 3m2 • • • ämn / sestávající z prvků množiny X. Zkráceně píšeme A = (ajj)mxn nebo A = (a,y). Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Príklady matic Blokové matice Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Príklady matic Blokové matice / 3i i a-i 2 ■ ■ ■ ■ ■ ■ Prvky a,y e X, kde 1 < / < m, 1 < j < n, se nazývají p/v/ry matice A. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Příklady matic Blokové matice / 3l 1 3ľ\ 2 ... 3i n \ 321 a22 • • • 32n Prvky a,y G X, kde 1 < / < m, 1 < j < n, se nazývají pn//ry matice A. Prvek a,y5 který se nachází v /-tém řádku a y-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) {i J), resp. {ij)-tý prvek matice A. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Typy matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Prvky matice Řádky a sloupce Príklady matic Blokové matice ( a\\ a-12 ^21 #22 ■ ■ ■ ■ ■ ■ &2n Prvky a,y G X, kde 1 < / < m, 1 < j < n, se nazývají prvky matice A. Prvek a,y, který se nachází v /-tém řádku a y-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) {i J), resp. {ij')-tý prvek matice A. Množinu všech m x n-rozměrných matic nad množinou X značíme Xmxn (též Matm,n{X)). Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Typy matic Operace s bloky prvky matice Príklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice 321 322 ■ ■ ■ ■ ■ ■ \ 3m-\ Bm2 • 3-I/7 \ • 32n Prvky a,y e X, kde 1 < / < m, 1 /c1 • • • Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky 1 F F ypy matic 3rvky matice 'říklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice Blokové matice IV Tuto konstrukci můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit i na větší systémy matic a zapsat ve tvaru A = {Aij)kxi = přičemž jednotlivé bloky A,y jsou matice nad X rozměrů irij x rij, kde (at?1 ,..., mk), (n-i,..., n{) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky 1 F F ypy matic 3rvky matice 'říklady matic Totožné matice Řádky a sloupce Blokové matice Blokové matice IV Tuto konstrukci můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit i na větší systémy matic a zapsat ve tvaru A = {Aij)kxi = přičemž jednotlivé bloky A,y jsou matice nad X rozměrů irij x rij, kde (at?1 ,..., mk), (n-i,..., n{) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel. Matici nad množinou X z této "matice matic" dostaneme tak, že si v A odmyslíme vnitřní závorky oddělující její jednotlivé bloky • Prostor matic du ä O Matice nad daným tělesem • Motivace Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Další maticové operace a vlastnosti, které hodláme zavést a později využívat, už budou podmíněné přítomností jisté struktury na množině X. Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Další maticové operace a vlastnosti, které hodláme zavést a později využívat, už budou podmíněné přítomností jisté struktury na množině X. V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso, zejména racionální čísla, reálná čísla a komplexní čísla. Prvky z K nazýváme skaláry. Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu. Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky. Další maticové operace a vlastnosti, které hodláme zavést a později využívat, už budou podmíněné přítomností jisté struktury na množině X. V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso, zejména racionální čísla, reálná čísla a komplexní čísla. Prvky z K nazýváme skaláry. V souladu s předešlým odstavcem /CA77xn, kde m, n e N, označuje množinu všech matic typu m x n nad K. Pro pevné m, n e N budeme na množině matic Kmxn definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Pro pevné m, n e N budeme na množině matic Kmxn definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Tedy pro matice A = (a,y)mxn, B = (bij)mxn nad K a c g K A + B = (ajj + bjj)mxn, CA = (CSjj)mxn- Pro pevné m, n e N budeme na množině matic Kmxn definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Tedy pro matice A = (a,y)mxn, B = (bij)mxn nad K a c e K A + B = (ajj + bjj)mxn, CA = (CSjj)mxn- Součet matic A + B je definovaný jen pro matice A, B stejného typu a samotná matice A + B je téhož typu jako A a B. Neutrálním prvkem operace sčítání na Kmxn je matice typu m x n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m x n a označujeme ji 0m>n, resp. 0, je-li její rozměr jasný z kontextu nebo na něm nezáleží. Neutrálním prvkem operace sčítání na Kmxn je matice typu m x n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m x n a označujeme ji 0m^n, resp. 0, je-li její rozměr jasný z kontextu nebo na něm nezáleží. Opačným prvkem k matici A = (ajj)mxn je zřejmě matice A = ( <3/y)/77x/7- Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Prostor matic Neutrálním prvkem operace sčítání na Kmxn je matice typu m x n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m x n a označujeme ji 0m>n, resp. 0, je-li její rozměr jasný z kontextu nebo na něm nezáleží. Opačným prvkem k matici A = (ajj)mxn je zřejmě matice A = ( 3ij)mxn- Platí tedy A+0=0+A=A Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Prostor matic Neutrálním prvkem operace sčítání na Kmxn je matice typu m x n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m x n a označujeme ji 0m>n, resp. 0, je-li její rozměr jasný z kontextu nebo na něm nezáleží. Opačným prvkem k matici A = (ajj)mxn je zřejmě matice A = ( 3ij)mxn- Platí tedy a + 0 = 0 + a = a a a + (-a) = -a + a = 0. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin e Násobení vektorů • Součin matic • Příklady na součin matic m A I _ O Násobení matic Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Né Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Nejprve sa naučíme násobit některé dvojice vektorů. Součinem x y řádkového vektoru x = (x^,..., xn) e KAxn a sloupcového vektoruy = .. ,yn)T e /Cnx1 rozumíme skalár x y = = xm+... + xnyn = £\=1 XiYi. V tomto případě jde o běžný "skalárnísoučin" vektorů x, y g Kn. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Snadno se ověří, že pro všechna n e N, c e K a x, x' e K y, y' g Knx1 platí x (y + y) = x y + x y', □ - = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Snadno se ověří, že pro všechna n e N, c e K a x, x' e K y, y' g Knx1 platí x (y + y) = x y + x y', (x + x) y = x y + x y, □ - = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Snadno se ověří, že pro všechna n e N, c e K a x, x' e K y, y' g Knx1 platí x (y + y) = x y + x y', (x + x) y = x y + x y, x cy = c(x y) = cxy, □ - = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Né Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Snadno se ověří, že pro všechna n e N, c e K a x, x' e K} xn, y, y' e Knx1 platí x-(y + y') (x + x') • y cy = c(x • y) x y x • y + x • y' x • y + x' • y cx y, y7", x7". □ - = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Né Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Snadno se ověří, že pro všechna n e N, c e K a x, x' e K y, y' g Knx^ platí x (y + y) = x • y + x • y', (x + x) y = x y + x; y, x cy = c(x y) = cx y, x y = y7 x7. Pro takto definovaný součin vektorů jsou splněné dobře známé vlastnosti "skalárního součinu". Říkáme, že násobení řádkových a sloupcových vektorů je distributivní (z obou stran) vzhledem ke sčítání a komutuje, tj. je zaměnitelné s operací skalárního násobku. Poslední rovnost můžeme chápat jako "komutativitu" tohoto součinu, vděčíme za ni komutativitě násobení v tělese K. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Nechť m, n, p e N a A = (a,y)mxn, B = {bjk)nxp-Součinem matíc A, B rozumíme matici A B = (r/(A) • sk{B))mxp. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Nechť a77, n, p g N a A = (a^xn, B = (bjk)nxP. Součinem matíc A, B rozumíme matici A B = (r,(A) • sk{B))mxp. Všimněme si, že součin matic A, B je definovaný, pouze pokud se počet sloupců matice A rovná počtu řádků matice B, t. j. právě tehdy, když řádky matice A a sloupce matice B mají stejný rozměr. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Příklady na součin oučin matic Součin matic typů m x n a n x pje matice typu m x p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru [m x n] • [n x p] = [m x p], připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Součin matic typů m x n a n x pje matice typu m x p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru [m x n] • [n x p] = [m x p], připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice. Součin dvou čtvercových matic typu n x n je tedy opět matice typu n x n. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Prvek na pozici (/', k) matice A • B dostaneme jako součin Mého řádku matice A a /c-tého sloupce matice B, tedy jako výraz l bu \ r/(A)-s/((B)=(a/1,...,a/n)- : V bnk ) = aiibik + ... + ajnbnk = ^"=1 atjbjk. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Leslieho populační model je diskrétní, věkově strukturovaný model používaný v populační ekologii. Tento model umožňuje předpovídat budoucí velikost a strukturu populace na základě současných demografických údajů. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Leslieho populační model je diskrétní, věkově strukturovaný model používaný v populační ekologii. Tento model umožňuje předpovídat budoucí velikost a strukturu populace na základě současných demografických údajů. Patrick H. Leslie vyvinul tento model v roce 1945. Jeho práce "On the use of matrices in certain population mathematics" položila základy pro využití maticové algebry v populační biologii. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Leslieho populační model je diskrétní, věkově strukturovaný model používaný v populační ekologii. Tento model umožňuje předpovídat budoucí velikost a strukturu populace na základě současných demografických údajů. Patrick H. Leslie vyvinul tento model v roce 1945. Jeho práce "On the use of matrices in certain population mathematics" položila základy pro využití maticové algebry v populační biologii. Leslieho model využívá matici přechodu, která popisuje, jak se populace mění v čase: o Matice přechodu obsahuje míry přežití a plodnosti pro každou věkovou skupinu. • Populace je rozdělena do diskrétních věkových skupin. • Model předpokládá, že míry přežití a plodnosti zůstávají v čase konstantní. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Pnkladyna soucin Součin matic Leslieho populační model II - Matematické vyjádření Základní rovnice Leslieho modelu: n(ŕ + 1) = L-n(ŕ) (3.1) kde: • n(ŕ) je vektor populačních velikostí v čase ŕ, • L je Leslieho matice, • n(ŕ + 1) je vektor populačních velikostí v čase t + 1. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Nc Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Leslieho populační model III - Leslieho matice L Leslieho matice L má tvar: F2 ' ' Fn \ 0 •■ 0 L = 0 ■ P2 ' ' 0 ■ ■ ■ ■ m m 0 • ■ ■ ■ ■ . kde Fj jsou míry plodnosti a P, jsou míry přežití. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Nc Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Leslieho populační model IV - Aplikace a omezení Leslieho model se používá v různých oblastech: o Předpověď populačního růstu ohrožených druhů • Řízení populací škůdců v zemědělství o Plánování udržitelného rybolovu • Studium dynamiky lidské populace Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Leslieho populační model IV - Aplikace a omezení Leslieho model se používá v různých oblastech: o Predpoveď populačního růstu ohrožených druhů • Řízení populací škůdců v zemědělství o Plánování udržitelného rybolovu • Studium dynamiky lidské populace Přestože je Leslieho model užitečný, má několik omezení: • Předpokládá konstantní míry přežití a plodnosti • Nebere v úvahu environmentálni variabilitu • Ignoruje hustotní závislost a mezidruhové interakce • Může být nepřesný pro malé populace kvůli demografické stochasticitě Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Pnkladyna soucin Součin matic Příklad třígeneračního Leslieho modelu I Máme třígenerační Leslieho model s následujícími parametry: • Míra plodnosti dospělých (F3): 2 mláďata na jednoho dospělého jedince • Míra přežití mláďat do dospívající fáze (P-i): 0.5 • Míra přežití dospívajících do dospělé fáze (P2): 0.8 Leslieho matice pro tento model vypadá následovně: /O 0 2 \ L= 0.5 0 0 V 0 0.8 0 / Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Pnkladyna soucin Součin matic Příklad třígeneračního Leslieho modelu II Předpokládejme počáteční populaci: n(0) = Populace v čase t=1 /O 0 2 \ / 100 \ / 60 \ n(1) = Ln(0)= 0.5 0 0 • 50 =50 V 0 0.8 0 / V 30 / V 40 / Populace v čase t = 2 / 0 0 2 \ / 60 \ / 80 \ n(2) = Ln(1)= 0.5 0 0 • 50 = 30 V 0 0.8 0 / V 40 / V 40 / Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Pnkladyna soucin Součin matic Příklad třígeneračního Leslieho modelu III Populace v časech t = 3, t = 4, t = 5 n(3) = L • n(2) = n(4) = L • n(3) = n(5) = L • n(4) = 0 0 2 0.5 0 0 0 0.8 0 0 0 2 0.5 0 0 0 0.8 0 0 0 2 0.5 0 0 0 0.8 0 Tento příklad ukazuje, jak Leslieho model předpovídá změny ve věkové struktuře populace v čase. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Snadno pak ověříme následující rovnosti r,(A • B) = 17(A) • B, s*(A B) = A s*(B). k Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Snadno pak ověříme následující rovnosti r,(A • B) = 17(A) • B, s*(A B) = A s*(B) B AB Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Snadno pak ověříme následující rovnosti r,(A • B) = 17(A) • B, s*(A B) = A s*(B). k Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Násobení matic je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání. To znamená, že pro libovolné m, n e N a matice A, A' e Kmxn, B, B' e KnxP platí A (B + B) = A-B + A-B', (A + A) B = A B + A' B Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Násobení matic je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání. To znamená, že pro libovolné m, n e N a matice A, A' e Kmxn, B, B' e KnxP platí A (B + B) = A-B + A-B', (A + A) B = A B + A' B. Z distributivity součinu vektorů vzhledem k jejich součtu je totiž jasné, že (/, /c)-tý prvek matice A (B + B;) je r,(A) • S/C(B + B') = r/(A) - (s*(B) + sk(B')) = r/(A).s/c(B) + r/(A).S/c(B/), tedy sa rovná (/, /c)-tému prvku matice A-B + A-B7. Podobně pro druhou rovnost. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pro libovolný skalár CG/ía všechny matice A e Kmxn, B e Knxp platí A cB = c(A B) = cA B. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Příklady na součin Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pro libovolný skalár CG/ía všechny matice A e Kmxn, B e Knxp platí A cB = c(A B) = cA B. Říkáme pak, že násobení matic komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Násobení matic je též asociativní: pro m, n, p, q e N a A e Kmxn, B e KnxP, C e Kpxc? platí A • (B • C) = (A • B) • C. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Příklady na součin oučin matic Násobení matic je též asociativní: pro m, n, p, q e N a A e Kmxn, B e KnxP, C e Kpxc? platí A • (B • C) = (A • B) • C. Pro důkaz toho si stačí uvědomit, že pro libovolné vektory x = (x1}...,x„) e K1xn, y = {y,,...,yp)T e platí: Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky lásobení vektorů Príklady na součin ;oučin matic Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin x-(B-y) = (x1}...,xn) V ELl bnkVk J Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin x-(B-y) = (x1}...,xn) V ELl bnkVk J Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin x-(B-y) = (x1}...,xn) V E?=1 bnkVk J £"=1 *y (Eř=i ^y/c) = Eř=i (Ey=i *yfy) y* Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin x-(B-y) = (x1}...,xn) V E?=1 bnkVk J £"=1 *y (Eř=i ^y/c) = Eř=i (Ey=i *yfy) y* ■ ■ Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin x-(B-y) = (x1}...,xn) V E?=1 bnkVk J £"=1 *y (Eř=i ^y/c) = Eř=i (Ey=i *yfy) y* ■ ■ = (x • B) • y. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Pak pro 1 < / < m, 1 < / < q, je (/', /)-tý prvek na pozici (/', /) matice A (B C) r,(A) • s/(B • C) Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Pak pro 1 < / < m, 1 < / < q, je (/', /)-tý prvek na pozici (/', /) matice A (B C) r,-(A) • S/(B • C) = r,-(A) • (B • S/(C)) Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Pak pro 1 < / < m, 1 < / < q, je (/', /)-tý prvek na pozici (/', /) matice A (B C) 17(A) • S/(B • C) = 17(A) • (B • S/(C)) = (17(A) • B) • S/(C) Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů učin matic Príklady na součin Pak pro 1 < / < m, 1 < / < q, je (/', /)-tý prvek na pozici (/', /) matice A (B C) 17(A) • S/(B • C) = 17(A) • (B • S/(C)) = (17(A) • B) • S/(C) = r/(A-B).S/(C), Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Pak pro 1 < / < m, 1 < / < q, je (/', /)-tý prvek na pozici (/', /) matice A (B C) 17(A) • S/(B • C) = 17(A) • (B • S/(C)) = (17(A) • B) • S/(C) = r/(A-B).S/(C), tedy se rovná (/', /)-tému prvku matice (AB) - C. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Matice A = (ajj)mxn zaznamenává vstupní náklady na výrobky, řádky odpovídají výrobkům a sloupce vstupům. Prvek a,y je roven počtu jednotek vstupu j potřebných k výrobě jednotky výrobku i. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Matice A = (ajj)mxn zaznamenává vstupní náklady na výrobky, řádky odpovídají výrobkům a sloupce vstupům. Prvek a,y je roven počtu jednotek vstupu j potřebných k výrobě jednotky výrobku i. Označme x vektor jednotkových cen jednotlivých vstupů, jeho j-tá složka udává cenu jednotky j-tého vstupu. Spočítáme-li součin Ax, bude se jeho i-tá složka rovnat 3/1*1 + 3/2*2 + ' ' ' + ainXn. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Násobení vektorů Součin matic Príklady na součin Matice A = (ajj)mxn zaznamenává vstupní náklady na výrobky, řádky odpovídají výrobkům a sloupce vstupům. Prvek a,y je roven počtu jednotek vstupu j potřebných k výrobě jednotky výrobku i. Označme x vektor jednotkových cen jednotlivých vstupů, jeho j-tá složka udává cenu jednotky j-tého vstupu. Spočítáme-li součin Ax, bude se jeho i-tá složka rovnat Pak tedy, i-tá složka vektoru Ax se rovná výrobní ceně jednotky i-tého výrobku. V tomto smyslu vektor Ax popisuje výrobní ceny. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Podobně se nahlédne, že je-li y e Rm počet výrobků, které chceme vyrobit, pak řádkový vektory1 A udává potřebný počet jednotek vstupu - j-tá složka se bude se rovnat /1 a1 j + 72^2; H-----h ymämji což je počet jednotek vstupu j potřebných k výrobě daného počtu výrobků. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky ásobení vektorů Príklady na součin oučin matic Podobně se nahlédne, že je-li y e Rm počet výrobků, které chceme vyrobit, pak řádkový vektory1 A udává potřebný počet jednotek vstupu - j-tá složka se bude se rovnat /1 a1 j + 72^2; H-----h ymämji což je počet jednotek vstupu j potřebných k výrobě daného počtu výrobků. Číslo yTAx pak popisuje celkové výrobní náklady při počtu výrobků y a vektoru x jednotkových cen jednotlivých vstupů. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky množinou O Algebra matic I p™ I p™ p™ I J Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme \n a nazývame jednotková matice řádu n. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme \n a nazývame jednotková matice řádu n. S použitím tzv. Kroneckerova symbolu 1, pro/' = y'; 0, pro//y' Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme \n a nazývame jednotková matice řádu n. S použitím tzv. Kroneckerova symbolu 1, pro/' = y'; 0, pro//y' můžeme psát If? — y^ijjnxn — /1 0 0 1 o o \ o o • • • • • • o o \ o o • • • 1 o ... 0 1 J □ S1 - = s *0 O* Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násoben matic. Pro každou matici A e Kmxn platí lm A = A = A ln. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násoben matic. Pro každou matici A e Kmxn platí lm. A = A = A \n. Množina Knxn všech čtvercových matic řádu n je kromě operace sčítání matic a násobení matic skalárem vybavená asociativní operací násobení, která je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání matic, komutuje s operací skalárního násobku a jednotková matice \n je její neutrální prvek. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky ice Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic. Pro každou matici A e Kmxn platí lm. A = A = A \n. Množina Knxn všech čtvercových matic řádu n je kromě operace sčítání matic a násobení matic skalárem vybavená asociativní operací násobení, která je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání matic, komutuje s operací skalárního násobku a jednotková matice \n je její neutrální prvek. Mluvíme též o algebře čtvercových matic typu n. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky ých matic V rámci algebry matic můžeme, podobně jako pro prvky tělesa K, zavést i mocniny čtvercových matic. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic III - Mocniny čtvercových matic V rámci algebry matic můžeme, podobně jako pro prvky tělesa K, zavést i mocniny čtvercových matic. Pro A g Knxn, klademe A° = \n a /c-krát pro 0 < k g N; Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic III - Mocniny čtvercových matic V rámci algebry matic můžeme, podobně jako pro prvky tělesa K, zavést i mocniny čtvercových matic. Pro A e Knxn, klademe A° = \n a /(-krát pro 0 < k e N; tedy A1 = A, A2 = A A, A3 = A A A, atd. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Příklad 4.1 Na obrázku jsou vyznačena letecká spojení mezi městy 7i, 7"2, 7"3, 74. Chceme určit počet spojení s nejvýše čtyřmi přestupy mezi každou dvojicí měst. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Příklad 4.1 Na obrázku jsou vyznačena letecká spojení mezi městy 7i, 7"2, 7"3, 74. Chceme určit počet spojení s nejvýše čtyřmi přestupy mezi každou dvojicí měst. ( 0 1 0 1 \ 0 0 0 1 110 0 V 0 1 0 0 ) Informace o spojeních mezi městy uložíme do matice A = (a,y) typu 4x4 nad IR tak, že a,y definujeme rovné 1, pokud z T j vede spojení do Tj, a a,y = 0 v opačném případě. (Je to tzv. matice sousednosti grafu J *0 ^ O' Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Příklad 4.1 Jaký je význam prvku na místě (/, k) v matici A2 ? Tento prvek má tvar Příklad 4.1 Jaký je význam prvku na místě (/, k) v matici A2 ? Tento prvek má tvar 3/1 3l/c + 3/232/c + 3/3a3/c + 3/4 a^. Přitom j-tý člen součtu je rovný jedné právě tehdy, když z města T j vede spojení do města Tj a z Tj vede spojení do Tk, a je rovný nule v ostatních případech. Prvek na místě (/, k) v matici A2 je proto rovný počtu cest z Tj do Tk s právě jedním přestupem. Jaký je význam prvku na místě (/, /c) v mař/c/ A2 ? Tento prvek má tvar a/1 ai/c + ai2^2k + ai3a3k + äi4&4k' Přitom j-tý člen součtu je rovný jedné právě tehdy, když z města T j vede spojení do města Tj a z Tj vede spojení do Tk, a je rovný nule v ostatních případech. Prvek na místě (/, k) v matici A2 je proto rovný počtu cest z Tj do Tk s právě jedním přestupem. Analogicky vidíme, že prvek na místě (/, k) v matici An je rovný počtu cest z Tj do Tk s právě (n - 1) přestupy. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Příklad 4.1 Tedy počet cest s nejvýše čtyřmi přestupy z T, do Tk je tedy prvek na místě (/, k) v matici B = A + A2 + A3 + A4 + A5. Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Příklad 4.1 Tedy počet cest s nejvýše ctyrmi přestupy z T\ do Tk je tedy prvek na místě (/, k) v matici B = A + A2 + A3 + A4 + A5. Po krátkém výpočtu máme: B í° 1 0 1 \ í° 1 0 1 \ (0 1 0 1 \ 0 0 0 1 I 0 1 0 0 I 0 0 0 1 1 1 0 0 + 0 1 0 2 + 0 2 0 1 1 0 o ) 0 0 1) 1 0 o / í° 1 0 1 \ í° 1 0 1 \ í° 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 1 0 2 + 0 2 0 1 - 1 7 0 6 \o 0 0 1) 1 0 o ) 3 0 2 / + Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic VII není komutativní Uvědomme si, že pro n > 1 - na rozdíl od komutativity násobení v tělese K - násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na Knxn. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic VII není komutativní Uvědomme si, že pro n > 1 - na rozdíl od komutativity násobení v tělese K - násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na Knxn. Například 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1+1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1+1 Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pro všechna m, n, p a matice A e Kmxn, B g Knxp platí rovnost (A-B)7 = B7.A7. □ s Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pro všechna m, n, p a matice A g Kmxn, B g Knxp platí rovnost (A • B)7" = B7" • A7". Totiž v /c-tém řádku a /-tém sloupci matice (A • B)7" je prvek r/(A) • s*(B) Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pro všechna m, n, p a matice A e Kmxn, B g Knxp platí rovnost (A-B)7 = B7.Ar Totiž v /c-tém řádku a /-tém sloupci matice (A • B)7" je prvek r/(A).s/c(B) = s/c(B)7.r/(A)7 Abstrakt Matice nad tělesem Algebra matic Matice nad množinou Násobení matic Operace s bloky Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pro všechna m, n, p a matice A g Kmxn, B g Knxp platí rovnost (A-B)7 = B7.Ar Totiž v /c-tém řádku a /-tém sloupci matice (A • B)7" je prvek r/(A) • s*(B) = sk(B)T • r,(A)7 = r^B7) ■ S/(Ar). Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic IX - Příklad modelu dravec - kořist Lineární model dravec-kořist, také známý jako Lotka-Volterrův model, popisuje dynamiku interakce mezi populací dravců a jejich kořistí. Model je vyjádřen pomocí soustavy dvou diferenciálních rovnic: dx = ax - flxy (4.1) = Sxy - 7/ dt dy dt • x(t) je velikost populace kořisti v čase t • y(0 je velikost populace dravců v čase t o a je koeficient růstu populace kořisti • p je koeficient predace (míra, jakou dravci loví kořist) • S je koeficient efektivity predace (míra přeměny ulovené kořisti na nové dravce) • 7 je koeficient úmrtnosti dravců Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic X - Príklad modelu dravec - kořist Tento model zachycuje základní dynamiku mezi populacemi: O Populace kořisti roste exponenciálně v nepřítomnosti dravců {ax), ale je redukována interakcí s dravci (-/3xy). O Populace dravců klesá v nepřítomnosti kořisti (-77), ale roste díky interakci s kořistí (Sxy). Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic X - Príklad modelu dravec - kořist Tento model zachycuje základní dynamiku mezi populacemi: O Populace kořisti roste exponenciálně v nepřítomnosti dravců (ax), ale je redukována interakcí s dravci (-/3xy). O Populace dravců klesá v nepřítomnosti kořisti (-77), ale roste díky interakci s kořistí (Sxy). Model předpokládá, že: a Kořist má neomezený přístup k potravě. • Jediným zdrojem potravy pro dravce je kořist. • Míra predace závisí na pravděpodobnosti setkání dravce a kořisti. • Prostředí je konstantní a nemění se v čase. Přestože je tento model značně zjednodušený, poskytuje základní vhled do dynamiky interakce dravec-kořist a slouží jako výchozí bod pro komplexnější modely. = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic XI - Příklad modelu dravec - kořist Konkrétní příklad pro a = ß = 7 = S = 1, tj. systém 2.5 2.0 1.5 10 0.0 \ \ 0.5 1.0 1.5 2 0 2.5 3.0 3.5 □ gi - Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic XII - Příklad - Markovův proces Markovův proces je stochastický proces, který splňuje Markovovu vlastnost - budoucí stav závisí pouze na současném stavu, nikoli na historii stavů. Nechť (Xt)teT je Markovův proces s diskrétním časem a konečným stavovým prostorem S = {si, s2,..., sn}. Lineárni model pro tento proces je dán: p(f+1) = Pp(f), (4.2) kde: • p(ŕ) = (pi(ŕ),p2(0> • • • >Pn(t))T je vektor pravděpodobností stavů v čase ŕ, o P = (pjj) je matice prechodových pravděpodobností. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic XIII - Příklad - Markovův proces Přechodová matice P je stochastická matice, kde p,y reprezentuje pravděpodobnost přechodu ze stavu sy- do stavu s r. ( Pl1 Pl2 Pln \ P21 P22 ' ' ' P2n V Pn1 Pn2 ' ' ' Pnn J přičemž platí: n ^2Pij = 1> Y/ g 1,2,...,n /=1 Vektor 7r = , 7r2,..., 7rn)T je stacionární distribuce pravděpodobností, pokud platí: 7T = P7T □ S1 (4.3) (4.4) Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic XIV - Příklad - Markovův proces Ergodický Markovův řetězec je speciální typ Markovova řetězce, kde se systém v dlouhodobém horizontu dostane do jakéhosi rovnovážného stavu, a to nezávisle na svém výchozím stavu. Jinými slovy, pokud budeme sledovat tento systém dostatečně dlouho, bude trávit určitý podíl času v každém ze svých možných stavů, a to s určitou pravděpodobností. Házení kostkou Představte si jednoduchou hru s kostkou. Hodíte kostkou několikrát za sebou. Každý hod je nezávislý na předchozích hodech. Pokud budeme házet dostatečně dlouho, zjistíme, že každá strana kostky padla přibližně stejný počet krát. Tento jednoduchý příklad ilustruje chování ergodického Markovova řetězce. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Algebra matic XV - Příklad - Markovův proces Pro ergodický Markovův řetězec platí: lim p(ř) = 7r (4.6) nezávisle na počátečním rozdělení p(0). Lineární model Markovova procesu nachází využití v mnoha oblastech, včetně: • Analýzy finančních trhů • Modelování biologických systémů, šíření epidemií • Simulace různých systémů, od fyzikálních procesů až po sociální interakce. • Zpracování přirozeného jazyka (překlady, chatboti) • Predikce počasí • Algoritmů pro simulaci, strojového učení O Operace s bloky Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi - součet a skalární násobek Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi - součet a skalární násobek Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky. Jsou-li A = (Ajj)kXi, B = (Bjj)kXi blokové matice nad číselným tělesem K a odpovídající si bloky A,y, B,y se stejným typem m j x rij, tak jejich součet je opět bloková matice A + B = (Aij + Bij)kx, s bloky stejných typů. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi - součet a skalární násobek Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky. Jsou-li A = (Ajj)kXi, B = (Bjj)kXi blokové matice nad číselným tělesem K a odpovídající si bloky A/y, B/y se stejným typem m j x rij, tak jejich součet je opět bloková matice A + B = (A/y- + B/y-)/cx/ s bloky stejných typů. S operací skalárního násobku je to ještě jednodušší, totiž nemusíme se starat o shodnost rozměrů jednotlivých bloků. cA = (cAjj)kxi. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi I - součin Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n-i + n2 + ... + nu, jako sloupce druhé matice. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi I - součin Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n-i + n2 + ... + nu, jako sloupce druhé matice. Tedy pokud A = (A,y)MX2/, B = (Bjk)ux# jsou blokové matice nad K, přičemž blok A,y je typu m j x n j a blok Bjk typu n j x pk, Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi I - součin Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n-i + n2 + ... + nu, jako sloupce druhé matice. Tedy pokud A = (A,y)MX2/, B = (Bjk)ux# jsou blokové matice nad K, přičemž blok A,y je typu m j x rij a blok By^ typu nj x pk, tak jejich součin je bloková matice tvaru A B = (C//c)/iX^, kde blok C//C = A/i • B1/c + A/2 • B2/c + ... + A/n • Bnk je typu m j x pk. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi I - součin Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme n-i + n2 + ... + nu, jako sloupce druhé matice. Tedy pokud A = (A,y)MX2/, B = (Bjk)ux# jsou blokové matice nad K, přičemž blok A,y je typu m j x rij a blok By^ typu nj x pk, tak jejich součin je bloková matice tvaru A B = (C//c)/iX^, kde blok C//C = A/i • B1/c + A/2 • B2/c + ... + A/n • Bnk je typu m j x pk. Blokové matice násobíme stejně jako "obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi II - diagonála Jednotkové matice \n jsou příkladem tzv. diagonálních matic. □ - = Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi II - diagonála Jednotkové matice \n jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Čtvercovou matici A = (aij)nxn nazýváme diagonální, pokud a,y = 0 pro všechy / ^ j, tj. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi II - diagonála Jednotkové matice \n jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Čtvercovou matici A = (aij)nxn nazýváme diagonální, pokud a,y = 0 pro všechy / ^ j, tj. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly. Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky di,d2,... ,dn e K značíme diag(c/1, c/2,..., dn). Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi II - diagonála Jednotkové matice \n jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Čtvercovou matici A = (a,y)nxn nazýváme diagonální, pokud a,y = 0 pro všechy / ^ j, tj. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly. Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky 0/1,0/2, • • • ,dn e K značíme diag^i, d2,..., dn). Tedy např. \n = diag(1 , 1J. n-krát Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi II - diagonála Jednotkové matice \n jsou příkladem tzv. diagonálních matic. Čtvercovou matici A = (a,y)nXn nazýváme diagonální, pokud a,y = 0 pro všechy / ^ j, tj. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly. Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky 0/1,0/2, • • • ,dn e K značíme diag^i, d2,..., dn). Tedy např. \n = diag(1 , 1J. n-krát Podobně můžeme definovat i tzv. blokově diagonální matice. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi III - diagonála Pokud , A2,..., A/( jsou čtvercové matice rádu n-\, n2 tak blokově diagonální maticí s bloky , A2,..., A^ nazýváme čtvercovou blokovou matici diag(A1,A2,..., A/f) = 0 0 A2 0 \ 0 V 0 0 ... A/f / kde 0 nacházející se na pozici (i, j) označuje nulovou matici 0, 'n,-ny Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi III - diagonála Pokud , A2,..., A/( jsou čtvercové matice rádu n-\, n2 tak blokově diagonální maticí s bloky , A2,..., A^ nazýváme čtvercovou blokovou matici diag(A1,A2,..., A/f) = 0 0 A2 0 \ 0 V 0 0 ... A/f / kde 0 nacházející se na pozici (i, j) označuje nulovou matici 0, 'n,-ny Pravidlo o součinu blokových matic se redukuje na zvlášť jednoduchý tvar pro blokově diagonální matice - násobení funguje diagonálně po složkách. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi IV - diagonála Pokud A = diag(A1,..., A^), B = diag(B1,..., B^) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky A,, B, jsou čtvercové matice stejného řádu nh jejich součin je blokově diagonální matice tvaru A-B = diag(A1 •B1,...,A/C.B/C) s čtvercovými bloky řádů n^...,nk. Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi IV - diagonála Pokud A = diag(A1,..., A^), B = diag(B1,..., B^) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky A,, B, jsou čtvercové matice stejného řádu nh jejich součin je blokově diagonální matice tvaru A-B = diag(A1 •B1,...,A/C.B/C) s čtvercovými bloky řádů n^...,nk. Speciálně, pro "obyčejné" diagonální matice platí diag(ai,..., an) • diag(£>i,..., bn) = diag(ai Ďi,...,anĎn). Abstrakt Matice nad množinou Matice nad tělesem Násobení matic Algebra matic Operace s bloky Operace s blokovými maticemi IV - diagonála Pokud A = diag(A1,..., A^), B = diag(B1,..., B^) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky A,, B, jsou čtvercové matice stejného řádu nh jejich součin je blokově diagonální matice tvaru A-B = diag(A1 •B1,...,A/C.B/C) s čtvercovými bloky řádů n^...,nk. Speciálně, pro "obyčejné" diagonální matice platí diag(ai,..., an) • diag(£>i ,...,bn) = diag(ai Ďi,...,anĎn). Platí analogická pravidla pro součet a skalární násobek (blokově) diagonálních matic. A + B = diag(A1 + B1,..., Ak + Bk) cA = diag(cAl5.... cA/c)