4. Inverzní matice
Jan Paseka
Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita
4. října 2024
Q Inverzní matice
• Definice inverzní matice
• Vlastnosti inverzní matice
• Regulárni matice
Abstrakt Inverzní matice
Abstrakt
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
Definice Vlastnosti
Regulárni matice
V této kapitole zavedeme pojem inverzní matice k dané čtvercové matici.
Dále se naučíme počítat inverzní matice a LU-rozklad matice. Budeme aplikovat LU-rozklad matice na řešení soustav rovnic a výpočet inverze.
Q Inverzní matice
• Definice inverzní matice
• Vlastnosti inverzní matice
• Regulárni matice
Abstrakt Inverzní matice
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
nverzní matice I
Definice Vlastnosti
Regulárni matice
Nechť A g Knxn, t. j. A je čtvercová matice typu n x n. Inverzní matici k matici A rozumíme matici B e Knxn tak, že
A B = \n = B A.
Zrejme k dané čtvercové matici A existuje nanejvýš jedna inverzní matice.
Tuto jednoznačně určenou matici (pokud existuje) budeme značit A-1.
Abstrakt Inverzní matice				Zleva elementární matice            LU-rozklad matice			Definice                   Regulární matice Vlastnosti
						■ ■	
Říkáme, že čtvercová matice A e Knxn je regulární, pokud k n í existuje inverzní matice A1; v opačném prípade A je singulární.
Tvrzení 1.1
Nechť A, B e Knxn jsou regulárni matice.
Potom i matice A1, A B a A7 jsou regulární a platí:
(A-V1=A, (A-B)"1 =B"1 - A"1,
(AT1 = (A-y.
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice	
Inverzní matice			Realizace   ERO   a    Výpočet inverze ESO
Q Realizace řádkových operací pomocí násobení zleva elementárními maticemi
• Realizace ERO
• Realizace ERO a ESO pomocí násobení matic
• Výpočet inverzní matice
Tvrzení 2.1
Nechť A g Kmxn.
(a) Nechť matice B g Kmxn vznikne z A provedením jedné ERO. Označme E matici, která vznikne z matice \m provedením stejné ERO. Potom B = E A.
(b) Nechť matice C g Kmxn vznikne z A provedením jedné ESO. Označme F matici, která vznikne z matice \n provedením stejné ESO. Potom C = A F.
v _
Čtvercové matice E g Knxn, které vzniknou z jednotkové matice \n provedením jediné ERO nebo ESO, nazýváme elementární matice.
Čtvercové matice E g Knxn, které vzniknou z jednotkové
O matice \n provedením jediné ERO, nazýváme zleva elementární matice,
O matice \n provedením jediné ESO, nazýváme zprava elementární matice.
Libovolnou ERO (ESO) na matici A můžeme realizovat vynásobením matice A vhodnou elementární maticí E (F) zleva (zprava).
Abstrakt Inverzní matice
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
Realizace ESO
ERO   a    Výpočet inverze
Výpočet inverzní matice I
Návod na výpočet inverzní matice k dané čtvercové matici A g Knxn:
(A|ln)^9(ln|A-1).
Tvrzení 2.2
Nechť A g Knxn a E^, E2,..., Ek g Knxn jsou elementární matice tak, že Ek ■... ■ E2 • E^ A = \n. Potom A 1 = Ek .... Eo .Ei.
Věta 2.3
Pro libovolné A, B g Knxn platí A B = l„ prává tehdy, když B A = l„.
K stejnému cíli vede též postup reprezentovaný schématem:
/A\ ESO / In \
Tvrzení 2.4
Matice A g Knxn je regulární právě tehdy, když ji můžeme rozložit na součin A = Ei ■... -Ek konečného počtu elementárních matic E^,..., Ek g Knxn.
Tvrzení 2.5
Pro libovolné A, B e Kmxn platí:
(a) A je řádkově ekvivalentní s B (A ~ B) právě tehdy, když existuje regulární matice P g Kmxm tak, že A = P B;
(foj A je sloupcově ekvivalentní s B (AiB) právě tehdy, když existuje regulární matice Q g Knxn tak, že A = B Q.
lásobení
Q LU-rozklad matice
• Definice
• Příklad
• Obecný postup
• Aplikace
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   „ ,. .	Obecný postup
Inverzní matice		Definice	
		Příklad	Aplikace
Definice			
LU-rozklad matice A je faktorizace matice na součin dolní trojúhelníkové matice L (Lower) a horní trojúhelníkové matice U (Upper). Píšeme:
A = LU
kde:
• A je čtvercová matice řádu n,
• L je dolní trojúhelníková matice s jednotkami na diagonále, a
• U je horní trojúhelníková matice.
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice	Definice Příklad	
Inverzní matice				
LU-rozklad je základním nástrojem numerické lineární algebry, který nachází široké uplatnění v mnoha oblastech vědy a techniky. Jeho schopnost efektivně řešit soustavy lineárních rovnic a provádět další numerické operace z něj činí nepostradatelný nástroj pro vědce, inženýry a programátory.
Kde se LU rozklad využívá v praxi? • Numerické metody:
• Řešení parciálních diferenciálních rovnic
• Aproximace funkcí
• Numerická integrace
Simulace:
• Simulace fyzikálních systémů
• Simulace ekonomických modelů
Abstrakt Inverzní matice	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   „ ,. . Definice Příklad	Obecný postup Aplikace
			
Kde se LU rozklad využívá v praxi? Strojové učení:
• Řešení soustav normálních rovnic v metodě nejmenších čtverců
• Výpočet inverzních matic v různých algoritmech o Grafické aplikace:
• Transformace souřadnic
• Řešení problémů souvisejících s geometrií
• Inženýrství:
• Analýza konstrukcí
• Simulace proudění tekutin
• Ekonomie:
• Ekonomické modelování
• Optimalizace portfolia
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice	Definice Příklad	
Inverzní matice				
Obecný tvar matic L a U pro matici 3x3:
U
0
L/12 L/13
L/22 ^23 0 L/33
Nalezení LU-rozkladu můžeme zapsat jako soustavu rovnic:
au = L/-M     321 = h\ ^11 ^31 = /31L/-M
3-I2 = ^12     ^22 = /21 ^12 + ^22     ^32 = /3I LV-j 2 + /32^22
^13 = L/13    a23 — h\ ^13 + ^23    a33 = h\ ^13 + ^32^23 + ^33
LU rozklad se často používá pro řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b, kterou můžeme přepsat jako LUx = b. Toto lze řešit ve dvou krocích: 1. Řešíme Ly = b pro y.   2. Řešíme Ux = y pro x.
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   1 ,. .	Obecný postup
Inverzní matice		Definice	
		Příklad	Aplikace
Příklad II			
Uvažujme následující matici A:
/	2	-1	1
	4	1	-1
v	-2	2	1
Našim cílem je najít matice L a U takové, že A = LU. Postup výpočtu:
O Nejprve určíme první sloupec matice L a první řádek matice U:
/ii=1   (vzdy),   íy11=a11=2,    /2i == - = 2,
L/11 ^
331 —2
'31 = —— =        = "T j ^12 = ^12 = —1, L/13 = 313 = \.
L/11 ^
Abstrakt Inverzní matice
Příklad III
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
Definice Příklad
Obecný post Aplikace
O Nyní vypočítáme zbývající prvky druhého sloupce matice L a druhého řádku matice U:
L/22 Í32
U23 U13
322 ^32
/21 L/12 /3I ^12
1 -2(-1) = 3, 2-(-1)(-1)
L/22
^23 — ^21 ,
-1-2(1)
1
3'
-3.
O Nakonec vypočítáme poslední prvek matice U:
U33 = a33 - /31W13 - /32M23 = 1 - (-1 )(1) - g(-3) = 3.
Abstrakt         Zleva elementární matice            LU-rozklad matice Inverzní matice			Definice                   Obecný postup Příklad Aplikace
Příklad		V	
Pak
/ 1 2
V -1
U
/ 2 -1 0 3 V 0 0
	/ 1	0		(2	-1 1 \	/	2	-1	1
LU =	2	1	0 •	0	3    -3 =		4	1	-1
	^ -1	1 3	1/	\°	0 3/	V	-2	2	1
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice	Definice	Obecný postup
Inverzní matice				
			Příklad	Aplikace
Nechť R je dolní (horní) trojúhelníková matice řádu n s nenulovými všemi prvky na hlavní diagonále. Pak R je regulární a inverzní matice R~1 je také dolní (horní) trojúhelníková. Má-li navíc matice R na hlavní diagonále všechny prvky rovné 1, pak i matice R~1 má samé jednotky na hlavní diagonále.
Věta 3.2 (O LU-rozkladu)
Nechť A je regulární matice řádu n, u které při Gaussově eliminaci nemusíme prohazovat řádky. Pak existují regulární matice L a U řádu n, pro které platí A = LU, L je dolní trojúhelníková matice s jednotkami na hlavní diagonále, U je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále.
Matice L a U jsou těmito podmínkami určené jednoznačně.
Abstrakt Zleva elementární matice LU-rozklad matice   „ ,. .
Inverzní matice Deflnlce 0becny PostuP
Přiklad Aplikace
Řešení soustavy rovnic pomocí LU-rozkladu I
Následující příklad ukazuje, jak použít LU-rozklad k řešení soustavy lineárních rovnic. Proces zahrnuje tři hlavní kroky:
O Provedení LU-rozkladu matice koeficientů. O Řešení soustavy Ly = b pro y. O Řešení soustavy Ux = y pro x.
Tento přístup je zvláště užitečný, když potřebujeme řešit více soustav se stejnou maticí koeficientů, ale různými pravými stranami, protože LU rozklad stačí provést pouze jednou.
Uvažujme soustavu lineárních rovnic:
2xi - x2 + x3 = 1 4xi +x2- x3 = -2 -2xi + 2x2 + x3 = l
Tuto soustavu můžeme zapsat v maticovém tvaru Ax = b, kde:
/   2  -1     1 \ / * \ /   1 \
A=      4     1   -1    ,   x=    x2    ,   b= -2 1-221/ \x3 J \   7 J
Abstrakt Zleva elementární matice LU-rozklad matice   „ ,. .
Inverzní matice Deflnlce 0becny Post
Přiklad Aplikace
Řešení soustavy rovnic pomocí LU-rozkladu III
Z předchozího příkladu víme, že LU-rozklad matice A je: / 1    0  0 \ / 2  -1 1
2    1 0 Nyní řešíme soustavu Ly = b:
U
1
-y^ + g/2 + 73 = 7
0 3-3 V 0   0 3
/ 1
V 7
73
= -2-2(1) = 7+1-i(-4)
25 T
Abstrakt Inverzní matice
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
U-rozkladu IV
Nyní řešíme soustavu Ux = y:
Řešíme zpětnou substitucí:
3x2 - 3x3 = -4 x2
Abstrakt Inverzní matice
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
Definice Příklad
Obecný postup Aplikace
Řešení soustavy rovnic pomocí LU-rozkladu V
Řešení soustavy rovnic je:
1
25 9
Můžeme ověřit řešení dosazením do původní soustavy:
1
7    , 25
25
4<-T8) + 1-T = -T + 1-T = -2
-2(-^) + 2(D + f = | + 2 + f =
Abstrakt Inverzní matice	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   1 ,. . Definice Příklad	IHtHiaiilti	
		LU-rozkladu I		
Uvažujme matici A:
Chceme najít A 1 pomocí LU-rozkladu. Krok 1: LU-rozklad matice A
Z předchozích příkladů víme, že LU-rozklad matice A je:
/ 1 2
V -1
U
/ 2
0 3 V 0 0
1 1
Abstrakt	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   1 ,. .	Obecný postup
Inverzní matice		Definice	
		Příklad	Aplikace
			
Krok 2: Řešení soustavy pro každý sloupec jednotkové matice
Pro nalezení A1 musíme vyřešit AX = I, kde I je jednotková matice 3x3.
To znamená, že budeme řešit tři soustavy rovnic Ax, = e/5 kde X/ je /-tý sloupec A1 a e,- je /-tý sloupec jednotkové matice. Pro první sloupec    = (1,0,0)r: Řešíme Ly =   : ^
= 1, 2/! + y2 = 0 y2 = -2, -y! + -y2 + y3 = 0
_ 1
Řešíme Ux^ = y: ^   73 - g
^13 = ?:, 3x12-3x13 =-2      x12 = -5 2*n -x12 + x13 = 1,
3 1
Abstrakt         Zleva elementární matice Inverzní matice						LU-rozklad matice			mm mmm
						H		kladu III	
Pro druhý sloupec e2 = (0,1,0)r: Řešíme Ly = e2:
71 =0 2/1 + y2 = 1
-/i + ^72 + 73 = o Řešíme Ux2 = y:
*23 =
3x22 - 3x23 = 1 2x21 - x22 + x23 = 0
1
9
y2 = 1
73
1
3
x22
X21
2
9 1
6
Abstrakt Inverzní matice
Zleva elementární matice
LU-rozklad matice
Definice Příklad
Obecný postup Aplikace
Výpočet inverze pomocí LU-rozkladu IV
Pro třetí sloupec e3 Řešíme Ly = e3:
(0,0,1)r:
y^ =
2/1 + 72 = 1
Řešíme Ux3 = y:
*33
3*32 — 3^33 2*31 - X32 + *33
0 0
1
3
o
0
y2 = 0 73 = 1
*32 = 3
*31
1
3 0
			
			
Abstrakt Inverzní matice	Zleva elementární matice	LU-rozklad matice   1 ,. . Definice Příklad	
	^^^^^^	LU-rozkladu V	
Krok 3: Sestavení inverzní matice
Nyní můžeme sestavit inverzní matici /A~1 z vypočtených
sloupců:
/ V
1
2
r
— < ť 9
"5 9
AA
/
"5 9
1
6
2
9
V    1     _1 1
\    9 9 3
Tímto jsme úspěšně vypočítali inverzní matici pomocí LU-rozkladu a ověřili její správnost.