Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou KOMPLEXNÍ CISLA a TELESA Jan Paseka Ústav matematiky a štatistiky Masarykova univerzita 8. zárí 2024 Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Q Motivace pro zavedení komplexních čísel Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Abstrakt V této kapitole připomeneme základní vlastnosti komplexních čísel. Dále zavedeme pojem obecného tělesa K. Prvky tělesa budeme nazývat skaláry. Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura iplexních Očísel komplexní jednotkou Motivace pro zavedeni komplexních čísel obory ^ VJUUI I LI I wí\y L v Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou V reálných číslech nemá rovnice x2 = -1 žádné řešení. Tato skutečnost nás motivuje k rozšíření množiny reálných čísel tak, abychom získali řešení této rovnice a zároveň zachovali všechna pravidla pro sčítání a násobení. Zavedeme nový symbol /', pro který platí: i2 = -1 Toto / nazveme imaginárni jednotkou. Definice 1 Komplexní číslo je číslo z ve tvaru a + bi, kde a spolu s b jsou reálná čísla a i je imaginárni jednotka. Mluvíme o algebraickém tvaru. Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura -- -2/ ---3/ Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou obory Q, R a C Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Zápis Operace Algebraický tvar sel komplexní jednotkou I Komplexní číslo z v algebraickém tvaru zapisujeme jako: z = a + bi kde: • a je reálná část komplexního čísla z • b je imaginární část komplexního čísla z Speciální případy: • Pokud b = 0, pak z = a je reálné číslo. • Pokud a = 0, pak z = bi je ryze imaginární číslo. o Pokud a = 0 a b = 0, pak z = 0 je nulové komplexní číslo. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Sčítání a násobení Dvě komplexní čísla = a + biaz2 = c + di jsou si rovna, právě když: a = c a b = d Pro zachování pravidel sčítání dvou komplexních čísel definujeme: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i a násobení dvou komplexních čísel definujeme: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + ac// + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Operace Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Zápis Díky tomuto rozšíření jsme získali: • Řešení rovnice x2 = -1, konkrétně x = i a x = -i 9 Možnost řešit kvadratické rovnice s negativním diskriminantem • Zachování všech algebraických pravidel pro sčítání a násobení Pro komplexní číslo z = a + bi definujeme komplexně sdružené číslo ž jako: ž = a - bi Pro nenulové komplexní číslo z = a + bi existuje multiplikativní inverze. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Dělení a absolutní hodnota Pro Z\ = a + bi a z2 = c + d i (z2 ^ 0): Z\ (ac + bd) + (bc - ad)i ZŠ = c2 + d2 Pro z = a + bi' \e absolutní hodnota z: |z| = Va2 + b2 Výhody algebraického tvaru • Snadná interpretace reálné a imaginární části o Jednoduché sčítání a odčítání Algebraický tvar komplexních čísel poskytuje intuitivní a praktický způsob reprezentace a manipulace s komplexními čísly v matematice a jejích aplikacích. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura ZaPls Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Vztah s AT Výhody Interpretace Q Geometrický tvar • Zápis Vztah s AT • Interpretace Násobení Výhody :a a 7'. UUUI y ir\ d ^ sxních ednotkou i počátku I CIS6I n G Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Zápis Násobení Vztah s AT Výhody Interpretace Geometrický tvar Geometrický tvar komplexních čísel, známý také jako polární tvar, poskytuje alternativní způsob reprezentace komplexních čísel, který zdůrazňuje jejich geometrickou interpretaci. Definice 2 Komplexní číslo z v geometrickém tvaru zapisujeme jako: z = r(cos6 + / sin 9) kde: • r je absolutní hodnota (modul) komplexního čísla 9 6 je argument komplexního čísla (úhel s kladnou reálnou osou) Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Zápis Násobení Vztah s AT Výhody Interpretace Vzl ta h s a ig e bra ic kýrr 11 tva rerr i a Eulerův vzorec Pro komplexní číslo z = a + bi v algebraickém tvaru platí: r = V a2 + b2 6 = arctan (s patřičnou korekcí pro různé kvadranty) Eulerův vzorec spojuje exponenciální funkci s goniometrickými funkcemi: e'6 = cos 9 + / sin 6> Díky tomu můžeme geometrický tvar zapsat také jako: z = re'6 Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních < sel komplexní jednotkou Tělesa :í- Algebraická struktura Zápis Násobení Vztah s AT Výhody Interpretace Geometric ká in :er d re tace Im b Z a -> Re Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Zápis Násobení Vztah s AT Výhody Interpretace Pro Z\ = r\(cos#i + / sin^)az2 = r2(cos#2 + /sinO*)'-• z2 = r1r2[cos(^1 + 02) + /sin(^ + 02)] To znamená, že při násobení komplexních čísel: • Násobíme jejich moduly • Sčítáme jejich argumenty Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Zápis Vztah s AT Interpretace Násobení Výhody Geometrický význam násobení Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Pro komplexní číslo z = r(cos6 + / sin 9) a přirozené číslo n platí: zn = rn(cos{n6) + is\n(n6)) Toto je známé jako de Moivreova věta. Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Zápis Vztah s AT Interpretace Násobení Výhody Výhody geometrického tvaru • Snadná vizualizace komplexních čísel v komplexní rovině • Zjednodušení násobení a umocňování komplexních čísel • Přímá souvislost s goniometrickými funkcemi Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura nti mi Q Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou jako rotace kolem počátku ciselne y Vij aC VJUUI I LI I wí\y L v Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura nich čísel komplexní jednotkou Násobení komplexního čísla komplexní jednotkou má zajímavý geometrický význam - způsobuje rotaci bodu reprezentujícího komplexní číslo kolem počátku komplexní roviny. Komplexní jednotka \e komplexní číslo s absolutní hodnotou 1. V polárním tvaru ji můžeme zapsat jako: u = cos 9 + /sin0 = e10 kde 9 je libovolný reálný úhel. Mějme komplexní číslo z = r(cos0 + / sin 4>) = re'^. Při násobení z komplexní jednotkou u dostaneme: uz = (cos 6 + / sin 6)(r cos — sin 9 sin cf)) + /V(sin 9 cos 4> + cos 9 sin cf)) = r[cos{9 + 0) + /sin(0 + 0)] = re7'^^ Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou geometrická interpretace Z výsledku výše vidíme, že násobení komplexním číslem z komplexní jednotkou u\ 9 Zachovává absolutní hodnotu (modul) r původního čísla z • Přičítá argument 9 komplexní jednotky u k argumentu 0 čísla z Geometricky to znamená, že bod reprezentující z v komplexní rovině se otočí o úhel 9 kolem počátku souřadnic. Speciální případy • Násobení číslem / (tj. 9 = 90) otáčí bod o 90° proti směru hodinových ručiček. • Násobení číslem -1 (tj. 9 = 180) otáčí bod o 180°. • Násobení číslem -/' (tj. 9 = 270) otáčí bod o 90° ve směru hodinových ručiček. Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou geometrická interpretace > Re Násobení komplexního čísla komplexní jednotkou je elegantní způsob, jak provádět rotace v komplexní rovině. Tento koncept má široké uplatnění v mnoha oblastech matematiky a fyziky, včetně zpracování signálů, kvantové mechaniky a teorie grup. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Q Telesa a základní číselné obory Q, R a C • Základní číselné obory • Axiomy telesa • Vlastnosti téles • Konečná telesa ar tkou Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Základní pojmy N - množina všech prirazených čísel, Z - množina všech celých čísel, O - množina všech racionálních čísel, C c R C R - množina všech reálnych čísel, C - množina všech komplexních čísel. Nulu považujeme za prirazené číslo, tj. 0 e N. Prvky výše uvedených číselných oborů Q, M, C nazýváme často skaláry. V tomto prípade pak budeme mluvit o číselném tělese. Na každé z množin Q, M, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení . Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, tj. pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí x • (y + z) = x • y + x • z, (x + y) • z = x • z + y • z. Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, R a C "chudší" -totiž rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, R, C řešení x = b - a pre libovolné a, £>, ale v N je takováto rovnice řešitelná, pokud a < b. Obory Q, IR a C jsou však "bohatší" nejen v porovnání s N, ale i s Z - rovnice tvaru ax = b mají v oborech Q, R, C řešení pro libovolné a ^ 0 a b, přičemž v N či Z jsou řešitelné, pouze pokud a je dělitelem b. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K sčítáním + a násobením - takovými, že platí (Va,b g K)(a + b=b+a), (Va,b e K)(a■b = b-ä)1 (Va, b, c g K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (Va, b, c g K)(a • {b ■ c) = (a • b) • c), (Vae K)(0 + a = a), (Va g K)(1 -a = a), (Vae K)(a + b = 0), (Vae K\{0})(3be K)(a-b= 1), (Va,b,c g K)(a• (b +c) = (a-b) + (a-c)), 0^1 Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Prvek b e K takový, že a + b = 0, je k danému a g K určený jednoznačně. Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme -a a nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (-b) píšeme jen a - b. Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b e K takový, že a • b = 1 je k danému O/aeK určený jednoznačně -označujeme ho a~1 nebo \, případně 1 /a a nazýváme inverzní prvek k a nebo převrácená hodnota prvku a. Místo a • £r1 píšeme též | nebo a/b. Abstrakt Motivace Algebraický tvar Geometrický tvar Násobení komplexních čísel komplexní jednotkou Tělesa Algebraická struktura Číselné obory Axiomy tělesa Vlastnosti těles Konečná tělesa Vlastnosti těles I Tvrzení 5.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a, £>, c, bi,..., bn g K platí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a-b = a-c&a^0) b = c, (c) a-0 = 0, (d) ab = 0 (a = 0 v b = 0), (e) -a=(-1).a, (f) a - (b - c) = a - b - a - c, (g) a-(b^+ ... + bn) = a-b^+ ... + a-bn. Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Číselné obory Axiomy tělesa Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Konečná tělesa Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a g K, n e N klademe (-n)a = -(na) = n(-a). Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i libovolné celočíselné mocniny. Pro 0 / a e /(, neN klademe a-n = (an)-1 =(a"1)n. 0a = 0, 1a = a, a° = 1, a1 = a, n(a + b) = na + nb, (m + rí)a = ma + na, (mn)a = m(ná), (mn)(a ■ b) = (ma) ■ (nb), (a • b)n = an ■ bn, n < 0 a ^ 0 ^ b, am+n = am.an^ (/t? < 0 V d < 0) a^O, a™ = (am)n, (AT?<0v/7<0)^a^0 Va, b e K, m, n e Z. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Vlastnosti těles III Nechť K je těleso a L c K. Říkáme, že L je podtěleso tělesa K, pokud 0,1 £ Z. a pro všechna a, £> e L platí a + b e Z_, ab e L, -a e L a, pokud a ^ 0, tak i a-1 e L Podtěleso tělesa K je tedy jeho podmnožina L, která obsahuje nulu a jedničku a je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení, opačnému a inverznímu prvku. Zřejmě každé podtěleso tělesa K je s těmito operacemi zúženými z K na L i samo tělesem. Říkáme pak, že těleso K je rozšířením tělesa L Zřejmě těleso Q je podtělesem tělesa R i tělesa C; těleso C je rozšířením těles Q a R. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Číselné obory Axiomy tělesa Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Konečná tělesa Charakteristikou tělesa K, píšeme charK, nazýváme nejmenší kladné celé číslo n takové, že n1 = 0; pokud takové n neexistuje, t.j. n1 ^ 0 pro každé celé n > 0, říkáme že K má charakteristiku oo (někteří autoři definují charK = 0). Je-li těleso K rozšířením tělesa L, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto charK = charL Zřejmě charQ = charM = charC = oo. Věta 5.2 Nechť K je těleso. Potom charK je rovna oo nebo prvočíslu. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura číselné obory Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Axiomy tělesa Konečná tělesa Konečná tělesa I V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není oo. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté konečné těleso Zp, které má p prvků a charakteristiku p. Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou nekonečná. Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z hlediska fyzikálních aplikací, jsou nejdůležitějšími tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování a kryptografii. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Číselné obory Axiomy tělesa Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Konečná tělesa Pro každé kladné celé číslo n označme Zn = [k g N I k < n} = {0,1,..., n - 1}. Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě binární operace - sčítání © a násobení © (je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací + a • v Z). Pro a,b eZn klademe a © b = zbytek po dělení a + b číslem n, a © b = zbytek po dělení a ■ b číslem n. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Číselné obory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Konečná tělesa 1 1 ©a 0 jsou asociativní a komutativní operace na Z„, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a dále ©a = n - a je opačný prvek k a e Zn. Množina Zn s operacemi © a © je těleso právě tehdy, když n je prvočíslo. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Číselné obory Axiomy tělesa Vlastnosti těles Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Konečná tělesa © 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Multiplikativní tabulky sčítání a násobení v tělese Z5. Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou O Algebraická struktura Abstrakt Geometrický tvar Tělesa Motivace Násobení komplexních čí- Algebraická struktura Algebraický tvar sel komplexní jednotkou Množina komplexních čísel C s operacemi sčítání a násobení tvoří těleso, které je algebraicky uzavřené. To znamená, že každá polynomiální rovnice s komplexními koeficienty má alespoň jedno komplexní řešení. Nechť K je libovolné těleso a m, n e N. Maticí typu m x n, nebo též m x n-rozměrnou maticí nad tělesem K rozumíme obdélníkovou tabulku / ai i ai 2 ^21 #22 • am \ lmn J sestávající z prvků K.