Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení 5. VEKTOROVÉ PROSTORY Jan Paseka Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita 14. října 2024 □ t3 Motivace ^ . • Geometrická ™ 1 interpretace vektorů prosu V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení. Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru. Dále prozkoumáme pojem lineárního zobrazení. V této kapitole zavedeme dva pojmy, které budou hrát v následujícím výkladu klíčovou úlohu a dokážeme o nich několik jednoduchých tvrzení. Půjde o pojem tělesa a vektorového prostoru. Dále prozkoumáme pojem lineárního zobrazení. Prvky tělesa budeme nazývat skaláry a prvky vektorového prostoru vektory. Motivace ^ . • Geometrická ™ 1 interpretace vektorů prosu Vektory v rovině či v prostoru si představujeme jako orientované úsečky, tj. úsečky, jejichž jeden krajní bod považujeme za počáteční a druhý za koncový - ten je označený obvykle šipkou. □ s Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Vektory v rovině či v prostoru si představujeme jako orientované úsečky, tj. úsečky, jejichž jeden krajní bod považujeme za počáteční a druhý za koncový - ten je označený obvykle šipkou. Přitom dvě stejně dlouhé, rovnoběžné a souhlasně orientované úsečky představují ten stejný vektor - říkáme, že jsou umístění téhož vektoru. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny vektory v rovině či v prostoru můžeme jednoznačně reprezentovat jako orientované úsečky OÁ s počátkem v O. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Zvolíme-li si nějaký pevný bod O, pak všechny vektory v rovině či v prostoru můžeme jednoznačně reprezentovat jako orientované úsečky OÁ s počátkem v O. Jejich koncem může být libovolný bod A roviny či prostoru, bod O nevyjímaje - orientovaná úsečka oÔ totiž představuje tzv. nulový vektor. Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku. Vektory v rovině či v prostoru můžeme sčítat pomocí tzv. vektorového rovnoběžníku. Součet vektorů u = OA, v = je potom znázorněny orientovanou úhlopříčkou u + v = oé rovnoběžníka, jeho dvě přilehlé strany tvoří úsečky OA, OB. Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, tj. našem případě reálnými čísly: Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, tj. v našem případě reálnými čísly: pokud c e R a v je vektor, tak cv je vektor, tj. orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v, pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud c < 0 Abstrakt Motivace Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Vektory můžeme rovněž násobit libovolnými skaláry, tj. v našem případě reálnými čísly: pokud c g IR a v je vektor, tak cv je vektor, tj. orientovaná úsečka s počátkem v O, jejíž délka je |c|-násobkem délky úsečky v, leží na té stejné přímce jako v a je orientovaná souhlasně s v, pokud c > 0, resp. nesouhlasně s v, pokud c < 0 (je-li c = 0 nebo v je nulový vektor, tak, samozřejmě, i cv je nulový vektor, takže nezáleží na jeho směru ani orientaci). -v Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, tj. navzájem kolmé přímky procházející počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém v rovině či v prostoru. Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, tj. navzájem kolmé přímky procházející počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém v rovině či v prostoru. Každý bod roviny či prostoru je potom jednoznačně určený uspořádanou dvojicí, resp. trojicí svých souřadnic a naopak, každá dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký bod roviny či prostoru. Pokud si mimo počátek O zvolíme v rovině či prostoru ještě dvě resp. tři souřadné osy, tj. navzájem kolmé přímky procházející počátkem, a na každé z nich jeden bod ve stejné jednotkové vzdálenosti od počátku, dostaneme pravouhlý souřadnicový systém v rovině či v prostoru. Každý bod roviny či prostoru je potom jednoznačně určený uspořádanou dvojicí, resp. trojicí svých souřadnic a naopak, každá dvojice resp. trojice souřadnic jednoznačně určuje nějaký bod roviny či prostoru. Při pevném souřadnicovém systému tak můžeme množinu všech vektorů v rovině ztotožnit s množinou IR2 a množinu všech vektorů v prostoru s množinou IR3. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Jsou-li (při takovémto ztotožnění) u = , u2) g IR2, v = , v2) g IR2 dva vektory v rovině, tak snadno ověříme, že pro jejich součet u + v, daný vektorovým rovnoběžníkem, platí u + v = (1/1, i/2) + (Ví, v2) = (1/1 + 1/1,1/2 + V2). Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Jsou-li (při takovémto ztotožnění) u = , u2) g IR2, v = , v2) g IR2 dva vektory v rovině, tak snadno ověříme, že pro jejich součet u + v, daný vektorovým rovnoběžníkem, platí u + v = (1/1, i/2) + (Ví, v2) = (1/1 + 1/1,1/2 + V2). Je-li c g IR, pak pro skalární násobek cu dostáváme cu = c(l/-i , t/2) = (cl/1, cl/2). Podobně to můžeme ověřit pro vektory v prostoru, tj. uspořádané trojice reálných čísel. Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky neležící v rovině (v prostoru) protínající se v počátku O. Navíc si všimněme, že předpoklady kolmosti souřadných os a rovnosti jednotkových délek v jednotlivých směrech nehrály v našich úvahách žádnou roli. Stačí, aby systém souřadných os tvořily dvě různoběžné přímky (v rovině) resp. tři přímky neležící v rovině (v prostoru) protínající se v počátku O. Za jednotkové délky ve směrech jednotlivých souřadných os můžeme zvolit délky libovolných (ne nutně stejně dlouhých) úseček. • Konečná tělesa Tělesa a základní číselné obory Q,RaC • Základní číselné obory • Axiomy tělesa • Vlastnosti těles i j I UO Lvy I ^1 I I □ S1 Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, Q - množina všech racionálních čísel, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, c Q - množina všech racionálních čísel, R - množina všech reálnych čísel, ^ C - množina všech komplexních čísel. N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, c Q - množina všech racionálních čísel, R - množina všech reálnych čísel, ^ C - množina všech komplexních čísel. Nulu považujeme za přirozené číslo, tj. 0 g N. □ s Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, Q - množina všech racionálních čísel, R - množina všech reálnych čísel, C - množina všech komplexních čísel. Nulu považujeme za přirozené číslo, tj. 0 g N. Imaginární jednotku (která je prvkem C - IR) budeme značit i □ - = Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, Q - množina všech racionálních čísel, R - množina všech reálnych čísel, C - množina všech komplexních čísel. Nulu považujeme za přirozené číslo, tj. 0 g N. Imaginární jednotku (která je prvkem C - IR) budeme značit i. Prvky výše uvedených číselných oborů Q, IR, C nazýváme často skaláry. V tomto případě pak budeme mluvit o číselném tělese. Na každé z množin Q, IR, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení •. □ - Na každé z množin Q, IR, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení •. Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. □ - Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Na každé z množin Q, IR, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení •. Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, tj. pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí x • (y + z) = x • y + x • z, (x + y) • z = x • z + y • z. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Na každé z množin Q, IR, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení •. Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, tj. pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí x • (y + z) = x • y + x • z, (x + y) • z = x • z + y • z. Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, IR a C "chudší" -totiž rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, IR, C řešení x = Ď - a pre libovolné a, Ď, ale v N je takováto rovnice řešitelná, pokud a < b. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory 11 Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Na každé z množin Q, IR, C jsou definované dvě binární operace, sčítaní + a násobení •. Obě tyto operace jsou asociativní a komutativní. Násobení je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání, tj. pro všechny prvky x, y, z příslušné množiny platí x • (y + z) = x • y + x • z, (x + y) • z = x • z + y • z. Číselný obor N je v porovnaní s obory Z, Q, IR a C "chudší" -totiž rovnice tvaru x + a = b mají v oborech Z, Q, IR, C řešení x = Ď - a pre libovolné a, Ď, ale v N je takováto rovnice řešitelná, pokud a < b. Obory Q, IR a C jsou však "bohatší" nejen v porovnání s N, ale i s Z - rovnice tvaru ax = b mají v oborech Q, IR, C řešení pro libovolné a ^ 0 a b, přičemž v N či Z jsou řešitelné, pouze Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K -sčítáním + a násobením - takovými, že platí (Va,b g K){a + b = b + a), (Va,b e K){a-b = b-a), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K -sčítáním + a násobením ■ - takovými, že platí (Va, b e K)(a + b = b + a), (Va, b e K)(a b = bá), (Va, b,c e K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (Va,Ď,c e K)(a■ (b■ c) = (a- b) ■ c), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K -sčítáním + a násobením ■ - takovými, že platí (Va, b e K)(a + b = b + a), (Va, b e K)(a b = bá), (Va, b,c e K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (Va,Ď,c e K)(a■ (b■ c) = (a- b) ■ c), (Va g K)(0 + a = a), (Va g K)(1 • a = a), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K -sčítáním + a násobením ■ - takovými, že platí (Va, b e K)(a + b = b + a), (Va, b e K)(a b = bá), (Va, b,c e K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (Va,Ď,c e K)(a■ (b■ c) = (a- b) ■ c), (Va e K)(0 + a = a), (Va g K)(1 • a = a), (Vae K)(3be K)(a + b = 0), (Va g K \ {0})(3 g K)(a • Ď = 1), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tělesem nazýváme množinu K s dvěma význačnými prvky -nulou 0 a jedničkou 1 - a dvěma binárními operacemi na K -sčítáním + a násobením ■ - takovými, že platí (Va, b e K)(a + b = b + a), (Va, b e K)(a b = ba), (Va, b,c e K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (Va,Ď,c g K)(a■ (b■ c) = (a- b) ■ c), (Va e K)(0 + a = a), (Va g K)(1 • a = a), (Vae K)(3be K)(a + b = 0), (Va g K \ {0})(3 b g K)(a • Ď = 1), (Va, Ď, c g K)(a ■ (b + c) = (a - b) + (a,-j;))e >q jU-i ► . Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Prvek b e K takový, že a + b = 0, je k danému a e K určený jednoznačně. Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme -a a nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (-b) píšeme jen a- b. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Prvek b e K takový, že a + b = 0, je k danému a e K určený jednoznačně. Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme -a a nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (-b) píšeme jen a - b. Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b e K takový, že a • b = 1 je k danému 0 ^ ae K určený jednoznačně -označujeme ho a~1 nebo \, případně 1 /a a nazýváme Inverzní prvek k a nebo převrácená hodnota prvku a. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory L Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Sčítání a násobení v tělese jsou komutativní a asociativní operace a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání. 0 je neutrální prvek sčítání a 1 je neutrální prvek násobení a tyto prvky jsou navzájem různé. Prvek b e K takový, že a + b = 0, je k danému a e K určený jednoznačně. Tento jednoznačně určený prvek k danému a označujeme -a a nazýváme opačný prvek k a. Místo a + (-b) píšeme jen a- b. Analogicky se lze přesvědčit, že i prvek b e K takový, že a • b = 1 je k danému 0 ^ ae K určený jednoznačně -označujeme ho a~1 nebo \, případně 1 /a a nazýváme inverzní prvek k a nebo převrácená hodnota prvku a. Místo a • Ď~1 píšeme též I nebo a/b. Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a-í) = a- c& a^O) b = c, Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a • b = a • c & a ^ 0) =4> £> = c, (cj a • 0 = 0, Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a-í) = a- c& a^O) b = c, (c) a • O = O, (d) a• b = O (a = Ovů = 0), Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a • b = a • c & a ^ 0) =4> £> = c, (cj a • 0 = 0, (d) a • Ď = 0 (a = 0ví) = 0), -a =(-!)■ a, Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a • b = a • c & a ^ 0) =4> £> = c, (cj a • 0 = 0, (d) a • Ď = 0 (a = 0ví) = 0), ^; _a = (-!)• a, (TJ a - (b - c) = a - b - a - c, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a • b = a • c & a 7^ 0) =4> £> = c, (c) a • 0 = 0, (c/j a• b = 0 (a = 0vů = 0), (e) _a = (-!)• a, (TJ a - (b - c) = a - b - a - c, (g) a • (fy + ... + bn) = a • fy + ... + a • bn. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Tvrzení 2.1 Buď K těleso. Potom pro všechna n e N a a,b,c,bi,...,bn e Kplatí (a) a + b = a + c b = c, (b) (a • b = a • c & a 7^ 0) =4> £> = c, (c) a • 0 = 0, (c/j a• b = 0 (a = 0vů = 0), (e) _a = (-!)• a, (TJ a - (b - c) = a - b - a - c, (g) a • (fy + ... + bn) = a • fy + ... + a • bn. Doplňme, že podmínky (a) a (b) sa nazývají zákony o krácení pro sčítaní resp. násobení v tělese. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení č A íselné obory Vlastnosti těles xiomy tělesa Konečná tělesa Vlastnosti těles II Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a g K, n e N klademe (-n)a = -(na) = n(-a). □ s Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a g K, n e N klademe (-n)a = -(na) = n(-a). Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i libovolné celočíselné mocniny. Pro O^ae/C, neN klademe a-" = (an)-1 =(a"1)n. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Podmínka (e) nám umožňuje zavést libovolné celočíselné násobky prvků z tělesa. Pro a g K, n e N klademe (-n)a = -(na) = n(-a). Podobně lze pro nenulové prvky tělesa zavést i libovolné celočíselné mocniny. Pro O^ae/C, neN klademe a-" = (an)-1 =(a"1)n. 0a = 0, 1a = a, a° = 1, a1 = a, n(a + £>) = na + nb, (m + rí)a = ma + na, (mn)a = m(ná), (mn)(a • £>) = (ma) • (nb), (a-b)n = an - bn, n<0^a^0^b, am+n = am .an^ (AT? < 0 V A7 < 0) ^ a ^ 0, amn = (amy^ (A77 0, říkáme že /C má charakteristiku oc (někteří autoři definují char/C = 0). Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Charakteristikou tělesa K, píšeme char/C, nazýváme nejmenší kladné celé číslo n takové, že n1 = 0; pokud takové n neexistuje, t.j. n1 ^ 0 pro každé celé n > 0, říkáme že /C má charakteristiku oc (někteří autoři definují char/C = 0). Je-li těleso K rozšířením tělesa /_, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto char/C = charL Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Charakteristikou tělesa K, píšeme char/C, nazýváme nejmenší kladné celé číslo n takové, že n1 = 0; pokud takové n neexistuje, t.j. n1 ^ 0 pro každé celé n > 0, říkáme že /C má charakteristiku oc (někteří autoři definují char/C = 0). Je-li těleso K rozšířením tělesa /_, tak obě tělesa K a L mají tutéž jedničku i nulu, a proto char/C = charL Zřejmě charQ = charlR = charC = oc. Nechť K je těleso. Potom char/C je rovna oc nebo prvočíslu. V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není oc. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. □ - Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není oc. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté konečné těleso Z které má p prvků a charakteristiku p. Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou nekonečná. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa V tomto odstavci si ukážeme příklady těles, jejichž charakteristika není oc. Z tohoto důvodu se tato tělesa podstatně liší od nám známých číselných těles. Totiž, pro každé prvočíslo p sestrojíme jisté konečné těleso ZA které má p prvků a charakteristiku p. Naopak, dříve uvedená číselná tělesa jsou nekonečná. Pro potřeby matematické analýzy, tedy i z hlediska fyzikálních aplikací, jsou nedůležitějšími tělesy R a C. Konečná tělesa však v současnosti sehrávají důležitou úlohu např. v teorii kódování a kryptografii. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Pro každé kladné celé číslo n označme n = {k e N I k < n} = {0,1,..., n - 1} Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Pro každé kladné celé číslo n označme n = {k g N I k < n} = {0,1,..., n - 1} Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tnd modulo n. Na této množině zavedeme dvě binární operace - sčítání e a násobení © (je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací + a • v Z). Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa Pro každé kladné celé číslo n označme Zn = {k e N | k < n} = {0,1,..., n - 1}. Množinu Zn nazýváme množinou zbytkových tříd modulo n. Na této množině zavedeme dvě binární operace - sčítání © a násobení © (je nutné odlišit sčítání a násobení v Zn od příslušných operací + a • v Z). Pro a,beZn klademe a © b = zbytek po dělení a + b číslem n, a © b = zbytek po dělení a • b číslem n. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa e a © jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa e a © jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a dále ea = n - a je opačný prvek k a e Zn. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Clselne °bory Vlastnosti těles Axiomy tělesa Konečná tělesa e a © jsou asociativní a komutativní operace na Zn, 0 je neutrální prvek sčítání a, pro n > 1, 1 je neutrální prvek násobení. Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání a dále ©a = n - a je opačný prvek k a e Zn. Věta 2.3 Množina Zn s operacemi © a © je těleso právě tehdy, když n je prvočíslo. e 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Multiplikativní tabulky sčítání © 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 a násobení v tělese Z5. • Vektorové prostory • Příklady vektorových prostorů Q Vektorové prostory Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V -> V a Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V -> V a násobením • : K x V -> V - takovými, že platí Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V V a násobením •: K x V ->■ V - takovými, že platí (Vx, y, z g V)(x + (y + z) = (x + y) + z)), (Vx,y g l/)(x + y = y + x), (Vxg V)(x + 0 = x), (Vxg \/)(3y g l/)(x + y = 0), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V V a násobením •: K x V ->■ V - takovými, že platí (Vx, y, z g V)(x + (y + z) = (x + y) + z)), (Vx,y e l/)(x + y = y + x), (Vxg V)(x + 0 = x), (Vxg V)(3y e ^)(x + y = 0), (Va, b g /C)(Vx g \/)(a • (b ■ x) = (ab) • x), (Vx g V)(-\ x = x), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Buď K (číselné) těleso. Vektorovým nebo též lineárním prostorem nad K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi - sčítáním + : V x V V a násobením •: K x V ->■ V - takovými, že platí (Vx, y, z g V)(x + (y + z) = (x + y) + z)), (Vx,y e l/)(x + y = y + x), (Vxg V)(x + 0 = x), (Vxg \/)(3y g l/)(x + y = 0), (Va, Ď g /C)(Vx g V){a ■ (b ■ x) = (ab) • x), (Vx g \/)(1 x = x), (Va g K)(Vx, y g V)(a • (x + y) = (a • x) + (a • y)), (Va, Ď g K)(Vx g V)((a + b) ■ x = (a • x) + (b ■ x)). Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném) tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném) tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Podobně násobení v (číselném) tělese a násobení vektoru skalárem jsou různé operace, ačkoliv obě značíme •. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Skaláry značíme "obyčejnými" malými latinskými písmeny a vektory tučnými malými latinskými písmeny. Poznámka. I když sčítání skalárů v (číselném) tělese K a sčítání vektorů značíme stejným znakem +, jde o různé operace. Podobně násobení v (číselném) tělese a násobení vektoru skalárem jsou různé operace, ačkoliv obě značíme •. Později budeme stejně značit příslušné operace a nuly v různých vektorových prostorech. Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K\ Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K\ sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 e V, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K\ sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 e V, operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku "asociativity", 1 e K je její "neutrální prvek" Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K\ sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 e V, operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku "asociativity", 1 e K je její "neutrální prvek" a platí dva "distributivní zákony". Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Z formálního hlediska připomínají axiómy vektorového prostoru vlastnosti (číselného) tělesa K\ sčítání vektorů je opět asociativní a komutativní binární operace na V s neutrálním prvkem 0 e V, operace násobení vektoru skalárem splňuje jakousi podmínku "asociativity", 1 e K je její "neutrální prvek" a platí dva "distributivní zákony". Jeden podstatný rozdíl - násobení v (číselném) tělese K je binární operací na množině K, t. j. zobrazením • : K x K —> K, násobení ve vektorovém prostoru V nad číselným tělesem K není binární operace na V, ale binární operace • : K x V —> V. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát ax + y namísto (a • x) + y. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát ax + y namísto (a • x) + y. Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž umístění neovlivní výslednou hodnotu výrazů jako např. v abx nebo Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát ax + y namísto (a • x) + y. Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž umístění neovlivní výslednou hodnotu výrazů jako např. v abx nebo Poslední výraz budeme taktéž značit a nazývat lineární kombinacívektorů x-i,..., xn s koeficienty 3-i,..., an. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory To nám však nebrání zavést obdobné dohody jako pro operace v (číselném) tělese: násobení má přednost před sčítáním a znak násobení budeme většinou vynechávat, t. j. budeme např. psát ax + y namísto (a • x) + y. Rovněž budeme vynechávat závorky, jejichž umístění neovlivní výslednou hodnotu výrazů jako např. v abx nebo Poslední výraz budeme taktéž značit a nazývat lineární kombinacívektorů x-i,..., xn s koeficienty a-i,..., an. Speciálně pro n = 1 to znamená ^,Li a/x/ — aixi i kvůli úplnosti pro n = 0 ještě klademe prázdnou lineární kombinaci a/x/ rovnou 0. >i Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, (b) (ax = ay& a ^ 0) x = y, (ax = bx&í x ^ 0) =>» a = £>, ■OQ.O Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, (b) (ax = ay&i a^O) x = y, (ax = bx&í x ^ 0) a = b, (c) aO = 0 = Ox, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, (b) (ax = ay&i a^O) x = y, (ax = bx&í x ^ 0) a = b, (c) aO = 0 = Ox, (d) ax = 0 =>■ (a = 0 v x = 0), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, (b) (ax = ay&i a^O) x = y, (ax = bx&í x ^ 0) a = b, (c) aO = 0 = Ox, (d) ax = 0 =>■ (a = 0 v x = 0), (e) -x = (-1)x, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n €N, a,b,a-\,... ,an € K a x, y, z, Xi,..., x„ e V platí (a) x + y = x + z^y = z, (b) (ax = ay&i a^O) x = y, (ax = bx&í x ^ 0) a = b, (c) aO = 0 = Ox, (d) ax = 0 =>■ (a = 0 v x = 0), (e) -x = (-1)x, (f) a(x - y) = ax - ay, (a - b)x = ax - bx, ■OQ.O Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Tvrzení 3.1 Nechť V je vektorový prostor nad (číselným) tělesem K. Pak pro libovolné n e N, a, Ď, a-i,... ,an e K a x, y, z, x-i,..., xn € V platí (a) x + y = x + z=^y = z, (b) (ax = ay& a ^ 0) =>» x = y, (ax = bx&í x ^ 0) =>» a = b, (c) aO = 0 = Ox, fa9 ax = 0 =>■ (a = 0 v x = 0), (e) -x = (-1)x, (f) a(x - y) = ax - ay, (a - £>)x = ax - bx, (gj a(x! + ... + xn) = a*i + ... + axn, (S-j + . . . + cŽfj)X = 3-| X + . . . -\- 3n\. Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za vektorový prostor nad sebou samým. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení rové prostory Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za vektorový prostor nad sebou samým. Obecněji, pokud těleso /.je rozšířením tělesa K, tak L můžeme považovat za vektorový prostor nad tělesem K (formálně stačí "zapomenout" na násobení některých dvojic prvků a,be La součin ab připustit jen pro a e K, b e L). Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení rové prostory Zřejmě každé těleso K můžeme považovat za vektorový prostor nad sebou samým. Obecněji, pokud těleso /.je rozšířením tělesa K, tak L můžeme považovat za vektorový prostor nad tělesem K (formálne stačí "zapomenout" na násobení některých dvojic prvků a,b e La součin ab připustit jen pro a e K, b e Ľ). Podobným způsobem můžeme vektorový prostor V nad tělesem L zúžením násobení L x V —> V na násobení K x V —> V změnit na vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Pro libovolné těleso K a n e N je množina Kn = {(xi,..., xn) | Xi,..., xn g K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Pro libovolné těleso K a n e N je množina Kn = {(xi,..., xn) | Xi,..., xn g K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi x + y = (x1,...,xn) + (y1,...,yn) = (x1+y1,...,xn + yn)) Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Pro libovolné těleso K a n e N je množina Kn = ,..., xn) | Xi,..., xn g K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi x + y = (x1)...,xn) + (y1,...,yn) = (x1+y1,...5xn + yn), kde x = (x-i,..., xn) g y = (y^,..., yn) g K77 a c g /C, vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0,..., 0) hraje úlohu nuly v Kn. Pokud bude potřebné rozlišit nulové vektory v prostorech Kn pro různá přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn používat označení 0n. Opačný prvek k x = (x1,..., xn) e Kn je zřejmě —X = — (X|, . . . , Xn) = (— X|, . . . , —X/7). Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0,..., 0) hraje úlohu nuly v Kn. Pokud bude potřebné rozlišit nulové vektory v prostorech Kn pro různá přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn používat označení 0n. Opačný prvek k x = (x1,..., xn) e Kn je zřejmě —X = — (X|, . . . , Xn) = (— X|, . . . , —X/7). Říkáme, že operace na Kn jsou definované po složkách. Prvky tohoto vektorového prostoru nazýváme n-rozměrné řádkové vektory nad tělesem K. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Zřejmě uspořádaná n-tice 0n = (0,..., 0) hraje úlohu nuly v Kn. Pokud bude potřebné rozlišit nulové vektory v prostorech Kn pro různá přirozená čísla n, budeme pro nulu v Kn používat označení 0n. Opačný prvek k x = (x1,..., xn) e Kn je zřejmě —X = — (X|, . . . , Xn) = (— X|, . . . , —X/7). Říkáme, že operace na Kn jsou definované po složkách. Prvky tohoto vektorového prostoru nazýváme n-rozměrné řádkové vektory nad tělesem K. Vektorový prostor K° sestává z jediného prvku 0, představujícího "uspořádanou nultici", která je nutně nulou vK°. Abstrakt Motivace Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení rové prostory Příklady Příklady II - n-rozměrné řádkové a sloupcové vektory nad daným tělesem Někdy bude výhodnější pracovat s n-rozměrným i sloupcovými vektory nad tělesem K, t. j. s vektory tvaru x = | : | ,kde xu...,xne K. x, n Píšeme rovněž Kn. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Polynomem nebo též mnohočlenem f stupně n, kde — 1 < n g Z, v proměnné x nad tělesem K rozumíme formální výraz tvaru f(x) = a0 + a^x +...+ an_i + anxn = J2i=oaix'i kde ao, a-i,..., , an e jsou skaláry, nazývané koeficienty polynomu f, a an ^ 0. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Polynomem nebo též mnohočlenem f stupně n, kde — 1 < n g Z, v proměnné x nad tělesem K rozumíme formální výraz tvaru f(x) = a0 + a^x +...+ an_i + anxn = J2i=oaix'i kde ao, a-i,..., , an e jsou skaláry, nazývané koeficienty polynomu f, a an ^ 0. Nulu 0 e K považujeme za polynom stupně -1 a nenulové skaláry a e K za polynomy stupně 0. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Polynomem nebo též mnohočlenem f stupně n, kde — 1 < n g Z, v proměnné x nad tělesem K rozumíme formální výraz tvaru f(x) = a0 + a^x +...+ an_i + anxn = J2i=oaix'i kde ao, a-i,..., , an e jsou skaláry, nazývané koeficienty polynomu f, a an ^ 0. Nulu 0 e K považujeme za polynom stupně -1 a nenulové skaláry a e K za polynomy stupně 0. Zřejmě každý polynom f definuje (stejně označovanou) funkci f : K ^ K danou předpisem c h> f(c), t. j. dosazením konkrétních hodnot c e K za proměnnou x do polynomu f. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Množinu všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n, kde -1 < n e Z, budeme značit K^n\x] \ množinu všech polynomů v proměnné x nad K značíme K[x\. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Množinu všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n, kde -1 < n e Z, budeme značit K^[x] \ množinu všech polynomů v proměnné x nad K značíme K[x\. Libovolný polynom g(x) = YIJĹq tyx' e K[x] stupně m < n můžeme psát ve tvaru g(x) = bo + biX + ... + bmxm + 0xm+^ + ... + 0xn, t. j. v tvaru g(x) = Yľ!=o bix'> kc|e ^/ = 0 pro m < / < n. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Množinu všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n, kde -1 < n e Z, budeme značit K^[x] \ množinu všech polynomů v proměnné x nad K značíme K[x]. Libovolný polynom g(x) = YJJĹo bix' G Kix] stupně m < n můžeme psát ve tvaru g(x) = b0 + ĎiX + ... + bmxm + 0xm+1 + ... + 0xn, t. j. v tvaru g(x) = Yľ!=o bix'> kde bi = 0 pro m < / < n. S použitím této konvence lze definovat součet f + g polynomů f = Eľ=o a/'x'' 9 = E™ o bixi z K\x\ Předpisem max(m,n) (f + g){x) = f{x) + g{x) = (*/ + *>/)*'• i=0 Abstrakt Motivace Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení rové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Pokud navíc c e K, klademe n (cf)(x) = cf(x) = ^2 caix'- i=0 Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady III - Polynomy nad daným tělesem Pokud navíc c e K, klademe n (cf)(x) = cf(x) = caix'- i=0 Snadno ověříme, že s takto po složkách definovanými operacemi součtu a skalárního násobku tvoří každá z množin polynomů K^[x], kde -1 < n e Z, a zároveň i množina všech polynomů K[x] vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady IV - Matice nad daným tělesem Matice pevného typu m x n nad tělesem K s operacemi součtu a skalárního násobku tvoří vektorový prostor nad tělesem K tj. Kmxn bude dále označovat příslušný vektorový prostor. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady V - Zobrazení množiny X do tělesa K Označme Kx = {f | f: X -> K}. Definujme součet funkcí f,g g Kx jakožto funkci f + g, kde {f + g){x) = f{x) + g{x) pro všechna x e X. Pro skalár a e K a funkc f e Kx definujeme skalární násobek a s f jakožto funkci a • f, kde (a • 000 = a • f(x) pro všechna x e X. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady V - Zobrazení množiny X do tělesa K Označme Kx = {f | f: X -> K}. Definujme součet funkcí f,g g Kx jakožto funkci f + g, kde {f + g){x) = f{x) + g{x) pro všechna x e X. Pro skalár a e K a funkc f e Kx definujeme skalární násobek a s f jakožto funkci a • f, kde (a-0(*) = a-W pro všechna x e X. Kx je vektorový prostor. Přitom o Nulový vektor je nulová funkce 0, tj. 0(x) = 0 pro všechna xeX. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady V - Zobrazení množiny X do tělesa K Označme Kx = {f | f: X -> K}. Definujme součet funkcí f,g g Kx jakožto funkci f + g, kde {f + g){x) = f{x) + g{x) pro všechna x e X. Pro skalár a e K a funkc f e Kx definujeme skalární násobek a s f jakožto funkci a • f, kde (a-0(*) = a-W pro všechna x e X. Kx je vektorový prostor. Přitom o Nulový vektor je nulová funkce 0, tj. 0(x) = 0 pro všechna xeX. • Opačný prvek k funkci f e Kx je zřejmě funkce —f, kde (-0M = -(/(x)) Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Příklady do tělesa K • Zvolme X = [0,1] a K = R. Pak je množina všech reálných funkcí na intervalu [0,1]. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vektorové prostory Příklady Příklady V - Zobrazení množiny X do tělesa K • Zvolme X = [0,1] a K = R. Pak R^0^ je množina všech reálných funkcí na intervalu [0,1]. • X = {1,2J3J...J/7}a/C = R. Potom Rt1'2'3'---'"* je množina všech funkcí z {1,2,3,..., n} do R. To ale není nic jiného, než n-tice reálných čísel ),..., f(n)) z Příkladu II. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Q Matice nad vektorovým prostorem Motivace 9 Ztotožnění matic • Vektorový prostor vmxn eiesa a zaKiaani ciseine 9 Blokový tvar a násobení ooory ((j), k a (L matic Linearr zourazer Abstrakt Tělesa Matice nad vektory „ „ , Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory „ „ , Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Matici A = (a,y) e Kmxn můžeme považovat jednak za blokovou matici s bloky a,y typu 1x1, jednak se na ni můžeme dívat jako na řádek jejich sloupců resp. jako na sloupec jejích řádků. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory „ „ , Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Matici A = (a,y) e Kmxn můžeme považovat jednak za blokovou matici s bloky a,y typu 1x1, jednak se na ni můžeme dívat jako na řádek jejich sloupců resp. jako na sloupec jejích řádků. A pak chápeme jako matici typu m x 1 nad vektorovým prostorem /C1xn, resp. jako matici typu 1 x n nad vektorovým prostorom KmxA. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory „ „ , Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic. Matici A = (a,y) e Kmxn můžeme považovat jednak za blokovou matici s bloky a,y typu 1x1, jednak se na ni můžeme dívat jako na řádek jejich sloupců resp. jako na sloupec jejích řádků. A pak chápeme jako matici typu m x 1 nad vektorovým prostorem /C1xn, resp. jako matici typu 1 x n nad vektorovým prostorom KmxA. / 'i (A) \ r2(A) A=(si(A), s2(A), s„(A) ) = ■ \ rm(A) / Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V nad tělesem K máme definovanou množinu vmxn všech matic nad množinou V. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V nad tělesem K máme definovanou množinu vmxn všech matic nad množinou V. Na množině vmxn můžeme zavést operace součtu a skalárního násobku po složkách. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení totožnění matic ostor Vmxn Blokový tvar Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V nad tělesem K máme definovanou množinu vmxn všech matic nad množinou V. Na množině vmxn můžeme zavést operace součtu a skalárního násobku po složkách. ymxn s těmito operacemi tvoří vektorový prostor nad tělesem K. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení totožnění matic ostor Vmxn Blokový tvar Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V nad tělesem K máme definovanou množinu vmxn všech matic nad množinou V. Na množině vmxn můžeme zavést operace součtu a skalárního násobku po složkách. ymxn s těmito operacemi tvoří vektorový prostor nad tělesem K. Zobecníme nyní operaci skalárního násobku K x V -> V na operaci součinu mezi maticemi vhodných typů nad K a nad V. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn Pro matice A = (aff) e Kmxn, a = {ujk) G VnxP klademe A a = (v/íf) g VmxP, kde Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení totožnění matic ostor Vmxn Blokový tvar Pro matice A = (a,y) e K A a = (v/*) e VmxP, kde mxn ex = (u77c) e Vnxp klademe Tedy součin A • a definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem, že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku KxV^V. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení totožnění matic ostor Vmxn Blokový tvar Pro matice A = (a,y) G K A a = (v/*) e VmxP, kde mxn ex = (u77c) e Vnxp klademe v/7c = Zly=i aijujk - Tedy součin A • a definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem, že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku KxV^V. Pro násobení matic nad V maticemi nad K platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků (zleva). «fl>«»><»> = To znamená, že pro všechna /, m, n, p e N, c e K. A, B e Kmxn, C e Klxm a, (3 e Vnx? platí: A • (a + (3) = A • a + A • /3, To znamená, že pro všechna /, m, n, p e N, c e K. A, B e Kmxn, C e Klxm a, (3 e Vnx? platí: A • (a + (3) = A • a + A • /3, (A + B) • a = A • a + B • a, To znamená, že pro všechna /, m, n, p e N, c e K, A, Bg Kmxn, C e Klxm a, p e VnxP platí: A • (a + j3) = A • ol + A • (3, (A + B) ol = A a + B a, A • (ca) = c(A • a) = (cA) • a, To znamená, že pro všechna l,m,n,peN, cg K, A, B g Kmxn, C g Klxm a, (3 e VnxP platí: A • (a + (3) = A • a + A • /3, (A + B) a = A a. + B a, A • (cet) = c(A • a) = (cA) • a. C • (A • a) = (C • A) • a, To znamená, že pro všechna /, m, n, p e N, c e K, A, B e Kmxn, C e Klxm a, p e VnxP platí: A • (a + P) = A • a + A • /3, (A + B) • a = A • a + B • a, A • (ca) = c(A • a) = (cA) • a, C • (A • a) = (C • A) • a, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn To znamená, že pro všechna /, m, n, p g N, c g K, A, B g Kmxn, C g Klxm a, /3 g \/nxp platí: A • (a + = A • a + A • /3, (A + B) • a = A • a + B • a, A • (ca) = c(A • a) = (cA) • a, C • (A • a) = (C • A) • a, ln • ot — ot. Dle úmluvy, že xc = cx pro c e K, x g 1/, lze definovat i součin matic /3 = (v,y) g \/A7?xn5 B = (Ďy^) g /Cnxp v obráceném pořadí jako matici /3 • B = (w//c) g \/A7?x^ takovou, že Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn To znamená, že pro všechna /, m, n, p e N, c e K, A, B e Kmxn, C g Klxm a, /3 e VnxP platí: A • (a + (3) = A • a + A • /3, (A + B) • a = A ■ a + B • a, A • (ca) = c(A • a) = (cA) • a, C ■ (A ■ a) = (C ■ A) ■ a, ln • ol — ol. Dle úmluvy, že xc = cx pro c e /C, x e V, lze definovat i součin matic /3 = (v/y) e Vmxn, B = {bjk) e KnxP v obráceném pořadí jako matici (3 - B = (w//c) e \/A77xp takovou, že A? A? W//c = ^ Vff^ = bÍkViÍ ' 7=1 y=1 Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn S využitím poslední definice můžeme pro A e Kmxn, a e vnxp, (3 e vmxn, B g KnxP dokázat rovnosti (A-ct)T = aT -AT, ((3 ■ B)7" = B 7 • (3T. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení totožnění matic ostor Vmxn Blokový tvar S využitím poslední definice můžeme pro A g Kmxn, a g Vnxp, (3 g Vmxn, B g Knxp dokázat rovnosti (A • a)T = oJ • A7, (/3 • B)7" = B7 • /37 Tedy i pro násobení matic nad K maticemi nad V platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků (nyní zprava). To znamená, že pro všechna m, n, p, q g N, cg K, a, /3 g /CA7?xn, A, B g \/nxp, C g /^x(7 platí: (a + • A = a • A + /3 • A, To znamená, že pro všechna m, n, p, q e N, c e K, a, /3 e Kmxn, A, Bg \/nxp, C e Kpxq platí: (a + • A = a • A + /3 • A, a • (A + B) = a • A + a • B, □ t3 To znamená, že pro všechna m, n, p, q e N, cg K, a, /3 e Kmxn, A, Bg \/nxp, C e Kpxq platí: (a + • A = a • A + /3 • A, a • (A + B) = a • A + a • B, a • (cA) = c(a • A) = (ca) • A. To znamená, že pro všechna m, n, p, q g N, cg K, a, /3 g /CA7?xn, A, B g \/nxp, C g /^x(7 platí: (a + • A = a • A + /3 • A, a • (A + B) = a • A + a • B, a • (cA) = c(a • A) = (ca) • A, a • (A • C) = (a • /A) • C, To znamená, že pro všechna m, n, p, q e N, c e K, a, /3 e Kmxn, A, Bg \/nxp, C e Kpxq platí: (a + • A = a • A + /3 • A, a • (A + B) = a • A + a • B, a • (cA) = c(a • A) = (ca) • A, a • (A • C) = (a • /A) • C, o; • ln = o;. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor vmxn To znamená, že pro všechna m, n, p, q g N, c g K, a, (3 g Kmxn, A, B g \/nxp, C g /^x(7 platí: (a + • A = a • A + /3 • A, a • (A + B) = a • A + a • B, a • (cA) = c (a • A) = (ca) • A, a • (A • C) = (a • /A) • C, o; • ln = o;. Vztahy pro řádky a sloupce součinu zůstávají zachované pro oba typu součinů matic nad K a V, tj. r,(A • a) = r,(A) • a, S/c(A • a) = A • S k (ct) r,(/3 • B) = r,(/3) • B, s*(/3 • B) = (3 • s*(B) pre všechny A g /CA7?xn, a g \/nxp, /3 g Vmxn, B g /Cnx^. _ Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor \/mXA7 Definice součinů A a, /3 • B jsou ve shodě s původním násobením matic. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor \/mXA7 Definice součinů A a, /3 • B jsou ve shodě s původním násobením matic. Chápeme-li matici A g Kmxn jakožto řádek, tj. jakožto matici typu 1 x n nad prostorem sloupcových vektorů Km, tak pro B g Knxp splývá matice (Si (A),..., sn(A)) • B vypočítaná podle "nové" definice s blokovým tvarem (A • Si (B),..., A sp(B)) matice A • B. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor \/mXA7 Definice součinů A a, /3 • B jsou ve shodě s původním násobením matic. Chápeme-li matici A g Kmxn jakožto řádek, tj. jakožto matici typu 1 x n nad prostorem sloupcových vektorů Km, tak pro B g Knxp splývá matice (Si (A),..., sn(A)) • B vypočítaná podle "nové" definice s blokovým tvarem (A • Si (B),..., A sp(B)) matice A • B. Podobně, chápeme-li B jako sloupec, tj. jako matici typu n x 1 nad prostorem řádkových vektorů Kp, tak ri(B) rn(B) ri (A) • B rm(A) • B A B Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Ztotožněni matic Blokový tvar Prostor \/mXA7 Speciálně, lineární kombinaci aix1 + ... anxn vektorů x1,..., xn g \/ s koeficienty a^,. ..,an£ K můžeme s využitím vektorových matic zapsat ve tvaru součinů Q Lineární zobrazení • Definice lineárního zobrazení • Příklady • Vlastnosti lineárního zobrazení Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. □ t3 Abstrakt Tělesa Matice nad vektory . Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Příklady Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že cp\ V -> U je lineární zobrazení, pokud (p zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že cp\ V -> U je lineární zobrazení, pokud cp zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, tj. pokud pro libovolné x,y e V, c e K platí ^(x + y) = ¥>(x) + y>(y), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory . Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Příklady Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Říkáme, že cp\ V -> U je lineární zobrazení, pokud cp zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, tj. pokud pro libovolné x,y e V, c e K platí ^(x + y) = ¥>(x) + y>(y), Abstrakt Tělesa Matice nad vektory Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Vlastnosti Příklady Definice lineárního zobrazení II - p říklad Abstrakt Tělesa Matice nad vektory . Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Příklady Definice lineárního zobrazení III - příklad v+U U v q o v+U o + u v v/u Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Nechť K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, Nechť K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m,n,p g N a libovolnou matici A g Kmxn je přiřazením X h> A • X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Knxp -> Kmxp. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Nechť K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m,n,p g N a libovolnou matici A g Kmxn je přiřazením X h> A • X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Knxp -> Kmxp. Podobně je přiřazením Y^Y A definované lineární zobrazení Nechť K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m,n,p e N a libovolnou matici A e Kmxn je přiřazením X h> A • X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Knxp -> Kmxp. Podobně je přiřazením Y^Y A definované lineární zobrazení Speciálně pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x i—?► A • x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn -> Km, resp. lineární zobrazení y ^ y A mezi řádkovými vektorovými prostory Km Kn. Nechť K je těleso. Distributivita součinu matic vzhledem k jejich součtu a jeho zaměnitelnosti s operací skalárního násobku říká, že pro pevné m,n,p g N a libovolnou matici A g Kmxn je přiřazením X h> A • X definované lineární zobrazení mezi vektorovými prostory matic Knxp -> Kmxp. Podobně je přiřazením Y^Y A definované lineární zobrazení Speciálně pro p = 1 je takto definované lineární zobrazení x i—?► A • x mezi sloupcovými vektorovými prostory Kn -> Km, resp. lineární zobrazení y ^ y A mezi řádkovými vektorovými prostory Km Kn. Každé lineární zobrazení mezi konečně rozměrnými nnri.GŤaŤě Ťaknvvfn tvar Příklad 5.2 Nechť K je těleso. Příklad 5.2 Nechť K je těleso. Pro m,n e N a pevné 1 < / < m, 1 sy-(A) definovaná lineární zobrazení Kmxn _^ KAxn msp Kmxn _^ KmxA ^ Rovněž A \-+ AT je lineární zobrazení Kmxn -> Knxm. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.3 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x e X je pevně zvolený prvek. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.3 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x e X je pevně zvolený prvek. Připomeňme, že Vx je vektorový prostor všech funkcí f: X -> V. Dosazení prvku x do funkce f, tj. prirazení f ^ f (x), je lineárni zobrazení Vx -> V. Abstrakt Motivace Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení Definice Příklady Vlastnosti Příklady III ■ 1 Nechť V je vektorový prostor nad tělesem K, X je množina a x e X je pevně zvolený prvek. Připomeňme, že Vx je vektorový prostor všech funkcí f: X -> V. Dosazení prvku x do funkce f, tj. přiřazení f ^ f(x), je lineární zobrazení Vx -> V. Podobně, pro libovolnou podmnožinu Y c X je zúžení f \-> f\Y lineární zobrazení Vx VY. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení efinice Příklad Příklad 5.4 Označme V množinu všech konvergentních posloupností reálných čísel. Tělesa Vektorové prostory Matice nad vektory Lineární zobrazení efinice Příklad Příklad 5.4 Označme V množinu všech konvergentních posloupností reálných čísel. Zřejmě V je lineární podprostor vektorového prostoru IRN všech posloupností reálných čísel. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.4 Označme V množinu všech konvergentních posloupností reálných čísel. Zřejmě V je lineární podprostor vektorového prostoru IRN všech posloupností reálných čísel. Pak zobrazení V —>R, které posloupnosti a = (an)^L0 e V přiřadí její limitu lim^oo an, je lineární. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.5 X II x Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.5 X Uvažujme projekci tt : R3 -> R2 tvaru y 7T —>► X y Tato projekce je lineárni zobrazení, které není prosté a je surjektivní. Totiž vzor nějakého vektoru v R2 je vertikální přímka vektorů z R3. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.5 X Uvažujme projekci tt : R3 -> R2 tvaru y 7T —>► X y Tato projekce je lineárni zobrazení, které není prosté a je surjektivní Totiž vzor nějakého vektoru v R2 je vertikální přímka vektorů z R3. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.6 Následující lineární zobrazení h : R2 -> IR1 dané předpisem - i_i - - riľ Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Příklad 5.6 Následující lineární zobrazení h : R2 ->■ IR1 dané předpisem x \ h x + y y - i_i - - rTľ Abstrakt Tělesa Matice nad vektory . Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení inic,e Příklady Příklad 5.6 Následující lineární zobrazení h : IR2 -> IR1 dané předpisem x y h -> x + y není rovněž prosté. Pro pevné i^gR1 je totiž jeho vzor h 1 (i/i/) množina všech vektorů v rovině, jejichž souřadnice po sečtení dávají práve w. Vzory mohou samozřejmě být jiné struktury než výše použité přímky Pro lineární zobrazení h : IR3 -> R2 definované předpisem Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Definice Príklady jsou příslušné vzory roviny x = 0, x = 1, atd., kolmé k ose x. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineárni zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, tj. pro lineární zobrazení cp\ l/^L/axe V platí V?(0) = 0, v?(-x) =-v?(x). Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, tj. pro lineární zobrazení cp\ l/^L/axe V platí V?(0) = 0, v?(-x) =-v?(x). Pro každý vektorový prostor V je identické zobrazení idy: V —> I/,X4X lineární. Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, tj. pro lineární zobrazení I/,X4X lineární. Pro libovolné vektorové prostory U, V nad tělesem K zobrazení 0: V -> U, které každému vektoru x g V přiřadí nulový vektor 0 g U, je lineární. Lineární zobrazení zachovávají nulový vektor a opačné vektory, tj. pro lineární zobrazení I/,X4X lineární. Pro libovolné vektorové prostory U, V nad tělesem K zobrazení 0: V -> U, které každému vektoru x e V přiřadí nulový vektor 0 g U, je lineární. Komutativita operace součinu v tělese a jeho distributivita vzhledem na sčítaní znamená, že pro libovolný pevný skalár a g K je přiřazením x ^ ax definované lineární zobrazení K —y K. s)<\cy Lineární zobrazení můžeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tělesem), které zachovávají lineární kombinace. Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineární zobrazení můžeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tělesem), které zachovávají lineární kombinace. Tvrzení 5.8 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K acp: V U je libovolné zobrazení. Následující podmínky jsou ekvivalentní: □ i i3 ► Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineární zobrazení můžeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tělesem), které zachovávají lineární kombinace. Tvrzení 5.8 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K acp: V U je libovolné zobrazení. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) (p je lineární zobrazení; □ i i3 ► Abstrakt Tělesa Matice nad vektory I Motivace Vektorové prostory Lineární zobrazení Vlastnosti Príklady Lineární zobrazení můžeme charakterizovat jako zobrazení mezi vektorovými prostory (nad tím stejným tělesem), které zachovávají lineární kombinace. Tvrzení 5.8 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem Kap: V U je libovolné zobrazení. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) cp je lineární zobrazení; (ii) pre všechna x, y e V, a,b e K platí cp(ax + by) = a