3. cvičení z M1110, podzim 2020
Příklad. 1. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je.
2     8\       (2 I -1  -5   ,      -1 -5|© 9 _11 /      V 9 11
3 5 6 7 -2105
(i \
6 7 0 5
(2  8  3  21 5)
/2\		/2\		
— 1 9		—i 9	• (2  8  3  21   5) «	
-6		-6		
V3y	v3y			
i
2
Příklad. 2.
NapSle nějaké matice tvanj
JX4a4x3ayynísob(eje
•5>3
/ 0 4 i \
-3 -3 -2 k'« £ -2
3
A1-- A- A -
Příklad. 3. Nechť A =   O  O  z   . Vypočtěte A2 = A ■ A a A3 = A ■ A ■ A.
A* = A2-A =
[0
0 * 0
Příklad. 4. Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
'cos a   — sin a\   /r cos (3\ sin a    cos a I   Ir sin (3 J
Na základě toho ukažte, že zobrazení
/x\     I cos a   — sin a\   I x
sin a    cos a
je otočení kolem počátku v rovině o úhel a.
fot/L     - At'/^Lgi
- A,
b Oč* Q
i
t)
/I  2 Ox
Příklad. 5. Vypočtěte Bn, jestliže 5=0  1 3
----■*    '      Uo -i /
$Mlinut, ÁniMMÁou ■
o o
4
iÁ»   Ať - 4
3A -3> -
(A M 9-1-0)
0 i \ O o
3-f i
(L jbÍAiň***        4**  401     * - 2- ■
	n      Á       Ô-ň-t1-$-t2í*~<)-4 3a,	
	C/ /	
		
		
		
		
		
		í A     ý ^    3itňt-^\       ^ (f*
	FT1 • B -	/f       3 v   I " ^ ^
		
		\ o o     i J
		
	*              ' l	
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
6
'l   2n  3n(n —
Návod: Dokažte indukcí, že Bn = | 0   1 3n
,0   0 1
1   1 2\"
Příklad. 6. Vypočtěte Cn =   0  2  0 .
\0  0 3/
Návod: Spočtěte si C2, C3 a C4. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná Cn, a tu dokažte indukcí.
c1, c* e*
cl- iA 5 8\
o if o
n1= I i 4S &0 L  ~ ' 0 4t 0
o o ti
o   - ( 0 £ £>
0 s
o g 0
^ = \0l" o \00 3~
<5> O 3'
t-4
I  i Z*"'"/
V
	U t-2 2>3*-3 ŕ) ô		\i T-\	i
			u   /> ol	
	\0         D         S*'-3 i		\o    0 31	
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
				
Příklad. 7. Pro všechny elementární řádková operace op na maticích o k řádcích platí
op(£fc) • A = op(A),
kde symbol op (A) znamená provedení operace na matici A tvaru k x n a Ek je jednotková matice tvaru k x k. Ukažte pro konkrétní matice A.
ž.túA
A"     '2, iíi<j,
Příklad. 8. Matice A a B tvaru n x n jsou dány předpisem:
i. \n>j, |   5 = ji, ifi<j,
i]   JL   \3, ifi>j. Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin.
Návod: Napište si tyto matice například pro n = 6. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné n spočtěte (A • B)^ zvlášť pro i < j a pro ž > j.
I
A«
4 2 4 A
2. i Ä 1
\
A A 4 4
A 1 A A
2 2
4
3=
3 3 4\A---4 4... 4
3 3 3
3 3 3
1
2.^
A A  12. i
3 -
A A A A
fl   *    4   A - .A
3  *    * 1 *
1 1   ■---A-
1*1
A A A A
2/
3r
3*1
23
51
-~
(q flu —S l