3. cvičení z M1110, podzim 2021
Před počítáním úloh zopakujte počítání s komplexními čísly (sčítání, násobení, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota, převrácené číslo k danému číslu.) Bylo by dobré udělat aspoň úlohy 1 až 4.
Příklad. 1. Ukažte, že množina
U = {(x1,x2) G R2; x1 > 0,x2 > 0}
společně s operacemi
(x1,x2) © (2/1, ž/2) = (x1y1,x2ii2),    a 0 (x1,x2) = (x", x2) tvoří vektorový prostor nad R.
Příklad. 2. Ukažte, že následující množiny lze opatřit vhodnou operací sčítání a násobení skalárem tak, aby se s těmito operacemi staly vektorovými prostory nad R nebo C.
(a) Množina R\x] všech polynomů s reálnými koeficienty.
(b) Množina C[x] všech polynomů s komplexními koeficienty.
(c) Množina MatfcXn(IR) matic tvaru k x n s reálnými čísly.
(d) Množina {/ : N —> R} všech posloupností reálných čísel.
(e) Množina {/ : M —> C} všech zobrazení nějaké neprázdné množiny M do komplexních čísel.
Příklad. 3. Ukažte, že množina U = R3 s operacemi
(xu x2, x3) + (í/i, y2, y3) = (xx + yľ, x2 + y2, x3 + y3),    a Q (x2, x2, x3) = (axu x2, x3)
není vektorový prostor. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
Příklad. 4. Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů s operacemi stejnými jako na vektorovém prostoru jsou rovněž vektorové prostory.
(a) U = {fe R[x]\ f'(3) = 0, /(-l) = 0} C R[x],
(b) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(c) W = {A E Matnxn(IR)| detA = 0} C Matnxn(IR),
(d) Z = {/ : N -> R\ f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)} C {/ : N -> R}.
Příklad. 5. Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorového podprostoru IRE všech funkcí z IR do IR jsou vektorové podprostory.
(a) U = {f G ME| Vx G R : /(|rr|) = 0},
(b) V = {f G RR\ Vc G Z : f (c) ■ f (-c) = 0},
(c) W = {f G RK\ Vs, t G R : s < t     f (s) > f (t)},
(d) X = {f G RR\ 3n G N\/x G R : \f(x)\ < n\x\}.
1