8. cvičení z M1110, podzim 2020 Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární.
(a) ip
(b) <p
(c) ip
(d) <p
(f(x1,x2) = 2x1+x1x2, ť -> R3, <p(Xl,x2) = (2x! - 3x2, 5:r2,    - x2), ^]^M2, <p(p) = (p(l),p(2)2), l3[x]^R>, tpip) = (p(l),p(2)).
t^b**'***  LZ)*uu^< ^^^^ .
(«>    <f •■ ?i i>3 -? =
M/bisik/utje.,      fl&tLu*'2 sujíce? styOujč*^
>1 = íŕ*l   f říp) =
i
5
/O1
* 2
2
25-,
zrj
						
	In. (h   &  fl?* W					
	ri r I				. /L / /I 1	
		ty>+f)ii) y ^				-
						
	V      /     \ /					
		1 tlM \				
	-		*			
		[mi	J			
	V                          / \					
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
Příklad. 2. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi u\ = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), u3 (1,1,1). Nechť ip : IR3 —> IR3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
VÍUl) = Ul, V(U2) = U3, V?(m3) = U2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Á (e>\ Aw*í<>'ee- A
0
X5
tf(e4)  = a< (fiat) -héa^í**) vt^l*^
Ai4
0>**W W**/^^ ****
/ľ
4 O A
(([»)
f o A \
A 04
4 0 4
t) 44
44 A
k.
4 A A
4 A A
04 4
I
V
o 10
-JJJL
		\   Á j\ A	J ŕ) A \	i A n n . -/ n n V			
		n 0 i	A V f > „ i j A	\	f) 4 n	-í 4 Q N	1
		0 4Q	1 j u			1   1 v/	1
	\W1		10 A j				
		f-/ -/ A >	"TO	1
	1 '/			1
q (h) -
-e—r
g? C7 ^
it
Příklad. 3. Nechť tp je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny x\ — x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je ip(x) = Bx.
A>< - (lity)
*3 - (1, 0r<) cel**) --/^3
O 4 O
4 D-4
0*0
-404
-*3
/v
io o i o o*
0 i 0   0 40
o o i itoQ
4<P1 \ (910 ť
-HOD
3 =
4 «0,
0
l-f
Příklad. 4. Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení tp pisem
-2^1 + rc2 - x3
—ř IR3 zadaného před-
(Xl\
x2 x3 \x4J
X\ + 2X2 + 3^3 + 5^4
. 2rri + 3^2 + 5^3 + 8x4
/ _
o o o O
2-
$<U    9 = 3* e-*^^ ceCA =c{<}
//no y  =• L CfltA, <ele*\ frte), y fry)]
=- [stlC)  9jC)f £%(C)( s*(C)_
	- r i				ľ1\	r	
	1		[%				j
		> 1					
fr/u . ôfotlA*-*
£ 'ô s ~t
o
(p o o o
\
ft/Msy   fffr') A l((rz) £~Vf
	j		^ ÍJUJL CP f4 \ T
		p K7T	
—r.-not-   _ a
Příklad. 5. Najděte nějaké lineární zobrazení / : IR3 —> IR3 ker/= [ (o \ , (l | |    a im/
takové, že
V
0
1
» i l
*4 ~~
0 0
ÁJL
^3-
0
4
0,
/selce, ^
a*0
4*4
JO	
i 0 0	0 0 v
4 i ■i	D 0 0
0 < o	
1 0 0 í? /O.
oyoo ^
A/      Í7 41
0 00\ 0 c>V \
e o •*«
(K
0 { -1
-0—0—(9-
J9-
0 i "í
Příklad. 6. Nechť je lineární zobrazení ip : IR4 ->• R3 zadáno svými hodnotami na vektorech báze prostoru M4.
y>(l,2, 2, 2) = (1, -5,4), y?(0,1, 2,2) = (1, 2, -3), ^(0, 0,1,2) = (2, -3, 1), ^(0,0,0,1) = (-3,1,2). Najděte bázi jeho jádra a obrazu.
2 -3 <Ý
/
U
«*\ =M; \^ lí/
<9 Č> O
I 0
1^3
	í A 2 £ Z \ i -5" H- \ \ 0* Oil   A   2 -3 \  . 1			(4 l tt ~1 -i 0 0		
	\P0 A 2 1-11			-«.-// -3 -i		0 T--1
	0 0 0 f1 -3 1 Z			i s í a		0 'ft/ 'f)
				—                    r     —          ■ /		
	/    J              n o					
			(v ů   ^ \			
	Ax	-1    D 0	OLO-*			
			OVO]			
			() 0 dl		^.TpV-rfS^ dot.	
	> ^   /P          £áA e f §			'  (JUL     »-    ~ "		
						
						
	/tsa'^j»       J^AAjt   CP     Ar~     (   /f      C*     /1			\ - r ô. //		
	(Ott /Ze.    /*       ^           ^    \ (					
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
						
Příklad. 7. Napište konkrétní předpis lineárního zobrazení F : IRioo [x] —?■ M50 takového, že dim ker F = 70.
1 e T°
«*«*'3+
^ F  * i*'5J      ck^ -TO
<^V««. ŮJL.F
V"-
8
Nechť^: Ž7 -> Kje lineami zobrazení a Ml> u2,.... ttfc 6 £7. Dokažte: ""^ G   lmeárněnezávislé'pakjsou-vněž...,UkeU
Á/&JUSľPTT
	
	
	
	f       'i^            i  \t j
	
	
	
	.11
	
	
	
	4> :            4L                 l 4*"*.*X«J + UJA*.)
	\               *        ■■ ,   ,         /V /c