13. cvičení z M1110, podzim 2021
Dokončete některé úlohy (není nutné všechny) na determinanty z minulého cvičení. Příklad. 1. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
A =
Příklad. 2. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru n x n
í1	x	0	0 .	.. 0	
0	1	x	0 .	.. 0	0
0	0	1	x	.. 0	0
0	0	0	0 .	.. 1	x
Vo	0	0	0 .	.. 0	1/
Příklad. 3. Nechť U je množina všech matic A <G Mat2x2 W , jejichž řádky jsou lineárně závislé. Zjistěte, zdaje U vektorový podprostor ve vektorovém prostoru Mat2x2(IR) Bod pouze za zdůvodnění.
Příklad. 4. Uvažujme lineární zobrazení ip : IR50 —>• Mat7x7(M) a tp : Mat7x7(M) -> IR60. Může být složené zobrazení ip o ip : IR50 —y IR60 prosté? Bod pouze za zdůvodnění správné odpovědi.
Příklad. 5. Napište předpis lineárního zobrazení <p : IR20 —>■ E9 [x]
V?(ai, a2,a20) = • • • takového, že dim im <p = 5 a <p(l, 0,1, 0,1,1, 0) = x5. Napište rovněž bázi obrazu.
Příklad. 6. V prostoru IRi [rr] uvažujme báze a = (pi, p2) a /3 = (gi, g2) • Najděte polynomy <j! a p2 , jestliže px (x) = 1 — 2x a ^(a*) = 3 — 2x a matice přechodu je
(idW = (3 4'
Příklad. 7. Platí pro každé dvě reálné čtvercové matice A, B tvaru n x n rovnost
(A + B)'2 = A2 + 2A5 + 52?
Svou odpověď zdůvodněte.
2
Příklad. 8. Ve vektorovém prostoru IR2 udejte příklad bází a, (3 takových, že matice přechodu je
nebo dokažte, že neexistují.
Příklad. 9. Nalezněte bázi a = (ui,u2, w3) vektorového prostoru IR3 takovou, že souřadnice vektoru v = (1,0, 0) v bázi a jsou (1,1,1)T a souřadnice vektoru z = (1,1,1) v bázi a jsou (1,0, 0)T . Svou volbu zdůvodněte z definice souřadnic.