2. cvičení z M1110, podzim 2021
Příklad. 1. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je
2 í
3 5 6 7 -2105
2 i -1 -5 9 11
2  8  3  21 5)
/2\
-1 9
-6
v3 y
-1 -5 9 11
Í2\
-1 9
-6
v3 y
3 5 6 7 -2105
2  8  3  21 5)
Příklad. 2. Napište nějaké matice tvaru 5x4a4x3a vynásobte je. Příklad. 3. Nechť A =
0  x y
0  0  z | . Vypočtěte Ä2 = A ■ A a A3 = A ■ A ■ A.
0  0 0.
Příklad. 4. Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
cos a — sin a\ /r cos /3\ sin a    cos a y   yr sin /3y
Na základě toho ukažte, že zobrazení
'x\ _ (cos a   — sin a y J     ys'ma    cos a
je otočení kolem počátku v rovině o úhel a.
íl 2 0N
Příklad. 5. Vypočtěte Bn, jestliže 5=0 1 3
\0 0 1
Návod: Dokažte indukcí, že Bn
1   2n  3n(n — 1) 0    1 3n ,0   0 1
1   1 2\"
Příklad. 6. Vypočtěte Cn =   0  2  0 .
\0  0 3/
Návod: Spočtěte si C2, C3 a C4. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná Cn, a tu dokažte indukcí.
Příklad. 7. Pro všechny elementární řádková operace op na maticích o k řádcích platí
op(Ek) ■ A = op(A), i
2
kde symbol op (A) znamená provedení operace na matici A tvaru k x n a Ek je jednotková matice tvaru k x k. Ukažte pro konkrétní matice A.
Příklad. 8. Matice A a B tvaru n x n jsou dány předpisem:
A  = J1'   ifi-J'       5  = J1' ifi--?' ÍJ'     \2,   ifi<j, ÍJ     \3, ]fi>j.
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin.
Návod: Napište si tyto matice například pro n = 6. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné n spočtěte (A ■ B)íj zvlášť pro i < j a pro i > j.