7. cvičení z M1110, podzim 2022
Příklad. 1. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10x3 v bázi
a = (1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3rc2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3) prostoru B^rc].
Řešení. (-10,2,7,1) □ Příklad. 2. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a Q v IR4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6),(2,1,-2,3),(3,1,-2,4)],
Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1,3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □ Příklad. 3. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů K a L \ IR4, jestliže tf= [(1,2, 0,3), (0,1,1,2), (2,0,1,1)], L = {(xi,X2,X3,X4) E IR4; 2xi + 3x2 — X3 — 2x^ = 0}.
Návod. Průnik najděte přímo, bez hledání báze podprostorů L. Součet najděte pomocí formulky pro dimenze. □
Příklad. 4. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {f ER,[x]\f(1) = 0, f(2) = 0}   a   Q = {geR4[x]\g(x) = g(-x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení, dimP = 3, dimQ = 3, dimP n Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. □
Příklad. 5. Nechť a = (ui,u2,us) je báze prostoru U. Souřadnice vektoru v E U v této bázi jsou jsou
Najděte souřadnice vektoru v v bázi (3 = (u3,ui + 2u2, ui — u2 + 2u3).
Příklad. 6. Najděte báze a dimenze následujících vektorových prostorů:
(1) U = {A E Mat4x4(]R); A je antisymetická matice} nad IR,
(2) C-2[x] jako vektorového prostoru nad IR,
(3) IRM nad IR, kde M je konečná množina.
Příklad. 7.* (Vracíme se k příkladu 8 z předchozího cvičení.) Ukažte, že vektorový prostor ]RN všech posloupností reálných čísel nemá nad IR konečnou dimenzi. Zjistěte prvně, jak je to s dimenzí vektorového podprostorů
W = {/ : N -> R; 3n E N Vi > n : f (i) = 0}.
1