8. cvičení z M1110, podzim 2022
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární.
(a) p
(b) ip
(c) lf
(d) ip
i2 —ř IR, p(x1,x2) = 2xx + xxx2, i2 ->• IR3, ifixx, x2) = (2xľ - 3x2,5x2, xx - x2), h[x]^R2, V(V) = (P(1),P(2)2), W^M2, v(p) = (p(l),p(2)).
Příklad. 2. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi ui = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), w3
(1,1,1). Nechť v? :
je lineární zobrazení, o němž víme, že
tfiui) = Mi, lf(u2) = U3, (f(u3) = U2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo ip(x) = Ax.
Příklad. 3. Nechť ip je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi — x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je ip(x) = Bx.
Příklad. 4. Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení ip :
zadaného před-
pisem
í xi\
x2
x3 \xAJ
-2xx + x2 - x3 X\ + 2x2 + 3x3 + 5x4 2xi + 3x2 + 5x3 + 8x4
Příklad. 5. Najděte nějaké lineární zobrazení / :
ker /
im/
takové, že
Příklad. 6. Nechť je lineární zobrazení ip : IR4 —>• IR3 zadáno svými hodnotami na vektorech báze prostoru IR4.
<p(l, 2, 2, 2) = (1, -5,4), v?(0,1, 2, 2) = (1,2, -3), ^(0, 0,1, 2) = (2, -3,1), ^(0,0,0,1) = (-3,1,2). Najděte bázi jeho jádra a obrazu.
Příklad. 7. Napište konkrétní předpis lineárního zobrazení F : IR100 [x] —ř IR50 takového, že dimker F = 70.
Příklad. 8.* Nechť ip : U —> V je lineární zobrazení a uÍ7 u2,..., uk G U. Dokažte: Jsou-li </?(«i), v?(w2), • • •) ^(^fc) £ ^ lineárně nezávislé, pak jsou rovněž ui, u2,..., uk E U lineárně nezávislé.
1