3. cvičení z M1110, podzim 2023
Udělejte aspoň příklady 1 až 5 a 8.
Příklad. 1. Zjistěte, zda jde matice násobit, a pokud ano, vynásobte je.
2 í
3 5 6 7 -2105
2 í -1 -5 9 11
2  8  3  21 5)
/2\
-1 9
-6
V3 /
-1 -5 9 11
/2\
-1 9
-6
V3 /
3 5 6 7 -2105
2  8  3  21 5)
Příklad. 2. Napište nějaké matice tvaru 5x4a4x3a vynásobte je. Příklad. 3. Nechť A =
0  x y
0  0  z | . Vypočtěte A2 = A ■ A a A3 = A ■ A ■ A.
0  0 0.
Příklad. 4. Vynásobte následující dvě matice a výsledek vyčíslete s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
cos a — sin cA /r cos (3\ sin a    cos a J   \r sin (5 J
Na základě toho ukažte, že zobrazení
'x\ _ (cos a   — sin cA íx y)     ysina    cos a J   \y t
je otočení kolem počátku v rovině o úhel a.
Příklad. 5. Pro všechny elementární řádková operace op na maticích o k řádcích platí
op(Ek) ■ A = op(A),
kde symbol op (A) znamená provedení operace na matici A tvaru k x n a Ek je jednotková matice tvaru k x k. Ukažte pro konkrétní matice A.
íl  2 0\
Příklad. 6. Vypočtěte Bn, jestliže 5=10   1  3 .
\0  0 1/
Návod: Dokažte indukcí, že Bn
1   2n  3n(n — 1) 0    1 3n ,0   0 1
Příklad. 7. Vypočtěte C"
1   1 2N 0  2 0 ,0  0 3,
2
Návod: Spočtěte si C2, C3 a C4. Pomocí toho si udělejte hypotézu, čemu se rovná Cn, a tu dokažte indukcí.
Příklad. 8. Matice A a B tvaru nxn jsou dány předpisem:
A- - í1'   ÍU-h       B ~
Vypočtěte, čemu se rovná jejich součin.
Návod: Napište si tyto matice například pro n = 6. Zkuste si provést jejich násobení. Pro obecné n spočtěte (A ■ B)^ zvlášť pro i < j a pro i > j.
Následující příklady ukazují aplikace násobení matic. Jsou zařazeny ve slidech k přednášce a některé z nich se budou dělat v semináři z matematiky.
Příklad. A*. Mějme orientovaný graf s n uzly. V něm jsou některé dvojice uzlů spojeny orientovanou hranou. Tomuto grafu můžeme přiřadit matici A tvaru nxn takovou, že Aíj = 1, jestliže existuje orientovaná hrana z uzlu i do uzlu j, a A^ = 0, jestliže taková hrana neexistuje. Jaký význam mají prvky matice A2, tj. čísla (Ä2),^. Jaký význam mají prvky matice A3?
Příklad. B*. Markovovův proces. Uvažujme časovou stupnici t = 0,1,2,... a časově proměnný proces, který nabývá stavů i = 1,2,... ,n. Pravděpodobnost, že je proces ve stavu i v čase t je dána číslem pri (ŕ) G [0,1]. Dále uvažujme matici M tvaru nxn, kde číslo Mi j E [0,1] je pravděpodobnost, že mezi časem t a t + 1 přejde proces ze stavu j do stavu i. Ukažte, že
(1) součet prvků v každém sloupci matice M je roven 1,
(2) platí
/pi(t + l)\ fpi(t)\
p2(* + i:
M
\Pn(t+l)J
P2(t) \Pn(t)J
Pomocí Markovova procesu řešte úlohu o mlsném hazardérovi. Hazardér má dvě kremrole a hází mincí. Padne-li orel vyhrává další kremroli, padne-li panna, musí jednu kremroli vrátit. Hra končí, jestliže má hazardér 5 kremroli nebo žádnou. Jaká je pravděpodobnost, že hra skončí nejpozději po 4 kolech?
Návod: Popište situaci jako Markovovův proces a napište vhodnou Markovovu matici M. Výslednou pravděpodobnost spočítejte pomocí maticového násobení.
Příklad. C*. Leslieho populační model. Uvažujme populaci o třech generacích. To, jak se mění tato populace mění za délku období jedné generace popisuje tzv. Leslieho matice L. Čísla Ln, Li2 a L13 popisují porodnost první, druhé a třetí generace. Čísla L2i a -^32 udávají postupně, jaká část jedinců první generace přežije do 2. generace a jaká část jedinců 2. generace přežije do 3. generace. Ostatní prvky matice jsou nulové.
3
Označme x i (t) počet jedinců i-té generace v čase t. (Období mezi tat + 1 odpovídá výměně generací.) Ukažte, že platí
x2(t+l)    = L-\ x2(t)