4. cvičení z Ml 110 - komplexní čísla a vektorové prostory, podzim 2023
Před počítáním úloh zopakujte (naučte studenty) počítání s komplexními čísly (sčítání, násobení, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota, převrácené číslo k danému číslu.) Stačí 20 minut. Více uděláme v semináři z matematiky.
Příklad. 1. Zopakujte axiomy vektorového prostoru nad tělesem IR nebo C a demonstrujte je na Rn a Cn.
Příklad. 2. Ukažte, že následující množiny lze opatřit vhodnou operací sčítání a násobení skalárem tak, aby se s těmito operacemi staly vektorovými prostory nad IR nebo C.
(a) Množina M.[x] všech polynomů s reálnými koeficienty.
(b) Množina C[x] všech polynomů s komplexními koeficienty.
(c) Množina Matfcxn(IR) matic tvaru k x n s reálnými čísly.
(d) Množina {/ : N —> IR} všech posloupností reálných čísel.
(e) Množina {/ : M —> C} všech zobrazení nějaké neprázdné množiny M do komplexních čísel.
Příklad. 3. Ukažte, že množiny
(a) U = IR2 s operacemi
(xux2) © (ž/i, Ž/2) = {xi + yi,x2 + y2),    a Q (xux2) = (ax1,x2),
(b) V = IR2 s operacemi
(xux2) © (ž/i, Ž/2) = (xi +Vi+^,x2 + y2),    a Q (xux2) = (axu ax2),
nejsou vektorové prostory nad IR. Zjistěte, které axiomy vektorového prostoru jsou splněny a které nikoliv.
Příklad. 4. Ukažte, že množina
U = (0,oo)
společně s operacemi
x © y = xy,    a Q x = xa
tvoří vektorový prostor nad IR.
i