5. cvičení z Ml 110 - lineární obal a vektorové podprostory, podzim 2023
Lze vynechat příklady 6, 8b a 9.
Příklad. 1. Zopakujte si definici lineární kombinace vektorů a lineárního obalu konečné množiny vektorů. Představme si vektorový prostor IR2 nad IR geometricky jako rovinu s počátkem (to je nulový vektor). Najděte podle definice
(a) Lineární obal jediného nenulového vektoru.
(b) Lineární obal nulového vektoru.
(c) Lineární obal dvou vektorů, které neleží v jedné přímce procházející počátkem. Popište lineární obaly geometricky. Co je lineární obal dvou vektorů v prostoru IR3?
Příklad. 2. Zopakujte si definici vektorového podprostoru. Najděte všechny vektorové podprostory ve vektorovém prostoru IR2. Postupujte "gemetricky"s využitím definice a předchozí úlohy.
Příklad. 3. Dokažte podle definice, že
(a) Každý lineární obal je vektorový podprostor.
(b) Množina řešení homogenní soustavy rovnic Ax = 0 s maticí A tvaru n x je vektorový podprostor.
Příklad. 4. Rozhodněte, zda následující podmnožiny vektorových prostorů jsou vektorové podprostory.
(a) V = {Ae Mat2x2(M)| an + a22 = 1} C Mat2x2(M),
(b) Z = {/ : N -> R\ f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)} C {/ : N -> IR}.
Příklad. 5. Uvažujme v IR5 vektory
Vl = (1,2,1,0,1), v2 = (2,-1,0,1,1), v3 = (1,-3,-1,1,0), u= (1,7,3,-1,2), Zjistěte, zda vektor u leží v lineárním obalu [vi, v2, v3].
Příklad. 6. V prostoru ^[x] zjistěte, zda polynom 1 + 3x + 5x2 + 10:r3 leží v lineárním obalu
[1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + x3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + Ax2 + 5x3]. Pokud ano, napište ho jako konkrétní lineární kombinaci daných polynomů. Řešení. (-10,2,7,1) □
Příklad. 7. Podprostor U v IR5 je množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic
2xi   —  3x2   +  4x3   —  8x4  +    x5  = 0 X\   +   2x2   —   3x3   +    X4   +   5rr5   = 0
Napište jej jako lineární obal několika vektorů.
Příklad. 8. Rozhodněte, zda platí:
(a) [(4, 0, -2, 6), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR4,
1
2
(b) [(1, -1, O, 2), (2, 2,-1, 3), (0,1,1, 0), (2,1, -2, 3), (3,1, -2,4)] = IR5.
Příklad. 9. Nechť ř7 je vektorový prostor nad K a nechť u,v,w E U. Dokažte rovnost lineárních obalů
[u, v, w, 2u — 3v + lOw] = [u, v, w] = [u, v, 2u — 3v + lOw].