6. cvičení z Ml 110 - lineární nezávislost a báze, podzim 2023
Příklad. 1. Zopakujte si defini lineárni nezávislosti vektorů. Podle definice zjistěte nejdříve v IR2 a potom v libovolné prostoru zjistěte:
(a) Kdy jsou lineárně nezávislé dva vektory. Co to znamená geometricky?
(b) Kdy je lineárně nezávislý jeden vektor?
(c) Co gemetricky znamená, že jsou tři vektory lineárně závislé a co znamená, že jsou nezávislé.
Příklad. 2. Zjistěte, zda jsou vektory vi = (1,-1,0, 2), v2 = (2, 2, —1, 3), v3 = (0,1,1, 0) a v4 = (3, 2, 0,5) ve vektorovém prostoru IR4 lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad. 3. Zjistěte, zda jsou polynomy x2 + x + 1, 2x2 +2,x2-xve vektorovém prostoru IR2 [x] lineárně závislé nebo nezávislé.
Příklad. 4*. Zjistěte, zda jsou následující funkce ve vektorovém prostoru IRE lineárně závislé nebo nezávislé:
^ 1 ^ t]C j j i/C j j      I *^ I'
(2) (+ l)2s (^2 _ !)2s x2 + ls
(3) sinrr, cosx, sin2x.
Příklad. 5. S použitím algoritmu z přednášky vyberte z vektorů u1,u2,u3,u4,u5 E IR4 lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem.
Ul = (1,2,3,-1), u2 = (-1,3,2,4), u3 = (1,1,4,-6), u4 = (3,5,10,-8), u5 = (1,1,1,1).
Příklad. 6. Napište dvě různé báze vektorového prostoru Mat3:E3(M) všech reálných matic tvaru 3x3. Dále najděte báze podprostorů:
(1) U C Mat3:E3(]R) všech symetrických matic,
(2) V C Mat3:E3(]R) všech antisymetrických matic,
(3) W C Mat3:E3(]R) všech matic s nulovou stopou.
Příklad. 7. Najděte bázi podprostorů M C IR5 všech řešení homogenní soustavy rovnic.
2xi   —  3x2   +  4^3   —    X4  + = 0
rci   +   2^2   —   3^3   +    X4   +   6x5   = 0 —rri   +    ^2   +  2^3   —  3x4  +  2^5  = 0
a doplňte ji do báze celého prostoru IR5.
Příklad. 8. Najděte báze podprostorů prostoru IR3 [x]:
(1) K = {p e R3[x] : p(-x) = -p(x), p(l) = 0},
(2) L = {p E JH3[x] : p{x) — 2xp'(x) = 0}, kde p' značí derivace polynomu p.
1
2
Příklad. 9. Dokažte z definice báze: Je-li ui, U2.U3.U4 báze prostoru U, pak iti +w4, it3, m2 + ^3 + U4, ui + 2w3 je rovněž báze prostoru U.
Příklad. 10*. Nechť U je vektorový prostor všech nekonečných posloupností reálných čísel. Ukažte, že jeho podprostor
F = {(oj)^i e U : an+1 = an + an_i, n > 2}
má bázi tvořenou dvěma vektory.
Dále se pokuste ukázat, že celý prostor nemá bázi tvořenou konečným seznamem vektorů.