7. cvičení z M1110 - Průniky a součty podprostorů, podzim 2023
Příklad. 1. Spočtěte souřadnice polynomu 1 + 3x + 5x2 + 10a:3 v bázi
a = (1 + x + 2x2 - x3,1 + 2x + a:3,1 + x + 3x2 - x3, 2 + 2x + 4x2 + 5x3) prostoru B^rc].
Řešení. (-10,2,7,1) □ Příklad. 2. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů P a. Q v IR4, jestliže
P= [(4, 0,-2,6), (2,1, -2,3), (3,1, -2,4)],
Q= [(1,-1, 0,2), (2,2,-1, 3), (0,1,1,0)].
Řešení. Průnik má dimenzi 2 a bázi např. (1, —1, 0, 2), (—2, —1, 2, —3). □
Příklad. 3. Najděte báze a dimenze součtu a průniku podprostorů K a L v IR4, jestliže
K = [(1,2, 0,3), (0,1,1,2), (2, 0,1,1)],
L = {(xi,x2,x3,x 4) G IR4; 2rri + 3x2 — x3 — 2rr4 = 0}.
Návod. Průnik najděte přímo, bez hledání báze podprostorů L. Součet najděte pomocí formulky pro dimenze. □
Příklad. 4. Najděte báze a dimenze podprostorů
P = {/GE4W|/(1) = 0, /(2) = 0}   a   Q = {geR4[x}\g(x) = g(-x)} a báze a dimenze jejich průniku a součtu.
Řešení, dimP = 3, dimQ = 3, dimP n Q = 1, dimP + Q = 5, tedy P + Q = R4[x]. □
Příklad. 5. Nechť a = (ui,u2,u3) je báze prostoru U. Souřadnice vektoru v E U v této bázi jsou jsou
« = ^ 3
Najděte souřadnice vektoru v v bázi /3 = (u3, Mi + 2-u2, «i — m2 + 2u3).
Příklad. 6. Najděte báze a dimenze následujících vektorových prostorů:
(1) U = {A E Mat4x4(IR); A je antisymetická matice} nad IR,
(2) C2[x] jako vektorového prostoru nad IR,
(3) IRM nad M, kde M je konečná množina.
Příklad. 7.* (Vracíme se k příkladu 10 z předchozího cvičení.) Ukažte, že vektorový prostor IRN všech posloupností reálných čísel nemá nad IR konečnou dimenzi. Zjistěte prvně, jak je to s dimenzí vektorového podprostorů
W = {/ : N -> k; 3n G N Ví > n : /(i) = 0}.
1