8. cvičení z Ml 110 - lineárni zobrazení, podzim 2023
Příklad. 1. Rozhodněte, zda následující zobrazení mezi vektorovými prostory jsou lineární.
(a) up
(b) ip
(c) lf
(d) ip
l, íp(x1,x2) = 2xi + xix2,
i3, <p{xi, x2) = (2xx - 3x2,5x2, xi - x2),
i3[x] -ř R2, <p(j>) = (p(l),p(2)2), l3[x] ->• R2, v(p) = (p(l),p(2)).
/X1\		/Xl\
x2	= A ■	x2
		
\xnJ		\xnJ
Příklad. 2. Ukažte, že každá reálná matice A tvaru k x n zadává lineární zobrazení
ip:Rn ^Rk,ip
Platí i obrácené tvrzení, každé lineární zobrazení z Rn do Rk lze psát pomocí násobení maticí tak, jak je uvedeno výše.
Příklad. 3. Ve vektorovém prostoru IR3 uvažujme bázi u\ = (1, 0,1), u2 = (0,1,1), u3 = (1,1,1). Nechť ip : IR3 —> R3 je lineární zobrazení, o němž víme, že
VÍUl) = Ul, V(U2) = U3, <p{u3) = U2.
Najděte matici A tvaru 3x3 tak, aby v souřadnicích standardní báze bylo <p(x) = Ax.
Příklad. 4. Nechť ip je zobrazení IR3 do sebe, které je symetrií podle roviny xi — x3 = 0. Najděte matici B takovou, že v souřadnicích standardní báze je <p(x) = Bx.
Příklad. 5. Najděte bázi jádra a obrazu lineárního zobrazení ip :
zadaného před-
pisem
í xi\
x2 x3 \xaJ
-2xi + x2 - x3 x\ + 2x2 + ?>x3 + 5^4 2x\ + ?>x2 + hx3 + 8x4
Příklad. 6. Najděte nějaké lineární zobrazení / : IR3 —> R3 takové, že
ker /
a   im /
Příklad. 7. Nechť je lineární zobrazení ip : IR4 —>• R3 zadáno svými hodnotami na vektorech báze prostoru IR4.
<p(l, 2, 2, 2) = (1, -5,4), v?(0,1, 2, 2) = (1,2, -3), ^(0, 0,1, 2) = (2, -3,1), ^(0,0,0,1) = (-3,1,2). Najděte bázi jeho jádra a obrazu.
2
Příklad. 8. Napište konkrétní předpis lineárního zobrazení F : IRioo [%] —> K50 takového, že dimker F = 70.
Příklad.9*. Nechť tp : U —> V je lineární zobrazení a ui,u2, ■ ■ ■ ,Uk E U. Dokažte: Jsou-li íp(ui), v?(m2), ..., íp(uk) E V lineárně nezávislé, pak jsou rovněž ui,u2, ■ ■ ■ ,Uk E U lineárně nezávislé.