13. cvičení z Ml 110 - dokončení determinantů, teoretické úlohy, podzim 2023
Dokončete některé úlohy (není nutné všechny) na determinanty z minulého cvičení.
Příklad. 1. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici
/l  2 3N A = í 2  3 1 \3  1 2,
Příklad. 2. Pomocí algebraických doplňků spočítejte inverzní matici k matici tvaru n x n
í1	x	0	0 .	.. 0	
0	1	x	0 .	.. 0	0
0	0	1	x	.. 0	0
0	0	0	0 .	.. 1	x
Vo	0	0	0 .	.. 0	1/
Příklad. 3. Nechť U je množina všech matic A e Mat2X2(K) , jejichž řádky jsou lineárně závislé. Zjistěte, zdaje U vektorový podprostor ve vektorovém prostoru Mat2X2(K) Bod pouze za zdůvodnění.
Příklad. 4. Uvažujme lineární zobrazení p : R50 ->• Mat7x7(M) a ^ : Mat7x7(M) -> IR60. Může být složené zobrazení ip o tp : IR50 —>• M60 prosté? Bod pouze za zdůvodnění správné odpovědi.
Příklad. 5. Napište předpis lineárního zobrazení tp : R20 —> IRg [x]
ip(a1,a2, ...,a2o) = ... takového, že dim im <p = 5 a ip(l, 0,1, 0,1,1, 0) = x5. Napište rovněž bázi obrazu.
Příklad. 6. V prostoru Mi [x] uvažujme báze a = (pl7p2) & f3 = (qi, q2) . Najděte polynomy ř/i a p2 , jestliže p\(x) = 1 —2x a.q2(x) = 3 — 2:r a matice přechodu je
'2
3 4
(id)
,3,o
Příklad. 7. Platí pro každé dvě reálné čtvercové matice A, B tvaru n x n rovnost
(A + B)2 = A2 + 2AB + 52?
Svou odpověď zdůvodněte.
Příklad. 8. Ve vektorovém prostoru M.2 udejte příklad bází a, [5 takových, že matice přechodu je
(ldW =
2  4 "
2
nebo dokažte, že neexistují.
Příklad. 9. Nalezněte bázi a = (ui,u2, u3) vektorového prostoru IR3 takovou, že souřadnice vektoru v = (1,0, 0) v bázi a jsou (1,1,1)T a souřadnice vektoru z = (1,1,1) v bázi a jsou (1,0, 0)T . Svou volbu zdůvodněte z definice souřadnic.