Domácí úkoly ke cvičení č. 5
1. Mějme těleso (R, +, •) všech reálných čísel. Uvažme množinu RR, to jest množinu všech zobrazení / : R —» R. Na této množině RR definujme binární operaci © : RR x RR —> RR předpisem:
pro každá dvě zobrazení /, g : R —> R:
(Vxel)((/®ff)(x) = /(x) + #)).
Dále definujme vnější operaci 0 : R x RR —> RR předpisem: pro každé r G R a pro každé zobrazení / : R —> R:
(VxGR)((r0/)(x)=r-/(x)).
Ověřte, že pak struktura (RR,©,©) tvoří vektorový prostor nad tělesem (R,+, •)•
2. V každé z následujících úloh je dáno číselné těleso (T, +, •), množina V, binární operace © : V x V —> V a vnější operace © : T x V —> V. Pokaždé rozhodněte, zda potom (V, ©, ©) tvoří vektorový prostor nad tělesem (T, + , •), a své tvrzení ověřte nebo zdůvodněte.
a) Je dáno těleso (R, +, •) reálných čísel, množina <S(R) = {{an}^i : (Vn E N)(an E R)} všech posloupností reálných čísel, binární operace © : <S(R) x S (R) —> 5 (R) je definována pro libovolné posloupnosti {cLn}^Li a {bnj^Li reálných čísel předpisem
a vnější operace © : R x S (R) —> 5 (R) je definována pro každé r G R a pro každou posloupnost {an}™=i reálných čísel předpisem
r®{an}n=i = {r-an}Zv
b) Je dáno těleso (R, +, •) reálných čísel, množina Rz všech zobrazení 7 : Z —> R, binární operace © : Rz x Rz —> Rz je definována pro libovolná zobrazení 7, í : Z —> R předpisem
(Vm G Z) ((7 © 5)(m) = 7(771) + č(m))
1
a vnější operace © : M x M. —> R je definována pro každé r g K. a pro každé zobrazení 7 : Z —> K. předpisem
(Vm g Z) ((r © 7)(m) = r-7(—m)).
c) Je dáno těleso (R, +, •) reálných čísel, množina RR všech zobrazení
: R —» R, binární operace © : RR x RR —> RR je definována pro libovolná zobrazení (p:i/j : R —> R předpisem
(Vx g R) ((</? © V){x) = ip{x) + ip(x))
a vnější operace © : R x RR —> RR je definována pro každé r g R a pro každé zobrazení (f : R —> R předpisem
(Vx g R)((r © = |r|-(/?(x)).
d) Je dáno těleso (C, + , •) komplexních čísel, množina CR všech zobrazení ů : R —> C, binární operace © : CR x CR —> CR je definována pro libovolná zobrazení í?, C : R —> C předpisem
(Vx g R) ((1? © C) O) = ů{x) + CO))
a vnější operace © : C x CR —> CR je definována pro každé c g C a pro každé zobrazení ů : R —> C předpisem
(Vx g R) ((c © í?)(x) = č-tf (x)).
3. O každé z následujících podmnožin W C RR rozhodněte, zda se jedná o vektorový podprostor vektorového prostom (RR,©,©) nad tělesem (R, +, •) popsaného v úloze 1, a své tvrzení ověřte nebo zdůvodněte.
a)	W	{/:R-	-> r 1 (yx g ]		:|) = 0)}
b)	W	{/:R-	-> r 1 (yx g ]		x) = -/(x))}
c)	W	{/:R-	-> r 1 (Vc g z	mm	■/(-c) = 0)}
d)	w	{/:R-	-> r 1 (Vie g ]		WX/(W))}
e)	w	{/:R-	-> r 1 (\fx g ]	R)(/(x	+ i) = /(*))}
2
(Vs,teR)(f(s)-f(t)žO)}
(VMgK)(Kí=^/(^/(í))}
(3n g N) (Víc g M)(/(íc) < ra2)}
(3n g N)(Vic g < n\x\)}
(3n g N)(Vic g R)(\x\ ^ n =^ f(x) = 0)}
4. V každé z následujících úloh jsou dána tři zobrazení /, g: h : R —> M. Pokaždé rozhodněte, zda se jedná o lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru (RR, 0, 0) nad tělesem (R, +, •) popsaném v úloze 1.
a)	/(*)	= (vx2 + l) , g{x) = (vx2 — l) ,        = x2 + 1
b)	/(*)	= sinic, g(ic) = sin(ic + |), /í(íc) = sin(ic + ^f)
c)	/(*)	= 1 + x2, g(x) = 1 — x2, h(x) = (1 + x)2
d)	/(*)	= sinic, g(x) = cosic, h(x) = cos2ic
e)	/(*)	= (ic - l)2, g(x) = (x- 2)2, /í(ic) = x2 - 2
f)	/(*)	= sinic, g(x) = sin2ic, /í(íc) = sin|
g)	/(*)	= x2, g(ic) = |ic|, /í(íc) =
h)	/(*)	= 1, g(x) = cosic, /í(íc) = cos2 §
i)	/(*)	— ar, g(x) — \x\ , /í(íc) — í 2
j)	/(*)	= sin2ic, g(ic) = sin4ic, h(x) = sin2 2x
Jde-li o lineárně nezávislé vektory, dokažte to. V opačném případě vyjádřete některý z těchto tří vektorů ve tvaru lineární kombinace zbývajících dvou vektorů.
f) W={f:R^R
g) W={f:R^R
h) W={f:R^R
i) W={f:R^R j) W=\f:R^R
3