1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY
V tejto kapitole zavedieme dva druhy algebraických štruktúr, ktoré budú hrať v celom
ďalšom výklade kľúčovú úlohu, a dokážeme o nich niekoľko jednoduchých základných
tvrdení. Ide štruktúry, ktoré zahŕňame pod pojem poľa a pojem vektorového priestoru.
Prvky poľa budeme nazývať skaláry, a niekedy len čísla. Fyzikálne ich možno interpretovať
ako hodnoty fyzikálnych veličín, ktoré sú určené iba svojou veľkosťou a
znamienkom. Prvky vektorového priestoru, t. j. vektory, zasa zodpovedajú fyzikálnym
veličinám, ktoré sú okrem veľkosti určené tiež smerom a orientáciou.
1.1. Základné číselné obory
Predpokladáme, že čitateľ pozná základné číselné obory, ako sú prirodzené čísla, celé
čísla, racionálne čísla, reálne čísla a komplexné čísla. Každý z týchto číselných oborov
tvorí množinu. Dohodneme sa, že ich budeme označovať tzv. tučnými tabuľovými
písmenami:
N – množina všetkých prirodzených čísel,
Z – množina všetkých celých čísel,
Q – množina všetkých racionálnych čísel,
R – množina všetkých reálnych čísel,
C – množina všetkých komplexných čísel.
Ešte poznamenajme, že i nulu považujeme za prirodzené číslo, t. j. 0 ∈ N. Imaginárnu
jednotku (ktorá je prvkom C R) budeme značiť i.
Konštatovaním, že uvedené číselné obory tvoria množiny, sme však ich štruktúru
zďaleka nevyčerpali. Omnoho dôležitejšie je, že na každej z týchto množín sú definované
dve binárne operácie, sčítanie + a násobenie · . Pritom na každej z uvedených množín
sú obe tieto operácie asociatívne a komutatívne. Navyše, násobenie je (z oboch strán)
distributívne vzhľadom na sčítanie, t. j. pre všetky prvky x, y, z príslušnej množiny platí
x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz.
Číselný obor N je v porovnaní s obormi Z, Q, R a C akýsi
”
chudobnejší“ – kým rovnice
tvaru x + a = b majú v oboroch Z, Q, R, C riešenie x = b − a pre ľubovoľné a, b, v N
je takáto rovnica riešiteľná len ak a ≤ b. Obory Q, R a C sú však
”
bohatšie“ nielen
v porovnaní s N no i so Z – rovnice tvaru ax = b majú v oboroch Q, R, C riešenie pre
ľubovoľné a = 0 a b, kým v N či Z sú riešiteľné len ak a je deliteľom b.
Nás budú zaujímať práve vlastnosti číselných oborov Q, R a C s operáciami sčítania
a násobenia. Pritom využijeme, že uvedené operácie na týchto oboroch majú rad spoločných
vlastností, čo nám umožňuje skúmať ich do veľkej miery jednotným spôsobom
a súčasne. To dosiahneme tým, že sformulujeme abstraktný pojem poľa, pod ktorý zahrnieme
všetky spomínané prípady, ako i mnohé ďalšie, ktoré sa nám objavia až akosi
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
dodatočne. Ako sme spomínali už v úvode, práve takýto prístup je charakteristický pre
algebru, presnejšie, v ňom spočíva jej podstata.
1.2. Polia
Poľom nazývame množinu K s dvoma význačnými prvkami – nulou 0 a jednotkou 1 –
a dvomi binárnymi operáciami na K – sčítaním + a násobením · – takými, že platí
(∀ a, b ∈ K)(a + b = b + a), (∀ a, b ∈ K)(a · b = b · a),
(∀ a, b, c ∈ K)(a + (b + c) = (a + b) + c), (∀ a, b, c ∈ K)(a · (b · c) = (a · b) · c),
(∀ a ∈ K)(a + 0 = a), (∀ a ∈ K)(1 · a = a),
(∀ a ∈ K)(∃ b ∈ K)(a + b = 0), (∀ a ∈ K {0})(∃ b ∈ K)(a · b = 1),
(∀ a, b, c ∈ K)(a · (b + c) = (a · b) + (a · c)), 0 = 1.
Teda sčítanie a násobenie v poli sú komutatívne a asociatívne operácie a násobenie je
distributívne vzhľadom na sčítanie. Ďalej 0 je neutrálny prvok sčítania a 1 je neutrálny
prvok násobenia, pričom tieto dva prvky sú rôzne. Jednoducho možno nahliadnuť, že
prvok b ∈ K taký, že a + b = 0, t. j. inverzný prvok vzhľadom na operáciu sčítania,
je k danému prvku a ∈ K určený jednoznačne (pozri paragraf 0.4). Tento jednoznačne
určený prvok k danému a označujeme −a a nazývame opačný prvok k a. Miesto a+(−b)
zvykneme písať len a−b. Takisto prvok b ∈ K taký, že a·b = 1, je k danému 0 = a ∈ K
určený jednoznačne – označujeme ho a−1
alebo 1
a , prípadne 1/a a nazývame inverzný
prvok k a alebo prevrátená hodnota prvku a. Miesto a · b−1
píšeme tiež a
b alebo a/b.
Znak násobenia budeme väčšinou vynechávať a násobenie bude mať prednosť pred
sčítaním, teda napr. miesto (a·b)+c budeme písať len ab+c. Asociatívnosť nám umožňuje
vynechávať zátvorky a súčty či súčiny ľubovoľných konečných postupností prvkov poľa
jednoznačne zapisovať v tvare a1+a2+. . .+an resp. a1·a2·. . .·an prípadne len a1a2 . . . an;
komutatívnosť nám navyše dovoľuje nestarať sa o poradie sčítancov resp. činiteľov. Kvôli
úplnosti sa dohodneme, že pre n = 1 sa oba uvedené výrazy rovnajú a1; pre n = 0
kladieme prázdny súčet rovný 0 a prázdný súčin rovný 1. Ak a1 = . . . = an = a, tak
miesto a1 + . . . + an píšeme na a miesto a1 . . . an len an
.
Teraz si ukážeme, ako možno niektoré najzákladnejšie pravidlá počítania, na ktoré
sme zvyknutí v číselných oboroch Q, R a C, odvodiť len z axióm poľa. Zhrnieme ich do
nasledujúceho tvrdenia. Okrem iného z neho vyplýva, že k 0 nemôže v poli existovať
inverzný prvok (podmienka (c)).
1.2.1. Tvrdenie. Nech K je pole. Potom pre ľubovoľné n ∈ N a a, b, c, b1, . . . , bn ∈ K
platí
(a) a + b = a + c ⇒ b = c,
(b) (ab = ac & a = 0) ⇒ b = c,
(c) a0 = 0,
(d) ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0),
(e) −a = (−1)a,
(f) a(b − c) = ab − ac,
(g) a(b1 + . . . + bn) = ab1 + . . . + abn.
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 3
Dôkaz. (a), (b) Keďže obe podmienky možno dokázať v podstate rovnako, urobíme to
len pre druhú z nich. Z ab = ac vyplýva a−1
ab = a−1
ac. Ľavá strana sa rovná b a
pravá c.
(c) a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0. Podľa (a) z toho vyplýva a0 = 0.
(d) Nech ab = 0. Potom podľa (c) ab = 0 = a0. Ak a = 0, tak podľa (b) z toho
vyplýva b = 0.
(e) Vďaka jednoznačnosti opačného prvku k a stačí overiť, že (−1)a + a = 0. Jednoduchý
výpočet dáva (−1)a + a = (−1)a + 1a = (−1 + 1)a = 0a = 0 podľa (c).
(f) Podľa (e) a(b − c) = a(b + (−1)c) = ab + a(−1)c = ab + (−1)ac = ab − ac.
(g) Rovnosť zrejme platí pre n = 0, 1, 2. Keby neplatila pre všetky prirodzené čísla,
označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré existujú a, b1, . . . , bn ∈ K také, že
uvedená rovnosť neplatí. Potom n > 2 a pre n − 1 rovnosť platí. Preto
a(b1 + . . . + bn−1 + bn) = a(b1 + . . . + bn−1) + abn = ab1 + . . . + abn−1 + abn.
To je však spor.
Doplňme, že podmienky (a) a (b) sa nazývajú pravidlá krátenia pre sčítanie resp.
násobenie v poli.
Podmienka (e) nám umožňuje zaviesť ľubovoľné celočíselné násobky prvkov z poľa.
Pre a ∈ K, n ∈ N kladieme (−n)a = −(na) = n(−a). Podobne možno pre nenulové
prvky poľa zaviesť i ľubovoľné celočíselné mocniny. Pre 0 = a ∈ K, n ∈ N kladieme
a−n
= (an
)−1
= (a−1
)n
.
Čitateľovi prenechávame, aby si sám odvodil nasledujúce rovnosti známe z bežných
číselných oborov:
0a = 0, 1a = a, a ∈ K,
n(a + b) = na + nb, a, b ∈ K, n ∈ Z,
(m + n)a = ma + na, a ∈ K, m, n ∈ Z,
(mn)a = m(na), a ∈ K, m, n ∈ Z,
(mn)(ab) = (ma)(nb), a, b ∈ K, m, n ∈ Z,
a0
= 1, a1
= a, a ∈ K,
(ab)n
= an
bn
, a, b ∈ K, n ∈ Z, n < 0 ⇒ a = 0 = b,
am+n
= am
an
, a ∈ K, m, n ∈ Z, (m < 0 ∨ n < 0) ⇒ a = 0,
amn
= (am
)n
, a ∈ K, m, n ∈ Z, (m < 0 ∨ n < 0) ⇒ a = 0,
Ešte podotýkame, že v rovnostiach v prvom a šiestom riadku označujú 0 a 1 na ľavých
stranách prirodzené čísla, t. j. prvky množiny N, kým 0 a 1 na pravých stranách v prvom
riadku označujú prvky poľa K. Vzhľadom na to, že pre všetky tri príklady polí, s ktorými
sme doteraz stretli, platí N ⊆ K, môže sa nám toto rozlíšenie zdať nepodstatné. Vo
všeobecnosti však uvedená inklúzia platiť nemusí.
Nech K je pole a L ⊆ K. Hovoríme, že L je podpole poľa K, ak 0, 1 ∈ L a pre
všetky a, b ∈ L platí a + b ∈ L, ab ∈ L, −a ∈ L a, ak a = 0, tak aj a−1
∈ L. Inak
povedané, podpole poľa K je taká jeho podmnožina L, ktorá obsahuje nulu a jednotku
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
a je uzavretá vzhľadom na sčítanie, násobenie, opačný a inverzný prvok. Zrejme každé
podpole poľa K je s týmito operáciami zúženými z K na L i samo poľom. Hovoríme
tiež, že pole K je rozšírením poľa L.
Zrejme pole Q je podpoľom poľa R i poľa C; pole C je rozšírením poľa Q aj R.
Charakteristikou poľa K, označenie char K, nazývame najmenšie kladné celé číslo n
také, že n1 = 0; ak také n neexistuje, t. j. n1 = 0 pre každé celé n > 0, hovoríme že K
má charakteristiku ∞ (niektorí autori vtedy kladú char K = 0).
Ak pole K je rozšírením poľa L, tak polia K a L majú tú istú jednotku, preto
char K = char L.
Zrejme char Q = char R = char C = ∞.
1.2.2. Veta. Nech K je pole. Potom char K je ∞ alebo prvočíslo.
Dôkaz. Keďže 0 = 1, zrejme char K > 1. Predpokladajme, že char K = n je zložené
číslo. Potom existujú celé čísla k, l > 1 také, že n = kl. Keďže k, l < n, je k1 = 0 = l1.
Na druhej strane (k1)(l1) = (kl)(1 · 1) = n1 = 0. Podľa 1.2.1(d) z toho vyplýva k1 = 0
alebo l1 = 0, čo je spor.
1.3. Polia Zp
V tomto krátkom paragrafe si ukážeme príklady polí, ktorých charakteristika nie je ∞.
Z toho dôvodu sa tieto polia výrazne odlišujú od našich dôverne známych číselných polí.
Presnejšie, pre každé prvočíslo p zostrojíme isté konečné pole Zp, ktoré má p prvkov
a charakteristiku p. Na druhej strane, spomínané číselné polia (ako vôbec všetky polia
nekonečnej charakteristiky) sú nekonečné. Poznamenajme, že pre každé prvočíslo p a
kladné celé číslo k existuje pk
-prvkové pole s charakteristikou p ako aj nekonečné polia
charakteristiky p. Ich konštrukcia však presahuje rámec nášho úvodného kurzu.
Pre potreby matematickej analýzy, teda aj z hľadiska fyzikálnych aplikácií, sú najdôležitejšími
poľami R a C. Konečné polia však v súčasnosti zohrávajú dôležitú úlohu
napr. v kódovaní a kryptografii.
Pre každé kladné celé číslo n označme
Zn = {k ∈ N; k < n} = {0, 1, . . . , n − 1}.
Množinu Zn zo zrejmých dôvodov (pozri cvičenia 0.3 a 0.16) nazývame množinou zvyškových
tried modulo n. Na tejto množine teraz zavedieme dve binárne operácie – sčítanie
⊕ a násobenie (toto trochu ťažkopádne označenie budeme používať len v tomto
paragrafe, neskôr sa vrátime k obvyklým + a · ; v definícii však treba odlíšiť sčítanie a
násobenie v Zn od príslušných operácií v Z). Pre a, b ∈ Zn kladieme
a ⊕ b = zvyšok po delení (a + b) : n,
a b = zvyšok po delení (ab) : n.
Čitateľovi prenechávame na overenie (prípadne na uverenie), že ⊕ a sú asociatívne
a komutatívne operácie na Zn a násobenie je distributívne vzhľadom na sčítanie. Ďalej
0 je neutrálny prvok sčítania a, pre n > 1, je 1 neutrálny prvok násobenia. Navyše
a = n − a je opačný prvok k a ∈ Zn {0}; pre a = 0 je samozrejme 0 = 0.
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 5
1.3.1. Veta. Množina Zn s operáciami ⊕ a je pole práve vtedy, keď n je prvočíslo.
Dôkaz. Zrejme n je najmenšie kladné celé číslo také, že
n1 = 1 ⊕ . . . ⊕ 1
n-krát
= 0.
Preto, ak Zn je pole, tak char Zn = n, a podľa 1.2.2 je n prvočíslo.
Dokážeme, že Zp je pole pre každé prvočíslo p. Najprv overíme, že v Zp platí zákon
o krátení
(a b = a c & a = 0) ⇒ b = c.
Rovnosť a b = a c znamená, že číslo ab − ac = a(b − c) je deliteľné číslom p. Keďže p
je prvočíslo, musí byť aspoň jedno z čísel a, b − c deliteľné číslom p. Nakoľko 0 < a < p,
može to byť len b − c. Pre b, c ∈ Zp to však znamená b = c.
Zostáva overiť existenciu inverzného prvku ku každému 0 = a ∈ Zp. Uvažujme
postupnosť mocnín a1
= a, a2
= a a, a3
= a a a, . . . , atď. Keďže a = 0,
z dokázaného krátenia vyplýva, že všetky jej členy sú nenulové. Pretože množina Zp je
konečná, nemôžu byť všetky členy uvedenej postupnosti rôzne. Musia preto existovať
kladné celé čísla k, l také, že ak
= ak+l
= ak
al
. Potom platí ak
al
= ak
1, z čoho
krátením dostávame al
= 1. Keďže al
= a al−1
, je a−1
= al−1
inverzný prvok k a.
Multiplikatívne tabuľky sčítania a násobenia v poli Z5 sme si ako príklady binárnych
operácií uviedli v paragrafe 0.4.
1.4. Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore
Vektory v rovine či v priestore si predstavujeme ako orientované úsečky, t. j. úsečky, ktorých
jeden krajný bod považujeme za počiatočný a druhý za koncový – ten je označený
šípkou. Pritom dve rovnako dlhé, rovnobežné a súhlasne orientované úsečky predstavujú
ten istý vektor – hovoríme, že sú umiestneniami toho istého vektora. Ak si teda zvolíme
nejaký pevný bod O, tak všetky vektory v rovine či priestore môžeme jednoznačne
reprezentovať ako orientované úsečky
−→
OA s počiatkom v O, pričom ich koncom môže
byť ľubovoľný bod A roviny či priestoru, bod O nevynímajúc – orientovaná úsečka
−→
OO
totiž predstavuje tzv. nulový vektor.
Vektory v rovine i v priestore možno sčítať pomocou tzv. vektorového rovnobežníka.
Súčet vektorov u =
−→
OA, v =
−→
OB je potom znázornený orientovanou uhlopriečkou
u + v =
−→
OC rovnobežníka, ktorého dve priľahlé strany tvoria úsečky OA, OB.
Vektory možno taktiež násobiť ľubovoľnými skalármi, t. j. reálnymi číslami: ak c ∈ R
a v je vektor, tak cv je vektor, t. j. orientovaná úsečka s počiatkom v O, ktorej dĺžka je
|c|-násobkom dlžky úsečky v, leží na tej istej priamke ako v a je orientovaná súhlasne
s v, ak c > 0, resp. nesúhlasne s v, ak c < 0, (ak c = 0 alebo v je nulový vektor, tak,
samozrejme, aj cv je nulový vektor, takže nezáleží na jeho smere ani orientácii).
Ak si okrem počiatku O zvolíme v rovine či priestore ešte dve resp. tri súradné
osi, t. j. navzájom kolmé priamky prechádzajúce počiatkom, a na každej z nich jeden
bod v rovnakej jednotkovej vzdialenosti od počiatku, dostaneme pravouhlý súradnicový
systém v rovine či v priestore. Každý bod roviny či priestoru je potom jednoznačne
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
u
v
u + v
O A
B C
Obr. 1.1. Vektorov rovnobenk
určený usporiadanou dvojicou, resp. trojicou svojich súradníc a tiež naopak, každá dvojica
resp. trojica súradníc jednoznačne určuje nejaký bod roviny či priestoru. Taktiež
každý vektor v rovine či v priestore je potom jednoznačne určený súradnicami svojho
koncového bodu a tiež naopak ľubovoľná usporiadaná dvojica resp. trojica súradníc jednoznačne
určuje nejaký vektor v rovine či priestore. Pri pevnom súradnicovom systéme
tak možno množinu všetkých vektorov v rovine stotožniť s množinou R2
a množinu
všetkých vektorov v priestore s množinou R3
.
Ak (pri takomto stotožnení) u = (u1, u2) ∈ R2
, v = (v1, v2) ∈ R2
sú dva vektory v rovine,
tak ľahko nahliadneme, že pre ich súčet u + v, daný vektorovým rovnobežníkom,
platí
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2).
Ak c ∈ R, tak pre skalárny násobok cu dostávame
cu = c(u1, u2) = (cu1, cu2).
Podobne možno reprezentovať aj operácie súčtu a skalárneho násobku vektorov v priestore
príslušnými operáciami na množine R3
všetkých usporiadaných trojíc reálnych
čísel.
Ešte si všimnime, že predpoklady kolmosti súradných osí a rovnosti jednotkových
dĺžok v jednotlivých smeroch nehrali v našich úvahách nijakú úlohu. Stačí, aby systém
súradných osí tvorili dve rôznobežné priamky (v rovine) resp. tri nekomplanárne
priamky (v priestore) pretínajúce sa v počiatku O. Za jednotkové dĺžky v smeroch
jednotlivých súradných osí možno zvoliť dĺžky ľubovoľných (nie nevyhnutne rovnako
dlhých) úsečiek.
Operácie súčtu vektorov a násobenia vektora skalárom majú rad vlastností, ktoré nie
sú viazané len na ich špecifickú geometrickú reprezentáciu v rovine či priestore. Napríklad,
prostredníctvom súradnicovej reprezentácie vektorov by sme ich mohli priamočiaro
zovšeobecniť na usporiadané n-tice skalárov z ľubovoľného poľa K pre akékoľvek n ∈ N.
Tým by sme dostali akési
”
n-rozmerné vektorové priestory nad poľom K“. V duchu
algebry teraz zadefinujeme abstraktný pojem vektorového priestoru nad daným poľom,
pričom budeme abstrahovať od akýchkoľvek súradníc aj
”
dimenzie“. Podstatné budú
pre nás len algebraické vlastnosti operácií súčtu vektorov a skalárneho násobku vektora.
K spomínaným príkladom sa však budeme sústavne vracať.
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 7
1.5. Vektorové priestory
Nech K je pole. Vektorovým alebo tiež lineárnym priestorom nad poľom K nazývame
množinu V s význačným prvkom 0 a dvomi binárnymi operáciami – sčítaním
+ : V × V → V a násobením · : K × V → V – takými, že platí
(∀ x, y, z ∈ V )(x + (y + z) = (x + y) + z)),
(∀ x, y ∈ V )(x + y = y + x),
(∀ x ∈ V )(x + 0 = x),
(∀ x ∈ V )(∃ y ∈ V )(x + y = 0),
(∀ a, b ∈ K)(∀ x ∈ V )(a · (b · x) = (ab) · x),
(∀ x ∈ V )(1 · x = x),
(∀ a ∈ K)(∀ x, y ∈ V )(a · (x + y) = (a · x) + (a · y)),
(∀ a, b ∈ K)(∀ x ∈ V )((a + b) · x = (a · x) + (b · x)).
Ako si čitateľ asi všimol, skaláry značíme
”
obyčajnými“ malými latinskými písmenami
a vektory tučnými malými latinskými písmenami. Tejto implicitnej dohody sa budeme
väčšinou držať, nie však za každú cenu. Kedykoľvek by nás obmedzovala, nebudeme
váhať ju porušiť.
I keď sčítanie skalárov v poli a sčítanie vektorov značíme rovnakým znakom +, ide
o rôzne operácie. Podobne násobenie v poli a násobenie vektora skalárom sú rôzne
operácie, hoci obe značíme · . Neskôr tento prístup dovedieme ešte ďalej, keď budeme
rovnako značiť príslušné operácie a nuly v rôznych vektorových priestoroch. Rozlišovanie
znakov pre nulu 0 ∈ K a 0 ∈ V , hoci tieto prvky plnia rovnakú funkciu v K resp. vo V ,
je tak trochu proti duchu tohto prístupu. Ide vlastne o zbytočný luxus, ktorý je však
v zhode s prijatou dohodou o značení skalárov a vektorov.
Z formálneho hľadiska pripomínajú axiómy vektorového priestoru axiómy poľa: sčítanie
vektorov je opäť asociatívna a komutatívna binárna operácia na V s neutrálnym
prvkom 0 ∈ V , operácia násobenia vektora skalárom tiež spĺňa akúsi podmienku
”
asociatívnosti“, 1 ∈ K je jej
”
neutrálnym prvkom“ a platia dva
”
distributívne zákony“.
Je tu však jeden podstatný rozdiel – kým násobenie v poli K je binárnou operáciou na
množine K, t. j. zobrazením · : K × K → K, násobenie vo vektorovom priestore V nad
poľom K nie je binárnou operáciou na V , ale binárnou operáciou · : K × V → V . To
nám však nebráni zaviesť obdobné dohody ako pre operácie v poli: i teraz bude mať násobenie
prednosť pre sčítaním a znak násobenia budeme väčšinou vynechávať, t. j. písať
napr. ax + y miesto (a · x) + y. Takisto budeme vynechávať zátvorky, ktorých umiestnenie
neovplyvní výslednú hodnotu výrazov ako napr. v abx alebo a1x1 + . . . + anxn.
Posledný výraz budeme tiež značiť
n
i=1
aixi
a nazývať lineárnou kombináciou vektorov x1, . . . , xn s koeficientmi a1, . . . , an. Špeciálne
pre n = 1 to znamená
1
i=1 aixi = a1x1; kvôli úplnosti pre n = 0 ešte kladieme
prázdnu lineárnu kombináciu
0
i=1 aixi rovnú 0.
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Podobne ako v prípade polí, možno z axióm vektorových priestorov odvodiť niektoré
základne pravidlá pre počítanie so skalármi a vektormi. Predovšetkým prvok y ∈ V
taký, že x+y = 0, je k danému x ∈ V určený jednoznačne – značíme ho −x a nazývame
opačný vektor k x. Namiesto x + (−y) opäť píšeme len x − y. Tieto pravidlá zhrnieme
v nasledujúcej analógii tvrdenia 1.3.1.
1.5.1. Tvrdenie. Nech V je vektorový priestor nad poľom K. Potom pre ľubovoľné
n ∈ N, a, b, a1, . . . , an ∈ K a x, y, z, x1, . . . , xn ∈ V platí
(a) x + y = x + z ⇒ y = z,
(b) (ax = ay & a = 0) ⇒ x = y, (ax = bx & x = 0) ⇒ a = b,
(c) a0 = 0 = 0x,
(d) ax = 0 ⇒ (a = 0 ∨ x = 0),
(e) −x = (−1)x,
(f) a(x − y) = ax − ay, (a − b)x = ax − bx,
(g) a(x1 + . . . + xn) = ax1 + . . . + axn, (a1 + . . . + an)x = a1x + . . . + anx.
Dôkaz. Všetky podmienky, s výnimkou druhej implikácie v (b), možno dokázať celkom
analogicky ako príslušné časti tvrdenia 1.2.1. Dokážeme aj túto. Nech ax = bx a x = 0.
Potom (a − b)x = ax − bx = 0. Podľa (d) z toho vyplýva a − b = 0, teda a = b.
Práve definované vektorové priestory by sme presnejšie mohli nazvať
”
ľavými“ vektorovými
priestormi, lebo v operácii skalárneho násobku píšeme skalár vľavo od vektora.
Celkom obdobne by sme mohli definovať aj
”
pravé“ vektorové priestory, v ktorých by
sme operáciu skalárneho násobku chápali ako zobrazenie V × K → V a zapisovali ju
v tvare x · a alebo len xa pre x ∈ V , a ∈ K. Vďaka komutatívnosti násobenia v poli
K si však môžeme dovoliť chápať naše
”
ľavé“ vektorové priestory zároveň ako
”
pravé“.
Pre všetky a ∈ K, x ∈ V jednoducho položíme xa = ax. Jediný problém – zabezpečiť
pre všetky a, b ∈ K, x ∈ V rovnosť (ab)x = (ba)x, ktorá z takejto definície vyplýva
výpočtom
(ab)x = a(bx) = a(xb) = (xb)a = x(ba) = (ba)x,
– je vyriešený práve v dôsledku komutatívnosti násobenia v K. Teda, ak sa nám v operácii
skalárneho násobku vyskytne skalár vpravo od vektora, nemusí nás to vyviesť
z miery – kľudne ho môžeme prehodiť vľavo a ani o zátvorky sa nemusíme príliš starať.
1.6. Príklady vektorových priestorov
1.6.1. Rozšírenia polí. Zrejme každé pole K možno považovať za vektorový priestor
nad sebou samým. Všeobecnejšie, ak pole L je rozšírením poľa K, tak L možno
považovať za vektorový priestor nad poľom K (formálne stačí
”
zabudnúť“ násobenie
niektorých dvojíc prvkov a, b ∈ L a súčin ab pripustiť len pre a ∈ K, b ∈ L). Podobným
spôsobom možno vektorový priestor V nad poľom L zúžením násobenia L × V → V na
násobenie K × V → V prerobiť na vektorový priestor nad poľom K.
1.6.2. n-rozmerné riadkové a stĺpcové vektory nad daným poľom. Pre ľubovoľné
pole K a n ∈ N množina
Kn
= {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn ∈ K}
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 9
všetkých usporiadaných n-tíc prvkov z K spolu s operáciami
x + y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
cx = c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn),
kde x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn
, y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn
a c ∈ K, tvorí vektorový priestor
nad poľom K. Zrejme usporiadaná n-tica 0n = (0, . . . , 0) hrá úlohu nuly v Kn
. Ak bude
potrebné rozlíšiť nulové vektory v priestoroch Kn
pre rôzne prirodzené čísla n, budeme
pre nulu v Kn
používať označenie 0n. Opačný prvok k x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn
je zrejme
−x = −(x1, . . . , xn) = (−x1, . . . , −xn)
Hovoríme, že operácie na Kn
sú definované po zložkách. Prvky tohto vektorového priestoru
nazývame n-rozmerné riadkové vektory nad poľom K. Kvôli úplnosti ešte poznamenajme,
že vektorový priestor K0
pozostáva z jediného prvku ∅, predstavujúceho
”
usporiadanú nulaticu“, ktorá tak je nevyhnutne nulou v K0
.
Niekedy je (a väčšinou i bude) výhodnejšie pracovať s n-rozmernými stĺpcovými vektormi
nad poľom K, t. j. s vektormi tvaru
x =


x1
...
xn

 ,
kde x1, . . . , xn ∈ K. Čitateľ si iste sám doplní definície príslušných operácií (opäť po
zložkách) a dalšie podrobnosti. Pokiaľ nebude hroziť nedorozumenie, budeme i tento
priestor označovať Kn
, prípadne len slovne naznačíme, či tým máme na mysli priestor
n-rozmerných riadkových alebo stĺpcových vektorov. V súlade s tým 0n alebo len 0
môže označovať aj nulový vektor-stĺpec.
1.6.3. Polynómy nad daným poľom. Pod polynómom alebo tiež mnohočlenom f(x)
stupňa n, kde n ∈ N, v premennej x nad poľom K rozumieme formálny výraz tvaru
f(x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1
+ anxn
=
n
i=0
aixi
,
kde a0, a1, . . . , an−1, an ∈ sú skaláry, nazývané koeficienty polynómu f, a an = 0; nulu
0 ∈ K považujeme za polynóm stupňa −1 a nenulové skaláry a ∈ K za polynómy
stupňa 0. Zrejme každý polynóm f(x) definuje (rovnako značenú) funkciu f : K → K
danú predpisom c → f(c), t. j. dosadením konkrétnych hodnôt c ∈ K za premennú x do
polynómu f(x). Množinu všetkých polynómov v premennej x nad K stupňa nanajvýš
n, kde −1 ≤ n ∈ Z, budeme značiť K(n)
[x]; množinu všetkých polynómov v premennej
x nad K značíme K[x]. Ľubovoľný polynóm g(x) =
m
i=0 bixi
∈ K[x] stupňa m < n
môžeme tiež písať v tvare
g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm
+ 0xm+1
+ . . . + 0xn
,
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
t. j. v tvare g(x) =
n
i=0 bixi
, kde bi = 0 pre m < i ≤ n. S použitím tejto konvencie
možno definovať súčet f(x) + g(x) polynómov f(x) =
n
i=0 aixi
, g(x) =
m
i=0 bixi
z K[x] predpisom
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =
max(m,n)
i=0
(ai + bi)xi
.
Ak navyše c ∈ K, kladieme
(cf)(x) = cf(x)
n
i=0
caixi
.
Ľahko možno nahliadnuť, že s takto po zložkách definovanými operáciami súčtu a skalárneho
násobku tvorí každá z množín polynómov K(n)
[x], kde −1 ≤ n ∈ Z, ako i
množina všetkých polynómov K[x] vektorový priestor nad poľom K. Štruktúrou vektorového
priestoru sa však algebra polynómov nevyčerpáva. Popri súčte a skalárnom
násobku možno na K[x] definovať aj súčin f(x) g(x) uvedených polynómov f(x), g(x)
predpisom
(fg)(x) = f(x) g(x) =
m+n
k=0
ckxk
,
kde ck =
k
i=0 aibk−i.
1.6.4. Priame súčiny vektorových priestorov. Nech V1 a V2 sú vektorové priestory
nad tým istým poľom K. Priamym súčinom (niekedy tiež vonkajším priamym súčtom)
priestorov V1, V2 nazývame množinu V1 × V2, t. j. karteziánsky súčin množín V1, V2,
s operáciami súčtu vektorov a skalárneho násobku definovanými po zložkách. Teda pre
(u1, u2), (v1, v2) ∈ V1 × V2, c ∈ K kladieme
(u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2),
c(u1, u2) = (cu1, cu2).
Zrejme (0, 0) je nulou tohto vektorového priestoru a −(u1, u2) = (−u1, −u2) je opačný
prvok k (u1, u2). Čitateľovi prenechávame, aby si overil, že priamy súčin V1 ×V2 s takto
definovanými operáciami naozaj tvorí vektorový priestor nad poľom K, a taktiež, aby si
premyslel, ako možno uvedenú konštrukciu zovšeobecniť na priamy súčin V1 × . . . × Vn
ľubovoľného konečného počtu vektorových priestorov V1, . . . , Vn nad K. Ak V = V1 =
. . . = Vn, tak píšeme V1 × . . . × Vn = V n
a tento vektorový priestor nazývame n-tou
priamou mocninou priestoru V . Pre V = K uvedená konštrukcia dáva nám už známy
vektorový priestor Kn
z 1.5.2.
1.6.5. Vektorové priestory funkcií. Nech V je vektorový priestor nad poľom K
a X je ľubovoľná množina. Pripomeňme, že V X
označuje množinu všetkých funkcií
f : X → V . Teraz ukážeme, ako možno z tejto množiny urobiť vektorový priestor nad
poľom K. Operácie súčtu a skalárneho násobku budeme definovať opäť po zložkách. To
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 11
znamená, že pre f, g ∈ V X
a c ∈ K budeme definovať funkcie f + g ∈ V X
a cf ∈ V X
tak, že pre každé x ∈ X položíme
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(cf)(x) = cf(x).
Znovu možno ľahko nahliadnuť, že V X
s takto definovanými operáciami tvorí vektorový
priestor nad poľom K – nazývame ho vektorovým priestorom všetkých funkcií z X do
V . Nulou vo V X
je funkcia 0: X → V identicky rovná prvku 0 ∈ V ; opačným prvkom
k funkcii f ∈ V X
je funkcia −f ∈ V X
daná predpisom x → −f(x) pre x ∈ X.
V špeciálnom prípade pre V = K takto dostaneme vektorový priestor KX
všetkých
funkcií z množiny X do poľa K. Ak K je pole všetkých reálnych prípadne komplexných
čísel a X je napr. nejaký uzavretý interval a, b reálnych čísel, tak dostávame vektorové
priestory funkcií R a,b
resp. C a,b
, ktoré sa hojne vyskytujú v matematickej analýze.
Cvičenia
1. Vypočítajte v obore komplexných čísel:
(a) (5 + 3i) + (7 − i), (b) (11 − 10i) − (8 − 5i),
(c) (−2 + 5i) · (3 + 2i), (d) (4 − i) · (2 + 9i),
(e) (12 + 5i)−1, (f) (7 + i)/(3 − 4i).
2. (a) Pre komplexné číslo x = a + bi, kde a, b ∈ R, nazývame a = Re x, b = Im x jeho reálnou resp.
imaginárnou časťou. Teda Re x aj Im x sú reálne čísla. Dokážte vzorce:
Re(x + y) = Re x + Re y, Re(xy) = Re x Re y − Im x Im y,
Im(x + y) = Im x + Im y, Im(xy) = Re x Im y + Im x Re y.
(b) Ak si v (reálnej) rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, môžeme každé komplexné číslo
x = a + bi reprezentovať bodom či vektorom so súradnicami (a, b). Ak prostredníctvom bijekcie
x → (Re x, Im x) stotožníme každé komplexné číslo s jeho obrazom a množinu C s rovinou (množinou
R2), hovoríme o tzv. Gaussovej rovine. Znázornite čísla zo zadaní aj výsledkov cvičenia 1
v Gaussovej rovine.
3. Absolútna hodnota komplexného čísla x = a + bi, kde a, b ∈ R, je definovaná ako |x| =
√
a2 + b2,
t. j. ako vzdialenosť bodu x od počiatku v Gaussovej rovine. Komplexne združené číslo k číslu x
je x = a − bi, t. j. číslo súmerne združené s x podľa reálnej osi.
(a) Nájdite absolútne hodnoty jednotlivých čísel zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1.
(b) Dokážte nasledujúce vzťahy:
Re x = Re x, Im x = − Im x;
x = x, xy−1
= (xy)/|y|2
, (y = 0),
x + y = x + y, xy = xy,
|x| = |x|, |x|2
= xx,
|xy| = |x| |y| , |x + y| ≤ |x| + |y|.
(c) V poslednom vzťahu nastane rovnosť práve vtedy, keď existuje nezáporné číslo c ∈ R také, že
x = cy alebo y = cx. Dokážte.
4. Každé komplexné číslo x možno vyjadriť v tzv. goniometrickom tvare x = r(cos α + i sin α), kde
r = |x| a α je uhol, ktorý (pre x = 0) zviera v Gaussovej rovine
”
vektor“
−→
01 s
”
vektorom“
−→
0x (pre
x = 0 vyhovuje ľubovoľné α ∈ R).
(a) Pre x = 0 vyjadrite cos α a sin α pomocou Re x, Im x a |x|. Dokážte, že α je určené jednoznačne
až na sčítanec 2kπ, kde k ∈ Z.
12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(b) Pre x = r(cos α+i sin α), y = s(cos β+i sin β) platí xy = rs(cos(α+β)+i sin(α+β)). Dokážte.
(c) Matematickou indukciou dokážte tzv. Moivreovu vetu: (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα,
pre každé n ∈ N. Rozšírte jej platnosť na všetky n ∈ Z.
(d) Vyjadrite všetky čísla zo zadaní aj výsledkov v cvičení 1 v goniometrickom tvare.
(e) Pomocou Moivreovej vety vypočítajte (
√
3 + i)11, (1 − i)−7.
(f) Na základe Moivreovej vety napíšte vzorec pre všetkých n riešení binomickej rovnice xn = c,
kde c ∈ C. (Návod: Riešte najprv prípad |c| = 1.)
(g) Nájdite všetky riešenia binomických rovníc x3 = (
√
3 − i)/2, y4 = 1 + i a z5 = −4 + 3i.
5. Podrobne dokážte vzťahy uvedené za dôkazom tvrdenia 1.2.1. Kde treba, použite matematickú
indukciu.
6. V každom z nasledujúcich prípadov rozhodnite, či množina A je podpoľom poľa K. Svoje rozhodnutie
zdôvodnite.
(a) K = Q, A = Z; (b) K = R, A = Q
√
2 = {a + b
√
2; a, b ∈ Q};
(c) K = R, A = −1, 1 ; (d) K = C, A = Z[ i ] = {a + bi; a, b ∈ Z};
(e) K = Z11, A = Z5; (f) K = C, A = Q[ω] = {a + bω + cω2; a, b, c ∈ Q},
kde ω = (−1 + i
√
3)/2.
7. Zostrojte multiplikatívne tabuľky sčítania a násobenia v Zn pre 2 ≤ n ≤ 6. Na ich základe
zdôvodnite, prečo Z4 a Z6 nie sú polia.
8. Vynechajme z definície poľa podmienku 0 = 1 a podmienku požadujúcu existenciu inverzného
prvku vzhľadom na násobenie ku každému nenulovému prvku a ∈ K. Množina K s význačnými
prvkami 0, 1 ∈ K, vybavená binárnymi operáciami súčtu a súčinu, spĺňajúcimi zvyšné podmienky
sa nazýva komutatívny okruh s jednotkou.1 Komutatívny okruh s jednotkou sa nazýva netriviálny,
ak v ňom predsa len platí 0 = 1. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia:
(a) Z s obvyklými operáciami súčtu a súčinu je netriviálny komutatívny okruh s jednotkou.
(b) Pre každé n ∈ N, n = 0, je Zn so sčítaním a násobením modulo n komutatívny okruh
s jednotkou. Tento okruh je netriviálny práve vtedy, keď n ≥ 2.
(c) Komutatívny okruh s jednotkou je netriviálny práve vtedy, keď obsahuje aspoň dva rôzne
prvky.
9. (a) V ľubovoľnom komutatívnom okruhu s jednotkou K zadefinujte výrazy tvaru na pre ľubovoľné
n ∈ Z, a ∈ K rovnako ako v poli. Taktiež zadefinujte výrazy tvaru an pre n ∈ N, a ∈ K. Dokážte
pre ne analogické tvrdenia, ako platia v poli. Čo je prekážkou definície an pre všetky n ∈ Z?
(b) Zadefinujte charakteristiku ľubovoľného komutatívneho okruhu s jednotkou rovnakým spôsobom
ako v prípade poľa.
(c) Dokážte, že pre komutatívny okruh s jednotkou K platí char K = 1 práve vtedy, keď K je
triviálny.
(d) Pre každé n ∈ N, n = 0, platí char Zn = n.
(e) Pre každé prvočíslo p zostrojte príklad komutatívneho okruhu s jednotkou, ktorý má charakteristiku
p, no nie je poľom. (Návod: Pozri cvičenie 12.)
10. (a) Matematickou indukciou dokážte platnosť binomickej vety v ľubovoľnom komutatívnom okruhu
s jednotkou K (teda aj v ľubovoľnom poli). To znamená, že pre všetky n ∈ N, a, b ∈ K platí
(a + b)n = an + n
1
an−1b + . . . + n
n−1
abn−1 + bn = n
k=0
n
k
an−kbk.
(b) Predpokladajme, že charakteristikou komutatívneho okruhu s jednotkou K je prvočíslo p.
Nech m ∈ Z je násobkom p. Dokážte, že pre každé c ∈ K platí mc = 0.
(c) Na základe (a) a (b) dokážte, že v komutatívnom okruhu s jednotkou prvočíselnej charakteristiky
p platí pre exponent n = p nasledujúci
”
populárny“ variant binomickej vety:
(a + b)p
= ap
+ bp
.
11. Doplňte vynechané časti dôkazu tvrdenia 1.5.1.
1Občas sa v literatúre takáto štruktúra nazýva len komutatívny okruh.
1. POLIA A VEKTOROVÉ PRIESTORY 13
12. V každom z príkladov 1.6.1–5 podrobne overte, že uvedená množina s príslušnými operáciami
tvorí vektorový priestor.
13. Rovnako ako v príklade 1.6.3 zadefinujte pre ľubovoľný komutatívny okruh s jednotkou K množinu
K[x] všetkých polynómov v premennej x s koeficientmi z K a na nej operácie súčtu a súčinu.
Dokážte, že K[x] s takto definovanými operáciami je opäť komutatívny okruh s jednotkou a platí
char K[x] = char K.
14. Na množine R+ všetkých kladných reálnych čísel definujme nové
”
sčítanie“ ⊕ ako násobenie,
t. j. x ⊕ y = xy. Ďalej definujme novú operáciu
”
skalárneho násobku“ : R × R+ → R+ ako
umocňovanie, t. j. predpisom a x = xa. Dokážte, že množina R+ s uvedenými operáciami tvorí
vektorový priestor nad poľom R. Čo je nulový vektor 0 ∈ R+? Ako vyzerá opačný vektor x
k vektoru x ∈ R+? Vyjadrite pomocou pôvodných operácií násobenia a umocňovania lineárnu
kombináciu (a1 x1) ⊕ . . . ⊕ (an xn), kde a1, . . . , an ∈ R, x1, . . . , xn ∈ R+.