7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY
V tejto kapitole zavedieme pojem inverznej matice k danej štvorcovej matici a dáme ho
do súvisu s pojmom inverzného lineárneho zobrazenia. Ďalej sa naučíme počítať inverzné
matice a matice prechodu z jednej súradnej bázy do druhej. Nakoniec preskúmame vplyv
zmeny bázy na maticu lineárneho zobrazenia. Začneme však s pojmom hodnosti matice,
ktorý nám umožní rozhodnúť o existencii inverznej matice a – ako uvidíme neskôr – bude
nám ešte veľakrát užitočný.
V celej kapitole K označuje pevné pole, m, n, p sú kladné celé čísla.
7.1. Hodnosť matice
V tomto paragrafe je potrebné rozlišovať medzi vektorovými priestormi riadkových resp.
stĺpcových vektorov. Nebudeme teda používať nešpecifikované označenie Kn
, ale priestor
riadkových vektorov budeme značiť K1×n
a priestor stĺpcových vektorov Kn×1
.
Pripomeňme, že ri(A) ∈ K1×n
označuje i-tý riadok a sj(A) ∈ Km×1
zase j-tý stĺpec
matice A = (aij)m×n. Túto maticu teda môžeme zapísať v blokových tvaroch
A =




r1(A)
r2(A)
...
rm(A)



 = (s1(A), s2(A), . . . , sn(A)).
Riadkovou hodnosťou hr(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového
priestoru K1×n
generovaného riadkami matice A. Podobne, stĺpcovou hodnosťou
hs(A) matice A nazývame dimenziu lineárneho podpriestoru vektorového priestoru
Km×1
generovaného stĺpcami matice A. Teda
hr(A) = dim[r1(A), r2(A), . . . , rm(A)],
hs(A) = dim[s1(A), s2(A), . . . , sn(A)]
Označme ϕ: Kn×1
→ Km×1
lineárne zobrazenie dané predpisom ϕ(x) = A · x pre
x ∈ Kn×1
. Pripomeňme, že hodnosťou lineárneho zobrazenia ϕ nazývame dimenziu
jeho obrazu, t. j. h(ϕ) = dim Im ϕ. V našom prípade zrejme platí h(ϕ) = hs(A), keďže
lineárny podpriestor Im ϕ ⊆ Km×1
je generovaný stĺpcami matice A.
7.1.1. Lema. Nech A ∈ Km×n
.
(a) Nech matica B vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO.
Potom [r1(A), r2(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), r2(B), . . . , rm(B)].
(b) Nech matica C vznikne z matice A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO.
Potom [s1(A), s2(A), . . . , sn(A)] = [s1(C), s2(C), . . . , sn(C)].
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Dôkaz. Zrejme pre ľubovoľné vektory u1, . . . , uk v každom vektorovom priestore V a
ľubovoľný skalár c ∈ K platí:
[u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , uk] = [u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , uk],
[u1, . . . , ui, . . . , uk] = [u1, . . . , cui, . . . , uk] (ak c = 0),
[u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , uk] = [u1, . . . , ui, . . . , cui + uj, . . . , uk].
7.1.2. Tvrdenie. Pre každú maticu A ∈ Km×n
platí hr(A) = hs(A).
Dôkaz. Upravme A pomocou ERO na redukovaný stupňovitý tvar B ∈ Km×n
a
označme k počet nenulových riadkov v matici B. Podľa práve dokázanej lemy platí
[r1(A), . . . , rm(A)] = [r1(B), . . . , rm(B)]. Preto tiež hr(A) = hr(B). Keďže nenulové
riadky matice B sú zrejme lineárne nezávislé (rozmyslite si prečo), hr(B) = k,
čo je vlastne počet stĺpcov matice B, v ktorých sa nachádza vedúci prvok nejakého
jej riadku. Označme 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ n indexy týchto stĺpcov. Podľa tvrdenia
4.5.3 vektory sj1 (A), . . . , sjk
(A) sú lineárne nezávislé a platí [s1(A), . . . , sn(A)] =
[sj1 (A), . . . , sjk
(A)]. Preto tiež hs(A) = k = hr(A).
Keďže riadková a stĺpcová hodnosť ľubovoľnej matice A splývajú, túto ich spoločnú
hodnotu budeme odteraz značiť jednoducho h(A) a nazývať hodnosťou matice
A. Zrejme pre A ∈ Km×n
je h(A) ≤ min(m, n).
Práve vykonané úvahy majú dva bezprostredné dôsledky.
7.1.3. Tvrdenie. Nech A ∈ Km×n
. Potom h(A) = h(AT
).
7.1.4. Tvrdenie. Nech u1, . . . , un ∈ Km×1
sú ľubovoľné vektory a A ∈ Km×n
je
matica taká, že sj(A) = uj pre 1 ≤ j ≤ n. Potom
(a) u1, . . . , un sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď h(A) = n;
(b) [u1, . . . , un] = Km×1
práve vtedy, keď h(A) = m.
Všimnite si, že prípad (a) môže nastať iba vtedy, keď n ≤ m; naopak, (b) môže nastať
jedine za predpokladu m ≤ n.
Sami si sformulujte a premyslite analogické tvrdenia pre riadkové vektory.
Ešte si dokážeme jeden odhad hodnosti súčinu matíc pomocou hodností jednotlivých
činiteľov.
7.1.5. Tvrdenie. Nech A ∈ Km×n
, B ∈ Kn×p
. Potom
h(A · B) ≤ min h(A), h(B) .
Dôkaz. Označme ϕ: Kn
→ Km
, ψ: Kp
→ Kn
lineárne zobrazenia dané predpismi
ϕ(x) = A · x pre x ∈ Kn
resp. ψ(y) = B · y pre y ∈ Kp
. Zrejme Im(ϕ ◦ ψ) ⊆ Im ϕ,
preto
h(A · B) = h(ϕ ◦ ψ) ≤ h(ϕ) = h(A).
S využitím toho druhý potrebný odhad už dostaneme priamym výpočtom
h(A · B) = h (A · B)T
= h BT
· AT
≤ h BT
= h(B).
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 3
7.2. Inverzné matice a inverzné lineárne zobrazenia
Nech A ∈ Kn×n
, t. j. A je štvorcová matica typu n × n. Inverznou maticou k matici A
rozumieme maticu B ∈ Kn×n
takú, že
A · B = In = B · A.
Zrejme k danej štvorcovej matici A existuje najviac jedna inverzná matica (rozmyslite
si prečo). Túto jednoznačne určenú maticu (ak existuje) budeme značiť A−1
.
Nasledujúca veta je bezprostredným dôsledkom súvisu medzi lineárnymi zobrazeniami
a ich maticami.
7.2.1. Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a dim U = dim V = n.
Nech ďalej α, β sú nejaké bázy v U, resp. vo V a A = (ϕ)α,β je matica lineárneho
zobrazenia ϕ: V → U vzhľadom na bázy β, α. Potom k matici A existuje inverzná
matica A−1
práve vtedy, keď k zobrazeniu ϕ existuje inverzné zobrazenie ϕ−1
. V tom
prípade A−1
je maticou lineárneho zobrazenia ϕ−1
: U → V vzhľadom na bázy α, β,
t. j.
A−1
= (ϕ)α,β
−1
= ϕ−1
β,α
.
Hovoríme, že štvorcová matica A ∈ Kn×n
je regulárna, ak k nej existuje inverzná
matica A−1
; v opačnom prípade hovoríme, že A je singulárna.
7.2.2. Veta. Matica A ∈ Kn×n
je regulárna práve vtedy, keď h(A) = n.
Dôkaz. Označme ϕ: Kn
→ Kn
lineárnu transformáciu danú predpisom ϕ(x) = A·x pre
x ∈ Kn
. K matici A existuje inverzná matica A−1
práve vtedy, keď k zobrazeniu ϕ existuje
inverzné zobrazenie ϕ−1
, t. j. práve vtedy, keď ϕ je bijekcia. Podľa dôsledku 6.2.4 to
nastane práve vtedy, keď ϕ je surjekcia, čiže Im ϕ = Kn
, čo je ekvivalentné s rovnosťou
dim Im ϕ = n. Na dokončenie dôkazu si stačí spomenúť, že h(A) = h(ϕ) = dim Im ϕ.
Z praktických dôvodov bude užitočné si uvedomiť, že na to, aby sme sa presvedčili,
že matica B ∈ Kn×n
je inverzná k matici A ∈ Kn×n
, stačí overiť len jednu (a to
hocktorú) z rovností A · B = In, B · A = In.
7.2.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľné A, B ∈ Kn×n
platí A · B = In práve vtedy, keď
B · A = In.
Dôkaz. Označme ϕ, ψ: Kn
→ Kn
lineárne transformácie dané pre x ∈ Kn
predpismi
ϕ(x) = A · x, resp. ψ(x) = B · x. Nech A · B = In. To nastane práve vtedy, keď
ϕ ◦ ψ = idKn . Z toho vyplýva, že ϕ je surjekcia a ψ je injekcia (pozri paragraf 0.3).
Keďže ϕ, ψ sú lineárne transformácie konečnorozmerného vektorového priestoru, podľa
dôsledku 6.2.4 to znamená, že ϕ aj ψ sú bijekcie, teda lineárne izomorfizmy, a ψ = ϕ−1
.
Potom však B = A−1
, preto tiež B · A = In. Obrátená implikácia vyplýva zo symetrie
tvrdenia.
S využitím posledného tvrdenia si ako cvičenie overte nasledujúce vzorce, z ktorých
už vyplýva zvyšok tvrdenia.
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
7.2.4. Tvrdenie. Nech A, B ∈ Kn×n
sú regulárne matice. Potom aj matice A−1
,
A · B a AT
sú regulárne a platí:
A−1 −1
= A, (A · B)−1
= B−1
· A−1
, AT −1
= A−1 T
.
7.3. Realizácia ERO a ESO pomocou násobenia matíc
Prakticky všetky úlohy lineárnej algebry, s ktorými sme sa doteraz stretli, sme riešili
tak, že sme danú situáciu reprezentovali nejakou vhodnou maticou, tú sme ďalej pomocou
ERO upravili na redukovaný stupňovitý tvar a tento výsledný tvar sme potom
interpretovali v závislosti na charaktere pôvodnej úlohy. Prezraďme už vopred, že zatiaľ
sme všetky úlohy, ktoré sa riešia úpravou matíc pomocou ERO prípadne ESO, zďaleka
nevyčerpali. Naopak, táto metóda nás bude v lineárnej algebre neustále sprevádzať.
Skôr než pristúpime k ďalšiemu využitiu tejto metódy, tentoraz pri výpočte inverznej
matice, však bude potrebné si uvedomiť, že ERO aj ESO možno realizovať pomocou
násobenia matíc.
7.3.1. Tvrdenie. Nech A ∈ Km×n
.
(a) Nech B ∈ Km×n
vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ERO. Označme
E maticu, ktorá vznikne z matice Im vykonaním tej istej ERO. Potom B = E · A.
(b) Nech C ∈ Km×n
vznikne z A vykonaním jednej (inak ľubovoľnej) ESO. Označme
F maticu, ktorá vznikne z matice In vykonaním tej istej ESO. Potom C = A · F .
Dôkaz. Možno overiť priamym výpočtom pre každý jednotlivý druh ERO resp. ESO.
Ako cvičenie si to skúste napr. pre maticu A typu 3 × 2, resp. 3 × 3.
Štvorcové matice E ∈ Kn×n
, ktoré vzniknú z jednotkovej matice In vykonaním
jedinej ERO alebo ESO, nazývame elementárne matice. Posledná veta teda hovorí, že
ľubovoľnú ERO (ESO) na matici A možno realizovať vynásobením matice A vhodnou
elementárnou maticou E zľava (sprava).
7.4. Výpočet inverznej matice
Návod na výpočet inverznej matice k danej štvorcovej matici A ∈ Kn×n
si možno
najľahšie zapamätať v tvare nasledujúcej schémy:
(A | In)
ERO
−−−→ (In | A−1
).
Tento postup má navyše tú výhodu, že sa nemusíme vopred starať, či inverzná matica
k matici A existuje alebo nie. Ak A−1
existuje, tak ju nakoniec vypočítame, ak neexistuje,
tak to odhalíme počas nášho výpočtu a ďalej v ňom nebudeme pokračovať. Celý
postup si teraz vysvetlíme trochu podrobnejšie.
Bloková matica (A | In) vznikne tak, že matice A a In jednoducho napíšeme vedľa
seba. Túto maticu teraz budeme upravovať pomocou ERO tak, aby sme v ľavej časti
z matice A dostali jednotkovú maticu In. Akonáhle sa nám to podarí, matica v pravej
časti výslednej blokovej matice je už hľadaná matica A−1
. Ak sa nám to nepodarí, t. j.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 5
matica A nie je riadkovo ekvivalentná s jednotkovou maticou (čo nastane práve vtedy,
keď h(A) < n, a spoznáme to podľa toho, že sa nám v ľavej časti objaví nejaký nulový
riadok), tak inverzná matica k matici A neexistuje.
Korektnosť uvedeného postupu vyplýva z nasledujúceho očividného tvrdenia a skutočnosti,
že ERO možno reprezentovať násobením elementárnymi maticami zľava. Taktiež
tu hrá úlohu fakt, že pre B ∈ Kn×n
platí B = A−1
práve vtedy, keď B · A = In,
uvedený v tvrdení 7.2.3.
7.4.1. Tvrdenie. Nech A ∈ Kn×n
a E1, E2, . . . , Ek ∈ Kn×n
sú elementárne matice
také, že Ek · . . . · E2 · E1 · A = In. Potom A−1
= Ek · . . . · E2 · E1.
Poznamenajme, že k rovnakému cieľu vedie tiež postup reprezentovaný schémou:
A
In
ESO
−−−→
In
A−1
.
Rozmyslite si prečo a sformulujte príslušné tvrdenie.
Z práve vykonaných úvah vyplývajú nasledujúce tri dôsledky. Posledný z nich je
čiastočným obrátením odhadu hodnosti súčinu matíc za predpokladu regularity aspoň
jedného z činiteľov.
7.4.2. Tvrdenie. Matica A ∈ Kn×n
je regulárna práve vtedy, keď ju možno rozložiť na
súčin A = E1 · . . . · Ek konečného počtu elementárnych matíc E1, . . . , Ek ∈ Kn×n
.
7.4.3. Tvrdenie. Pre ľubovoľné A, B ∈ Km×n
platí:
(a) A ∼ B, t. j. A je riadkovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna
matica P ∈ Km×m
taká, že A = P · B;
(b) A B, t. j. A je stĺpcovo ekvivalentná s B, práve vtedy, keď existuje regulárna
matica Q ∈ Kn×n
taká, že A = B · Q.
7.4.4. Tvrdenie. Nech A ∈ Km×n
, P ∈ Km×m
, Q ∈ Kn×n
, pričom P , Q sú regulárne
matice. Potom
h(A) = h(P · A) = h(A · Q) = h(P · A · Q).
Trochu všeobecnejšie možno uvedené úvahy použiť na násobenie ľubovoľnej matice
vhodného rozmeru maticou A−1
(ak existuje) zľava resp. sprava. Tieto operácie možno
uskutočniť pre regulárnu A ∈ Kn×n
a ľubovoľné B ∈ Kn×m
, C ∈ Km×n
podľa nasledujúcich
schém:
(A | B)
ERO
−−−→ (In | A−1
· B),
A
C
ESO
−−−→
In
C · A−1
.
Ešte si všimnime, že v špeciálnom prípade sme niečo podobné vlastne robili už dávno,
pri riešení sústav lineárnych rovníc úpravou na redukovaný stupňovitý tvar pomocou
ERO. Aj tento postup totiž možno vyjadriť pomocou schémy
(A | b)
ERO
−−−→ (B | c),
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
ktorá má pre regulárnu A ∈ Kn×n
tvar
(A | b)
ERO
−−−→ (In | A−1
· b).
Ako vedľajší produkt našich úvah tak dostávame nasledujúci výsledok o riešení sústav
n lineárnych rovníc o n neznámych.
7.4.5. Veta. Nech A ∈ Kn×n
, b ∈ Kn
. Ak A je regulárna, tak sústava A · x = b má
jediné riešenie x = A−1
· b.
7.5. Matica prechodu
Nech V je vektorový priestor nad poľom K a α = (u1, . . . , un), β = (v1, . . . , vn) sú
jeho dve bázy. Maticou prechodu z bázy β do bázy α nazývame maticu identického
zobrazenia idV : V → V vzhľadom na bázy β, α, ktorú značíme Pα,β. Teda
Pα,β = (idV )α,β.
Podľa definície matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na dané bázy (pozri paragraf
6.4), stĺpce matice prechodu Pα,β sú tvorené súradnicami vektorov bázy β vzhľadom
na bázu α, t. j. sj(Pα,β) = (vj)α pre 1 ≤ j ≤ n. Teda
Pα,β = (v1)α, (v2)α, . . . , (vn)α ,
a podľa vety 6.4.1 je táto matica jednoznačne určená podmienkou transformácie súrad-
níc
(x)α = Pα,β · (x)β
pre ľubovoľné x ∈ V .
Ak do zrejmej rovnosti x = α · (x)α (pozri paragraf 5.3) budeme za x postupne
dosadzovať vektory v1, . . . , vn bázy β, s využitím vzťahu pre stĺpce súčinu matíc z paragrafu
2.3 dostaneme
vj = α · (vj)α = α · sj(Pα,β) = sj(α · Pα,β)
pre každé 1 ≤ j ≤ n. Tým sme dostali ďalší dôležitý vzťah, ktorý jednoznačne charakterizuje
maticu prechodu Pα,β:
α · Pα,β = β.
(Podotýkame, že súčin α · Pα,β treba chápať v zmysle paragrafu 2.3.)
Zhrnutím vykonaných úvah dostávame tri ekvivalentné charakterizácie matice pre-
chodu.
7.5.1. Tvrdenie. Nech α, β sú bázy n-rozmerného vektorového priestoru V nad poľom
K. Potom pre ľubovoľnú maticu P ∈ Kn×n
nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i) P = (idV )α,β, t. j. P je matica prechodu z bázy β do bázy α;
(ii) (x)α = P · (x)β pre každé x ∈ V ;
(iii) α · P = β.
Z definície matice prechodu a vety 6.4.2 okamžite vyplývajú nasledujúce rovnosti.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 7
7.5.2. Tvrdenie. Nech α, β, γ sú bázy konečnorozmerného vektorového priestoru V
nad poľom K. Potom
Pα,α = In, Pβ,α = Pα,β
−1
, Pα,β · Pβ,γ = Pα,γ,
Z druhej z uvedených podmienok vidno, že matica prechodu Pα,β je vždy regulárna.
Taktiež naopak, každá regulárna matica P ∈ Kn×n
je maticou prechodu medzi
vhodnou dvojicou báz.
7.5.3. Tvrdenie. Nech V je n-rozmerný vektorový priestor nad poľom K, P = (pij) ∈
Kn×n
je ľubovoľná regulárna matica a α = (u1, . . . , un) je nejaká báza vo V . Položme
β = (v1, . . . , vn) = α · P , γ = (w1, . . . , wn) = α · P −1
,
t. j. pre 1 ≤ j ≤ n platí vj = p1ju1 + . . . + pnjun a wj = q1ju1 + . . . + qnjun, kde
P −1
= (qij)n×n. Potom P je maticou prechodu z bázy β do bázy α a taktiež z bázy α
do bázy γ, čiže
P = Pα,β = Pγ,α.
Špeciálne, P je maticou prechodu z bázy (s1(P ), . . . , sn(P )) do bázy ε = (e1, . . . , en)
v Kn
a taktiež z bázy ε do bázy (s1(P −1
), . . . , sn(P −1
)).
V prípade, keď V = Kn
je priestor stĺpcových vektorov, možno každú jeho bázu α
stotožniť s príslušnou regulárnou maticou, ktorej stĺpcami sú vektory danej bázy. Pri
takomto stotožnení je návod na výpočet matice prechodu obsiahnutý v nasledujúcom
tvrdení.
7.5.4. Tvrdenie. Nech α = (u1, . . . , un), β = (v1, . . . , vn) sú dve bázy stĺpcového
vektorového priestoru Kn
. Potom Pα,β = α−1
· β.
Dôkaz. Z podmienky α · Pα,β = β okamžite vyplýva požadovaná rovnosť.
To nám dáva návod na výpočet matice prechodu pre bázy α, β vektorového priestoru
Kn
podľa už známej schémy
(α | β)
ERO
−−−→ (In | Pα,β) = (ε | α−1
· β).
7.6. Matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne bázy
V tomto článku sa budeme zaoberať vplyvom zmeny báz na maticu lineárneho zobrazenia,
presnejšie, vzťahom medzi maticami daného lineárneho zobrazenia vzhľadom
na rôzne dvojice báz.
7.6.1. Veta. Nech ϕ: V1 → V2 je lineárne zobrazenie medzi konečnorozmernými vektorovými
priestormi nad poľom K, α1, β1 sú dve bázy priestoru V1 a α2, β2 sú dve
bázy priestoru V2. Potom
(ϕ)β2,β1 = Pβ2,α2 · (ϕ)α2,α1 · Pα1,β1 .
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Dôkaz. Označme A = (ϕ)α2,α1 , B = (ϕ)β2,β1 matice lineárneho zobrazenia ϕ vzhľadom
na bázy α1, α2, resp. bázy β1, β2. Pre ľubovoľné x ∈ V1 platí:
B · (x)β1 = (ϕx)β2 = Pβ2,α2 · (ϕx)α2
= Pβ2,α2 · A · (x)α1 = Pβ2,α2 · A · Pα1,β1 · (x)β1 .
Na základe vety 6.4.1 z toho okamžite vyplýva dokazovaná rovnosť
B = Pβ2,α2 · A · Pα1,β1 .
Poslednú transformačnú formulku si možno najľahšie zapamätať pomocou nasledujúceho
diagramu:
(V1, α1)
A
−−−−→ (V2, α2)
Pα1,β1



Pβ2,α2
(V1, β1) −−−−→
B
(V2, β2)
Nezabudnite, že zobrazenia skladáme
”
v obrátenom poradí“, a tomu musí zodpovedať
aj
”
obrátené poradie“ násobenia matíc!
7.6.2. Príklad. Nech ϕ: Kn
→ Km
je lineárne zobrazenie a α, β sú nejaké bázy
priestorov Km
resp. Kn
. Označme A = (ϕ)α,β, M = (ϕ)ε(m),ε(n) matice zobrazenia ϕ
vzhľadom na bázy β, α resp. vzhľadom na kanonické bázy ε(n)
, ε(m)
. Podľa poslednej
vety platí:
A = Pα,ε(m) · M · Pε(n),β,
M = Pε(m),α · A · Pβ,ε(n) .
Ak stotožníme každú bázu s regulárnou maticou, ktorej stĺpce sú vektory tejto bázy,
tak uvedené rovnosti nadobudnú tvar
A = α−1
· Im · M · I−1
n · β = α−1
· M · β,
M = I−1
m · α · A · β−1
· In = α · A · β−1
,
umožňujúci priamy výpočet jednej z matíc A, M na základe znalosti báz α, β a druhej
z nich.
Položme si teraz obrátenú otázku. Za akých podmienok sú matice A, B ∈ Km×n
maticami toho istého lineárneho zobrazenia ϕ: V → U vzhľadom na nejaké dve (možno
no nie nutne rôzne) dvojice báz konečnorozmerných vektorových priestorov U, V ? Odpoveď
na ňu dáva nasledujúca veta.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 9
7.6.3. Veta. Nech U je m-rozmerný a V je n-rozmerný vektorový priestor nad poľom
K. Potom pre ľubovoľné matice A, B ∈ Km×n
nasledujúce podmienky sú ekviva-
lentné:
(i) A, B sú maticami toho istého lineárneho zobrazenia ϕ: V → U vzhľadom na
nejaké dve (možno no nie nutne rôzne) dvojice báz priestorov U, V ;
(ii) existujú regulárne matice P ∈ Km×m
, Q ∈ Kn×n
také, že B = P · A · Q;
(iii) h(A) = h(B).
Dôkaz. Ekvivalencia (i) ⇔ (ii) je priamym dôsledkom vety 7.6.1 a tvrdenia 7.5.3. Implikácia
(ii) ⇒ (iii) vyplýva z tvrdenia 7.4.4.
Zostáva dokázať (iii) ⇒ (ii). Označme h = h(A) = h(B). Pomocou ERO upravíme
A aj B na redukovaný trojuholníkový tvar A = P1 · A, resp. B = P2 · B, kde P1, P2
sú regulárne matice. Zrejme A , B majú rovnaký počet nenulových riadkov rovný h.
A aj B možno ďalej pomocou ESO upraviť na blokový tvar
A = A · Q1 =
Ih 0h,n−h
0m−h,h 0m−h,n−h
= B · Q2 = B ,
kde Q1, Q2 sú regulárne matice. Stačí pomocou vedúcich prvkov jednotlivých riadkov
vynulovať prípadné ďalšie nenulové prvky týchto riadkov a, ak treba, vymeniť poradie
niektorých stĺpcov. Potom P1 · A · Q1 = P2 · B · Q2, teda B = P −1
2 · P1 · A · Q1 · Q−1
2
a matice P = P −1
2 · P1, Q = Q1 · Q−1
2 sú zrejme regulárne.
Na základe dôkazu tejto vety okamžite dostávame záverečný výsledok.
7.6.4. Veta. Pre každé lineárne zobrazenie ϕ: V → U medzi konečnorozmernými vektorovými
priestormi nad poľom K možno zvoliť bázu β priestoru V a bázu α priestoru
U tak, že ϕ má vzhľadom na bázy β, α maticu v blokovom tvare
(ϕ)α,β =
Ih 0h,n−h
0m−h,h 0m−h,n−h
,
kde n = dim V , m = dim U a h = h(ϕ).
Skúste si túto vetu dokázať priamo a bližšie špecifikovať bázy β a α. (Návod: Spomeňte
si na dôkaz vety 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu.)
Cvičenia
1. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K a ϕ: V → U je lineárne zobrazenie. Potom pre
ľubovoľné vektory v1, . . . , vn ∈ V platí ϕ[v1, . . . , vn] = [ϕ(v1), . . . , ϕ(vn)]. Dokážte. Odvoďte
z toho, že ak v1, . . . , vn generujú V , tak ϕ(v1), . . . , ϕ(vn) generujú Im ϕ. Špeciálne, stĺpce matice
A ∈ Km×n generujú lineárny podpriestor Im ϕ ⊆ Km, kde ϕ: Kn → Km je dané predpisom
ϕ(x) = A · x.
2. Určte hodnosť matice A nad poľom K:
(a) K = R, A = 2 2 −1
3 0 1
; (b) K = C, A = 1+i 1+3i 2
3+i 5+5i 4−2i
;
(c) K = Z7, A =
1 1 2
3 5 4
1 3 0
; (d) K = Z17, A =
1 1 2
3 5 4
1 3 0
.
3. (a) Dokážte vzorce z tvrdenia 7.2.4.
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(b) Dokážte, že pre ľubovoľnú maticu A ∈ Kn×n a k, l ∈ N platí Ak · Al = Ak+l a (Ak)l = Akl.
(c) Pre regulárnu maticu A ∈ Kn×n rozšírte definíciu jej mocniny Ak na ľubovovoľný celočíselný
exponent k a dokážte rovnosti Ak · Al = Ak+l, (Ak)l = Akl pre všetky k, l ∈ Z (porovnaj
s cvičením 2.13).
(d) Za akých okolností platí pre matice A, B ∈ Kn×n rovnosť (A· B)k = Ak · Bk pre ľubovoľné
k ∈ N?
(e) Za akých okolností platí pre regulárne matice A, B ∈ Kn×n rovnosť (A · B)k = Bk · Ak pre
ľubovoľné k ∈ Z?
(f) Nájdite príklad regulárnych matíc A, B ∈ R2×2 takých, že všetky štyri matice (A · B)−2,
(B · A)−2, A−2 · B−2, B−2 · A−2 sú rôzne. Dá sa táto úloha riešiť aj bez počítania inverzných
matíc?
4. Nech P ∈ Kn×n je regulárna matica. Potom pre ľubovoľné matice A ∈ Km×n, B ∈ Kn×q platí
h(A · P) = h(A), h(P · B) = h(B). Dokážte.
5. Zistite, či uvedená matica A nad poľom K je regulárna; v tom prípade vypočítajte k nej inverznú
maticu A−1:
(a) K = Q, A =
3 2 1
4 2 1
1 0 1
; (b) K = R, A =
1
√
2
√
6
0 1
√
3
0 0 1
;
(c) K = C, A = 1+2i 1−i
i−2 1
; (d) K = C, A = 1+2i 1−i
i−2 1+i
;
(e) K = Z2, A =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
; (f) K = Z3, A =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
.
6. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A−1 · B (ak A je regulárna):
(a) A =
−2 1
3 −2
, B =
2 1 −1
3 2 −5
; (b) A =
2 1 3
1 −2 0
3 0 3
, B =
2 1
2 2
−2 0
.
Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu A · C – mali by ste dostať B.
7. Pre matice A, B nad poľom R vypočítajte maticu C = A · B−1 (ak B je regulárna):
(a) A =
−2 1 1
−3 0 5
0 2 3
, B =
0 1 1
0 2 5
1 0 0
; (b) A =
2 5
1 0
7 4
, B = 2 1
2 2
.
Ako skúšku správnosti vypočítajte maticu C · B – mali by ste dostať A.
8. Ná základe skúseností nadobudnutých v cvičeniach 5, 6 a 7 dokážte tvrdenie 7.3.1.
9. Nájdite inverzné matice k maticiam Rα, Sα z príkladov 6.4.3, 6.4.4. Vysvetlite geometrický
význam získaných výsledkov.
10. Bázy α, β vektorového priestoru R3 sú tvorené stĺpcami matíc
1 1 1
0 1 1
0 0 1
resp.
1 0 0
−1 1 0
0 −1 1
.
(a) Nájdite matice prechodu Pε,α , Pβ,ε, Pα,β a Pβ,α .
(b) Vektor x ∈ R3 má vzhľadom na bázu β súradnice (2, 7, 1)T . Nájdite vektor x ako aj jeho
súradnice vzhľadom na bázu α.
11. Báza α vektorového priestoru R3 je tvorená stĺpcami matice
1 0 1
2 1 3
0 2 1
. Nájdite bázy β, γ priestoru
R3, ak poznáte matice prechodu Pα,β =
1 2 1
2 1 2
1 0 1
a Pγ,α =
0 1 0
2 0 1
1 1 1
. Vypočítajte matice
prechodu Pβ,γ a Pγ,β .
12. Lineárne zobrazenie ϕ: R3 → R4 je dané predpisom ϕ(x, y, z)T = (x + y, x − y, 3x + y + z, z)T .
(a) Nájdite maticu zobrazenia ϕ vzhľadom na bázy β priestoru R3 a α priestoru R4 tvorené
stĺpcami matíc
1 1 1
1 2 3
1 4 9
resp.
0 1 0 1
1 −1 1 −1
0 1 2 3
0 0 0 1
.
(b) Nech x = (1, −4, 3)T ∈ R3. Nájdite súradnice vektora ϕ(x) ∈ R4 vzhľadom na bázu α.
(c) Vektor y ∈ R3 má vzhľadom na bázu β súradnice (1, 1, 1)T . Nájdite vektor ϕ(y) ∈ R4.
(d) Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi – vysvetlite ako.
7. INVERZNÉ MATICE A ZMENA BÁZY 11
(e) Určte hodnosť h zobrazenia ψ a nájdite nejaké bázy priestorov R3, R4, vzhľadom na ktoré má
matica ϕ blokový tvar Ih 0
0 0
. Napíšte explicitne túto maticu.
13. Lineárne zobrazenie ψ : R4 → R3 má vzhľadom na bázy β priestoru R4 a α priestoru R3 tvorené
stĺpcami matíc
1 1 1 1
1 0 1 0
1 −1 1 1
0 0 1 0
resp.
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
maticu A =
0 5 0 7
1 1 2 2
5 2 9 0
.
(a) Nájdite maticu zobrazenia ψ vzhľadom na kanonické bázy ε(4), ε(3).
(b) Nech u = (2, 1, 0, −1)T ∈ R4. Nájdite súradnice vektora ψ(u) ∈ R3 vzhľadom na bázu α.
(c) Vektor v ∈ R4 má vzhľadom na bázu β súradnice (1, −1, 1, −1)T . Nájdite vektor ψ(v) ∈ R3.
(d) Každú z úloh (b), (c) možno riešiť dvoma spôsobmi – vysvetlite ako.
(e) Určte hodnosť h zobrazenia ψ a nájdite nejaké bázy priestorov R4, R3, vzhľadom na ktoré má
matica ψ blokový tvar Ih 0
0 0
. Napíšte explicitne túto maticu.
14. Dokážte, že ζ = ζ(n) = (1, 1 + x, (1 + x)2, . . . , (1 + x)n) je bázou vektorového priestoru R(n)[x] a
nájdite matice prechodu Pξ,ζ , Pζ,ξ, kde ξ = ξ(n) = (1, x, x2, . . . , xn) je kanonická báza priestoru
R(n)[x].