8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA
Keď sme v paragrafe 4.1, odvolávajúc sa na geometrický názor, ilustrovali pojem lineárneho
podpriestoru, ako príklad sme uviedli, že netriválne vlastné lineárne podpriestory
”
nášho“ trojrozmerného vektorového priestoru R3
sú práve priamky a roviny prechádzajúce
počiatkom 0. Kritickejší čitateľ mohol vtedy oprávnene zapochybovať o adekvátnosti
a prirodzenosti tohto pojmu, či aspoň pocítiť potrebu zaviesť taký pojem podpriestoru,
ktorý by napr. v R3
zahŕňal všetky priamky a roviny, nielen tie prechádzajúce
počiatkom. Podobne sme v paragrafe 6.1 hneď po definícii pojmu lineárneho zobrazenia
boli nútení učiniť poznámku o jeho odlišnosti od pojmu lineárnej funkcie používaného
v matematickej analýze. Vzápätí sme prijali záväzok, že sa s týmto nedostatkom v príhodný
čas vyrovnáme.
Ten čas práve nastal. Spomínané medzery zaplníme definíciami pojmu afinného podpriestoru
alebo tiež lineárnej variety a pojmu afinného zobrazenia. Afinita znamená
príbuznosť, spriaznenosť. Čitateľ sám uvidí, že objekty označené prívlastkom
”
afinný“
sú úzko spriaznené so zodpovedajúcimi objektmi nesúcimi prívlastok
”
lineárny“. Ťažiskom
kapitoly bude klasifikácia vzájomnej polohy afinných podpriestorov vo vektorovom
priestore.
8.1. Body a vektory
Na vektory, čiže na prvky vektorových priestorov – aspoň pokiaľ ide o konečnorozmerné
vektorové priestory nad R, – sa dívame ako na orientované úsečky s počiatkom
v bode 0. Už táto veta prezrádza, že pôvodne sa na prvky takéhoto priestoru dívame
ako na body a celý priestor chápeme ako homogénny, t. j. všetky body považujeme za
rovnocenné a nevyčleňujeme v ňom nijaký privilegovaný bod za počiatok. Až na základe
tohto pôvodného porozumenia dokážeme po vyčlenení nejakého počiatku O (ktorým sa
môže stať ľubovoľný bod homogénneho priestoru) nahradiť bod A príslušného priestoru
orientovanou úsečkou
−→
OA a následne abstrahovať od jej polohy, to znamená uvidieť
za ňou vektor u =
−→
OA, daný len jej veľkosťou, smerom a orientáciou, ktorý možno
umiestniť do ľubovoľného bodu priestoru – nielen do počiatku.
Afinným priestorom nad poľom K rozumieme vektorový priestor V nad týmto poľom,
pri pohľade na ktorý sme sa vrátili k onomu pôvodnému porozumeniu jeho štruktúre a
prvkom. Tie sa z vektorov stali opäť bodmi a počiatok (t. j. nulový vektor) stratil svoje
výsadné postavenie – stal sa z neho bod ako každý iný.
Formálnu definíciu afinného priestoru nad poľom K tu uvádzať nebudeme. Sme totiž
toho názoru, že matematická formalizácia rozdielu medzi oboma spomínanými pohľadmi
na prvky vektorového priestoru by v tejto chvíli vniesla do veci viac zmätku než
svetla. Celkom postačí, keď úlohu prepínača medzi oboma pohľadmi zveríme dvojiciam
slov
”
bod“ –
”
vektor“ a
”
afinný“ –
”
lineárny“, prípadne
”
afinný“ –
”
vektorový“. Na druhej
1
2 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
strane však pred nami vyvstáva potreba formálnej definície podmnožín vektorového
priestoru, ktoré sú
”
vernými kópiami“ lineárnych podpriestorov – nemusia však prechádzať
počiatkom, ale možu byť umiestnené
”
kdekoľvek“.
8.2. Afinné podpriestory
V celom tomto a nasledujúcich dvoch paragrafoch V označuje nejaký pevný, no inak
ľubovoľný, vektorový priestor nad poľom K a m, n sú prirodzené čísla.
Kvôli pohodliu čitateľa budeme písmenami p, q, r (možno s indexmi) značiť výlučne
body, u, v, w označujú zasa výlučne vektory, kým x, y, z môžu podľa potreby označovať
body i vektory. Taktiež sa dohodneme, že rozdiel dvoch bodov budeme chápať ako
vektor, kým súčet bodu a vektora ako bod.
Nech p, q ∈ V , p = q. Priamkou prechádzajúcou alebo tiež určenou bodmi p, q
rozumieme množinu (p, q), ktorú dostaneme tak, že do bodu p umiestnime všetky
možné skalárne násobky vektora q − p. Typický bod priamky (p, q) má teda tvar
x = p + t(q − p) = (1 − t)p + tq,
kde t ∈ K, čiže
(p, q) = {sp + tq; s, t ∈ K & s + t = 1} ⊆ V.
Tento výraz má, samozrejme, zmysel aj pre p = q, vtedy však nejde o priamku ale
o jednobodovú množinu (p, p) = {p}. Z uvedeného tvaru ihneď vidíme, že
(p, q) = (q, p)
pre ľubovoľné p, q ∈ V .
Lineárnu kombináciu, t. j. výraz tvaru
t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn =
n
i=0
tipi,
kde n ∈ N, p0, . . . , pn ∈ V , t0, t1, . . . , tn ∈ K, nazývame afinnou kombináciou bodov
p0, p1, . . . , pn, ak platí t0 + t1 + . . . + tn = 1. Výsledok afinnej kombinácie bodov budeme
chápať ako bod; iné lineárne kombinácie bodov ako afinné sa v našich úvahách
nevyskytnú. (Ešte si všimnite, že každá afinná kombinácia je neprázdna, t. j. obsahuje
aspoň jeden člen.)
Neprázdnu podmnožinu M vektorového priestoru V nazývame jeho afinným podpriestorom,
prípadne lineárnou varietou vo V , ak pre všetky body p, q, r ∈ M a každý
skalár s ∈ K platí
sp + (1 − s)q ∈ M a p − q + r ∈ M.
Inak povedané, ∅ = M ⊆ V je afinný podpriestor, ak M je uzavretá vzhľadom na afinné
kombinácie uvedených dvoch typov. Prvá podmienka znamená, že pre všetky p, q ∈ M
platí (p, q) ⊆ M, t. j. M s každou dvojicou bodov obsahuje celú priamku nimi určenú.
Druhú podmienku dodávame len kvôli poliam charakteristiky 2; ak char K = 2, tak
už vyplýva z prvej, takže je vlastne zbytočná. Na druhej strane, napr. vo vektorovom
priestore V nad poľom Z2 pre všetky body p, q ∈ V platí (p, q) = {p, q}, teda len prvej
podmienke by vyhovovala každá podmnožina M ⊆ V . Podrobnejšie o tom pojednáva
nasledujúce tvrdenie, ktoré je očividne analógiou tvrdenia 4.1.2.
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 3
8.2.1. Tvrdenie. Pre ľubovoľnú neprázdnu množinu M ⊆ V nasledujúce podmienky
sú ekvivalentné:
(i) M je afinný podpriestor vo V , t. j. pre ľubovoľné p, q, r ∈ M, s ∈ K platí
sp + (1 − s)q ∈ M a p − q + r ∈ M;
(ii) M je uzavretá vzhľadom na ľubovoľné afinné kombinácie trojíc bodov, t. j. pre
všetky p, q, r ∈ M, s, t ∈ K platí sp + tq + (1 − s − t)r ∈ M;
(iii) M je uzavretá vzhľadom na akékoľvek afinné kombinácie, t. j. pre všetky n ∈ N,
body p0, p1, . . . , pn ∈ M a skaláry t0, t1, . . . , tn ∈ K také, že t0 + t1 + . . . + tn = 1,
platí t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn ∈ M;
Ak char K = 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou
(i−
) pre ľubovoľné p, q ∈ M, s ∈ K platí sp + (1 − s)q ∈ M.
Dôkaz. Implikácie (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) sú zrejmé aj bez predpokladu char K = 2. Dokážeme
implikáciu (i) ⇒ (iii); pri dôkaze vyjde navyše najavo, že pre char K = 2 stačí na
odvodenie záveru (iii) slabšia podmienka (i−
) miesto (i).
Predpokladajme (i) (teda tým skôr (i−
)) a pripusťme, že podmienka (iii) neplatí.
Označme n najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré to nastane. Potom n ≥ 2 a pre všetky
k < n podmienka (iii) platí, čiže M je uzavretá na afinné kombinácie ≤ n bodov. Nech
p0, . . . , pn ∈ M, t0, . . . , tn ∈ K sú také, že t0 + . . . + tn = 1 a t0p0 + . . . + tnpn /∈ M.
Treba zvážiť dve možnosti.
(a) Ak ti = 1 pre aspoň jedno i ≤ n, tak bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať,
že t0 = 1. Označme
q =
t1
1 − t0
p1 + . . . +
tn
1 − t0
pn.
Keďže
t1
1 − t0
+ . . . +
tn
1 − t0
=
t1 + . . . + tn
1 − t0
= 1,
q ∈ M, lebo q je afinnou kombináciou n bodov z M. Potom
t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn = t0p0 + (1 − t0)q ∈ M
vyplýva už z podmienky (i−
). To je však spor.
(b) Ak ti = 1 pre všetky i ≤ n, tak ide o afinnú kombináciu p0 +p1 +. . .+pn−1 +pn
a t1 +. . .+tn−1 = −1. Potom q = −p1 −. . .−pn−1 je afinnou kombináciou n−1 bodov
z M, teda q ∈ M. Podľa druhej z podmienok v (i) máme
p0 + p1 + . . . + pn−1 + pn = p0 − q + pn ∈ M,
čo je opäť spor.
Ak char K = 2, možno sa zaobísť bez tejto podmienky. Keďže 1
2 + 1
2 = 1, už z (i−
)
vyplýva 1
2 p0 + 1
2 pn ∈ M. Nakoľko 2 + (−1) = 1, opäť len z (i−
) dostávame
p0 + p1 + . . . + pn−1 + pn = 2
1
2
p0 +
1
2
pn − q ∈ M.
4 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Poznámka. Ak char K = ∞, tak možnosť (b) zrejme nemôže nastať, teda v uvedenom
dôkaze stačí uvažovať len možnosť (a). Zároveň vidno, že v druhej časti bodu (b) je
podstatný predpoklad char K = 2. Bez neho by sme totiž nevedeli zaručiť existenciu
prvku 1/2 = 2−1
∈ K inverzného k prvku 2 = 1 + 1 ∈ K.
Nasledujúca veta ukazuje, že afinné podpriestory skutočne nie sú ničím iným, než
lineárnymi podpriestormi posunutými do ľubovoľného bodu príslušného vektorového
priestoru.
8.2.2. Veta. Nech M ⊆ V . Potom M je afinný podpriestor vo V práve vtedy, keď
existuje bod p ∈ V a lineárny podpriestor S ⊆ V taký, že
M = p + S = {p + u; u ∈ S}.
V tom prípade pre všetky q, r ∈ M, u ∈ S platí
q − r ∈ S, q + u ∈ M, M = q + S,
S = {x − q; x ∈ M} = {x − y; x, y ∈ M}.
Dôkaz. Nech M ⊆ V je afinný podpriestor a p ∈ M je jeho ľubovoľný bod. Položme
S = {x − p; x ∈ M}.
Potom zrejme M = p + S. Stačí teda dokázať, že S ⊆ V je lineárny podpriestor. Keďže
p ∈ M, platí 0 = p − p ∈ S. Ukážeme uzavretosť S na lineárne kombinácie. Nech
u, v ∈ S, a, b ∈ K. Potom u = x − p, v = y − p pre nejaké x, y ∈ M. Jednoduchý
výpočet dáva
au + bv = a(x − p) + b(y − p) = ax + by + (1 − a − b)p − p.
Prvé tri sčítance tvoria afinnú kombináciu bodov z M, teda ax+by +(1−a−b)p ∈ M;
preto tiež au + bv ∈ S
Nech naopak M = p + S pre nejaký bod p ∈ V a lineárny podpriestor S ⊆ V . Podľa
tvrdenia 8.2.1 stačí ukázať uzavretosť M na afinné kombinácie trojíc. Nech x, y, z ∈ M,
s, t ∈ K. Potom x = p + u, y = p + v, z = p + w pre nejaké u, v, w ∈ S. Počítajme
sx + ty + (1 − s − t)z = s(p + u) + t(p + v) + (1 − s − t)(p + w)
= p + su + tv + (1 − s − t)w.
Keďže tu + sv + (1 − s − t)w ∈ S, dostávame sx + ty + (1 − s − t)z ∈ M.
Ďalšie tri podmienky možno teraz overiť priamymi výpočtami, ktoré prenechávame
čitateľovi; štvrtá z nich okamžite vyplýva.
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 5
8.2.3. Dôsledok. Každý lineárny podpriestor S vektorového priestoru V je jeho afinným
podpriestorom. Afinný podpriestor M vektorového priestoru V je jeho lineárnym
podpriestorom práve vtedy, keď 0 ∈ M.
Zameraním alebo tiež smerovým podpriestorom afinného podpriestoru M ⊆ V nazývame
lineárny podpriestor
Dir M = {x − y; x, y ∈ M} ⊆ V.
(Označenie pochádza z anglického slova direction). Podľa vety 8.2.2 je Dir M jediný
lineárny podpriestor vo V taký, že M = p + Dir M pre nejaké (pre každé) p ∈ M.
Taktiež pre každé p ∈ M platí
Dir M = {x − p; x ∈ M}.
Pre každú usporiadanú (n + 1)-ticu bodov (p0, . . . , pn), vektorového priestoru V ,
prípadne pre jeho konečnú neprázdnu podmnožinu {p0, . . . , pn}, označme
(p0, . . . , pn) = {t0p0 + . . . + tnpn; t0, . . . , tn ∈ K & t0 + . . . + tn = 1}
množinu všetkých afinných kombinácií bodov p0, . . . , pn. Z práve dokázaného tvrdenia
vyplýva, že (p0, . . . , pn) je najmenší afinný podpriestor vo V , ktorý obsahuje všetky
body p0, . . . , pn; nazývame ho afinný obal bodov p0, . . . , pn alebo tiež afinný podpriestor
generovaný bodmi p0, . . . , pn.
Vo všeobecnosti možno pre ľubovoľnú (i nekonečnú) neprázdnu množinu X ⊆ V definovať
jej afinný obal (X), nazývaný tiež afinný podpriestor generovaný množinou X,
ako množinu všetkých (konečných) afinných kombinácií bodov z X. Opäť platí, že (X)
je najmenší afinný podpriestor vo V , pre ktorý X ⊆ (X).
8.2.4. Tvrdenie. Nech p0, p1, . . . , pn ∈ V . Potom
(p0, p1, . . . , pn) = p0 + [p1 − p0, . . . , pn − p0],
Dir (p0, p1, . . . , pn) = [p1 − p0, . . . , pn − p0].
Dôkaz prenechávame ako cvičenie čitateľovi.
Dimenziou alebo tiež rozmerom afinného podpriestoru M ⊆ V , označenie dim M,
nazývame dimenziu jeho zamerania, teda
dim M = dim Dir M.
Body p0, p1, . . . , pn vektorového priestoru V nazývame afinne nezávislé, ak vektory
p1 − p0, . . . , pn − p0 sú lineárne nezávislé. Z nasledujúceho očividného tvrdenia okrem
iného vyplýva, že body p0, p1, . . . , pn ∈ V sú afinne nezávislé práve vtedy, keď pre
nejaké (pre každé) 0 ≤ k ≤ n vektory pj − pk, kde 0 ≤ j ≤ n a j = k, sú lineárne
nezávislé. Inak povedané, platí
6 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
8.2.5. Tvrdenie. Body p0, p1, . . . , pn ∈ V sú afinne nezávislé práve vtedy, keď
dim (p0, p1, . . . , pn) = n
Zrejme 0-rozmerné afinné podpriestrory vo V sú práve všetky body p ∈ V (presnejšie,
všetky jednobodové podmnožiny vo V ). Tieto afinné podpriestory nazývame
tiež triviálne. Jednorozmené afinné podpriestory vo V nazývame priamkami. Každá
priamka má naozaj tvar (p, q) pre nejaké afinne nezávislé (t. j. rôzne) body p, q ∈ V .
Dvojrozmerné afinné podpriestory vo V nazývame rovinami. Taktiež samotný priestor
V je svojim nevlastným afinným podpriestorom. Ak dim V = n, tak (n − 1)-rozmerné
afinné podpriestory vo V nazývame nadrovinami.
Kým pojmy
”
bod“,
”
priamka“ a
”
rovina“ sú absolútne v tom zmysle, že závisia len na
dimenzii príslušného afinného podpriestoru, pojem nadroviny je relatívny, lebo závisí na
vzťahu dimenzií afinného podpriestoru a celého priestoru. Napríklad ak dim V = 1 (t. j.
ak samotné V je priamka), tak každý bod vo V je zároveň nadrovinou. Nadrovinami
v dvojrozmernom priestore (t. j. v rovine) sú zasa všetky priamky. V trojrozmernom
priestore V pojmy roviny a nadroviny splývajú. V štvorrozmernom priestore sú zasa
nadrovinami trojrozmerné podpriestory; atď. Ešte poznamenajme, že v 0-rozmernom
(t. j. jednobodovom) priestore V niet priamok, rovín ani nadrovín.
8.3. Prienik a spojenie afinných podpriestorov
V tomto paragrafe mierne zovšeobecníme niektoré výsledky paragrafov 4.3 a 5.4. o prieniku
a súčte lineárnych podpriestorov do podoby použiteľnej pre afinné podpriestory.
8.3.1. Tvrdenie. Nech M, N ⊆ V sú afinné podpriestory. Potom M ∩ N je afinný
podpriestor vo V práve vtedy, keď M ∩ N = ∅. V tom prípade
Dir(M ∩ N) = Dir M ∩ Dir N.
Dôkaz. Ak M ∩ N = ∅, tak to samozrejme nie je afinný podpriestor. Nech M ∩ N = ∅.
Označme S = Dir M, T = Dir N príslušné smerové podpriestory. Zvoľme ľubovoľný bod
p ∈ M ∩ N. Stačí dokázať rovnosť
M ∩ N = p + (S ∩ T).
Zvoľme q ∈ M ∩ N. K nemu existujú u ∈ S, v ∈ T také, že q = p + u = p + v. Potom
u = v ∈ S ∩ T a q ∈ p + (S ∩ T). Teda M ∩ N ⊆ p + (S ∩ T). Obrátená inklúzia je
triviálna.
Neprázdnosť prieniku M ∩ N možno zaručiť za predpokladu, že lineárny priestor
Dir M + Dir N je
”
dosť veľký“.
8.3.2. Tvrdenie. Nech M, N ⊆ V sú afinné podpriestory. Potom
Dir M + Dir N = V ⇒ M ∩ N = ∅.
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 7
Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Zvoľme ľubovoľné p ∈ M, q ∈ N. Keďže
S + T = V , existujú vektory u ∈ S, v ∈ T také, že q − p = u + v. Potom
q = p + (q − p) = p + u + v
V dôsledku toho p + u = q − v ∈ M ∩ N, lebo p + u ∈ M a q − v ∈ N.
Spojením afinných podpriestorov M, N ⊆ V , označenie M N, nazývame afinný
obal ich zjednotenia. Teda
M N = (M ∪ N).
Zrejme M N je najmenší afinný podpriestor vo V , ktorý obsahuje M aj N, a pre
lineárne podpriestory S, T ⊆ V platí S T = S + T.
8.3.3. Tvrdenie. Nech M, N ⊆ V sú afinné podpriestory.
(a) Ak M ∩ N = ∅, tak
Dir(M N) = Dir M + Dir N,
M N = M + Dir N = N + Dir M.
(b) Ak M ∩ N = ∅, tak pre ľubovoľné p ∈ M, q ∈ N platí
Dir(M N) = [q − p] + Dir M + Dir N,
M N = M + ([q − p] + Dir N) = N + ([q − p] + Dir M).
Poznámka. Stojí za zmienku, že obe rovnosti z (b) sú splnené aj za predpokladu
M ∩ N = ∅. V tom prípade však pre ľubovoľné r ∈ M ∩ N platí
q − p = (r − p) + (q − r) ∈ Dir M + Dir N,
takže vektor q − p možno v príslušných vzťahoch vynechať. Rovnako tomu bude i
v príklade 8.3.5.
Dôkaz. Stačí dokázať len (b), lebo (a) z neho vyplýva vo svetle našej poznámky. Označme
S = Dir M, T = Dir N a zvoľme p ∈ M, q ∈ N. Budeme dokazovať iba rovnosť
M N = p + [q − p] + S + T;
zvyšok je už jej bezprostredným dôsledkom.
Každý bod r ∈ M N je afinnou kombináciou
r =
m
i=0
sipi +
n
j=0
tjqj
kde p0, . . . , pm ∈ M, q0, . . . , qn ∈ M, s0, . . . , sm, t0, . . . , tn ∈ K a i si + j tj = 1.
Potom pi−p ∈ S, qj −q ∈ T pre i ≤ m, j ≤ n. Označme s = s0+. . .+sm, t = t0+. . .+tn
a počítajme
r = (sp + tq) +
m
i=0
si(pi − p) +
n
j=0
tj(qj − q)
= p + t(q − p) +
m
i=0
si(pi − p) +
n
j=0
tj(qj − q) ∈ p + [q − p] + S + T,
8 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
keďže s = 1 − t. Teda M N ⊆ p + [q − p] + S + T. Obrátená inklúzia je triviálna.
8.3.4. Dôsledok. Nech M, N ⊆ V sú konečnorozmerné afinné podpriestory. Potom
dim(M N) =
dim M + dim N − dim(M ∩ N), ak M ∩ N = ∅,
dim M + dim N − dim(Dir M ∩ Dir N) + 1, ak M ∩ N = ∅.
8.3.5. Príklad. Vo vektorovom priestore V uvažujme konečnorozmerné afinné pod-
priestory
M = p + [u1, . . . , um], N = q + [v1, . . . , vn].
Potom
M N =
p + [u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M ∩ N = ∅,
p + [q − p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M ∩ N = ∅,
dim(M N) =
dim[u1, . . . , um, v1, . . . , vn], ak M ∩ N = ∅,
dim[q − p, u1, . . . , um, v1, . . . , vn]), ak M ∩ N = ∅.
Ak navyše predpokladáme, že tak vektory u1, . . . , um ako aj vektory v1, . . . , vn sú
lineárne nezávislé, tak
dim(M N) =
m + n − k, ak M ∩ N = ∅,
m + n − k + 1, ak M ∩ N = ∅,
kde k = dim([u1, . . . , um] ∩ [v1, . . . , vn]).
8.3.6. Príklad. V stĺpcovom priestore R4
sú dané vektory x = (1, 2, 3, 4)T
, y =
(0, −3, 1, −1)T
, z = (1, 1, 0, 0)T
, u = (0, −2, 4, 3)T
, v = (2, 6, 2, 5)T
, w = (0, 0, 1, 1)T
a
bližšie neurčené body p, q. Potom S = [x, y, z], T = [u, v, w] sú lineárne podpriestory
a M = p + S, N = q + N sú afinné podpriestory v R4
. Nájdeme dimenzie lineárnych
podpriestorov S + T, S ∩ T a afinných podpriestorov M ∩ N, M N v závislosti na p,
q.
Lineárny podpriestor S + T je generovaný stĺpcami blokovej matice



1 0 1
2 −3 1
3 1 0
4 −1 0
0 2 0
−2 6 0
4 2 1
3 5 1


 ,
pričom stĺpce ľavého bloku generujú lineárny podpriestor S a stĺpce pravého bloku
lineárny podpriestor T. Táto matica je riadkovo ekvivalentná s blokovou maticou



1 0 1
0 1 −3
0 0 3
0 0 0
0 2 0
4 −4 0
−3 3 1
0 0 1



8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 9
v stupňovitom tvare, ktorej riadky majú vedúce prvky v stĺpcoch 1, 2, 3 a 6. Hneď
vidíme, že vektory x, y, z tvoria bázu S a vektory x, y, z, w bázu S+T. Doupravovaním
pravého bloku na riadkovo ekvivalentný stupňovitý tvar



4 −4 0
0 2 0
0 0 1
0 0 0



sa možno presvedčiť, že i vektory u, v, w sú lineárne nezávislé, teda tvoria bázu T.
Zhrnutím dostávame dim S = dim T = 3, dim(S + T) = 4. Odtiaľ podľa vety 5.4.1
vyplýva dim(S ∩ T) = 3 + 3 − 4 = 2. Takže S + T = R4
, a bez toho, že by sme čokoľvek
ďalej počítali, z tvrdenia 8.3.2 vieme, že nezávisle na bodoch p, q platí M ∩ N = ∅.
Preto dim(M ∩ N) = dim(S ∩ T) = 2 podľa tvrdenia 8.3.1. S použitím tvrdenia 8.3.3 a
dôsledku 8.3.4 dostávame dim(M N) = dim(S + T) = 4.
8.4. Vzájomná poloha afinných podpriestorov
V tomto paragrafe podáme sľúbenú klasifikáciu vzájomnej polohy dvojíc netriviálnych
vlastných afinných podpriestorov vo vektorovom priestore V . (Hoci to nie je z logického
hľadiska nevyhnutné, aby sme sa vyhli triedeniu trivialít, body a celý priestor V z našich
úvah vylučujeme.) Táto téma prirodzeným spôsobom rozširuje látku stredoškolskej
geometrie, zahŕňajúcu klasifikáciu vzájomnej polohy priamok v rovine resp. priamok a
rovín v (trojrozmernom) priestore.
Polohu netriviálnych vlastných lineárnych variet M, N ⊆ V budeme klasifikovať na
základe dvoch kritérií:
(A) Ak platí Dir M ⊆ Dir N ∨ Dir N ⊆ Dir M, hovoríme, že M, N sú rovnobežné a
píšeme M N.
V opačnom prípade, t. j. ak platí Dir M ⊆ Dir N & Dir N ⊆ Dir M, hovoríme, že
M, N nie sú rovnobežné, a píšeme M N.
(B) Ak platí M ∩ N = ∅, hovoríme, že M, N sa pretínajú.
V opačnom prípade, t. j. ak M ∩ N = ∅, hovoríme, že M, N sa nepretínajú, alebo,
že sú disjunktné.
Celkovo teda dostávame štyri možnosti:
(1) M N & M ∩ N = ∅, čiže M, N sú rovnobežné a pretínajú sa.
Ľahko možno nahliadnuť, že v takom prípade platí Dir M ⊆ Dir N ⇔ M ⊆ N
a Dir N ⊆ Dir M ⇔ N ⊆ M. Teda M ⊆ N alebo M ⊆ N. Hovoríme, že jedna
z lineárnych variet M, N je podvarietou druhej, alebo, že M, N sú vo vzťahu
inklúzie.
(2) M N & M ∩ N = ∅, čiže M, N sú rovnobežné a nepretínajú sa.
Tento prípad nazývame vzťahom pravej rovnobežnosti.
(3) M N & M ∩ N = ∅, čiže M, N nie sú rovnobežné a pretínajú sa.
Hovoríme, že M, N sú rôznobežné.
(4) M N & M ∩ N = ∅, čiže M, N nie sú rovnobežné a nepretínajú sa.
V tomto prípade ešte rozlišujeme dve ďalšie možnosti:
10 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
(4a) Ak Dir M ∩ Dir N = {0}, hovoríme, že M, N sú mimobežné.
(4b) Ak Dir M ∩ Dir N = {0}, hovoríme, že M, N sú čiastočne rovnobežné.
Prípady (1), (2), (3) sú nám dobre známe zo stredoškolskej planimetrie, s prípadom
(4) sa však v rovine stretnúť nemožno – dve priamky v rovine buď splývajú alebo sú
to pravé rovnobežky alebo rôznobežky. Zo stredoškolskej stereometrie, okrem prípadov
(1), (2), (3), ktoré sa realizujú vo vzájomných polohách dvojíc priamok, dvojíc rovín
ako i priamky a roviny v trojrozmernom priestore, poznáme aj prípad (4a) – ide o prípad
mimobežných priamok. S prípadom (4b), t. j. s prípadom čiastočnej rovnobežnosti
sme sa však dosiaľ nestretli a nedokážeme ho spojiť so žiadnou názornou geometrickou
predstavou. Nie je to náhoda. Platí totiž nasledujúce tvrdenie.
8.4.1. Tvrdenie. Nech M, N ⊆ V sú čiastočne rovnobežné lineárne variety. Potom
dim M ≥ 2, dim N ≥ 2 a dim V ≥ 4.
Dôkaz. Označme S = Dir M, T = Dir N. Potom S ∩ T je netriválny vlastný lineárny
podpriestor každého zo zameraní S, T. Teda dim(S ∩ T) ≥ 1, dim M = dim S ≥ 2,
dim N = dim T ≥ 2 a taktiež
dim(S ∩ T) ≤ min(dim S, dim T) − 1.
S použitím vety 5.4.1 z toho vyplýva
dim(S + T) = dim S + dim T − dim(S ∩ T)
≥ dim S + dim T − min(dim S, dim T) + 1
= max(dim S, dim T) + 1 ≥ 3.
Keďže M ∩ N = ∅, podľa tvrdenia 8.3.2 je S + T vlastný lineárny podpriestor vo V .
Preto
dim V ≥ dim(S + T) + 1 ≥ 4.
Na druhej strane v ľubovoľnom vektorovom priestore V dimenzie ≥ 4 nie je ťažké
nájsť príklady čiastočne rovnobežných lineárnych variet. Presvedčte sa, že napr.
M = [e1, e2], N = e4 + [e2, e3]
sú čiastočne rovnobežné roviny v K4
. Skúste nájsť iné príklady.
8.5. Afinné zobrazenia
Nech U, V sú vektorové priestory nad tým istým poľom K. Hovoríme, že f : V → U je
afinné zobrazenie, ak pre ľubovoľné body p, q, r ∈ V a skalár s ∈ K platí
f(sp + (1 − s)q = sf(p) + (1 − s)f(q),
f(p − q + r) = f(p) − f(q) + f(r).
Podobným spôsobom ako tvrdenie 8.2.1 možno dokázať, že afinné sú práve tie zobrazenia
f : V → U, ktoré zachovávajú všetky afinné kombinácie trojíc bodov, či, takisto,
vôbec všetky afinné kombinácie; v prípade poľa charakteristiky = 2 stačí žiadať zachovávanie
afinných kombinácií dvojíc.
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 11
8.5.1. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom pre ľubovoľné
zobrazenie f : V → U nasledujúce podmienky sú ekvivalentné:
(i) f je afinné zobrazenie;
(ii) pre všetky p, q, r ∈ V , s, t ∈ K platí
f(sp + tq + (1 − s − t)r) = sf(p) + tf(q) + (1 − s − t)f(r);
(iii) pre každé n ∈ N a všetky body p0, p1 . . . , pn ∈ V a skaláry t0, t1, . . . , tn ∈ K také,
že t0 + t1 + . . . + tn = 1, platí
f(t0p0 + t1p1 + . . . + tnpn) = t0f(p0) + t1f(p1) + . . . + tnf(pn).
Ak char K = 2, tak uvedené podmienky sú navyše ekvivalentné s podmienkou
(i−
) pre všetky p, q ∈ V , s ∈ K platí
f(sp + (1 − s)q) = sf(p) + (1 − s)f(q).
Posunutím alebo transláciou vektorového priestoru V o vektor u ∈ V nazývame
zobrazenie V → V dané predpisom x → x + u.
Zrejme kompozíciou posunutia o vektor u ∈ V a posunutia o vektor v ∈ V je
posunutie o vektor u+v. Každé posunutie je bijektívne zobrazenie; inverzné zobrazenie
k posunutiu o vektor u je posunutie o opačný vektor −u.
Z nasledujúcej vety okrem iného vyplýva, že každé afinné zobrazenie možno dostať
kompozíciou lineárneho zobrazenia a posunutia.
8.5.2. Veta. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Zobrazenie f : V → U
je afinné práve vtedy, keď existuje vektor u ∈ U a lineárne zobrazenie ϕ: V → U také,
že pre každé x ∈ V platí
f(x) = ϕ(x) + u.
Dôkaz. Treba dokázať dve veci:
(1) Pre ľubovoľný vektor u ∈ U a lineárne zobrazenie ϕ: V → U je predpisom f(x) =
ϕ(x) + u dané afinné zobrazenie f : V → U.
(2) Ak f : V → U je afinné zobrazenie, tak priradenie ϕ(x) = f(x) − f(0) definuje
lineárne zobrazenie ϕ: V → U.
V jednom i druhom prípade možno zachovávanie príslušných afinných resp. lineárnych
kombinácií overiť priamymi výpočtami, ktoré prenechávame čitateľovi.
Zrejme vektor u ∈ U ako aj lineárne zobrazenie ϕ sú podmienkou vety určené jednoznačne.
Zobrazenie ϕ = f − f(0) nazývame lineárnou časťou a vektor u = f(0)
absolútnym členom afinného zobrazenia f. Píšeme tiež f = ϕ + u.
Afinné zobrazenia sú tak zovšeobecnením funkcií f : K → K tvaru f(x) = ax+b, kde
a, b ∈ K, ktoré (najmä v prípade K = R) v matematickej analýze nazývame lineárnymi,
na viacrozmerné vektorové priestory.
8.5.3. Dôsledok. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Potom
(a) ľubovoľná translácia priestoru V je afinné zobrazenie;
(b) ľubovoľné lineárne zobrazenie ϕ: V → U je afinné;
(c) afinné zobrazenie f : V → U je lineárne práve vtedy, keď f(0) = 0.
12 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
8.5.4. Tvrdenie. Nech U, V , W sú vektorové priestory nad poľom K a g : W → V ,
f : V → U sú afinné zobrazenia. Potom aj ich kompozícia f ◦ g : W → U je afinné
zobrazenie.
Dôkaz. Hoci priamym výpočtom možno overiť, že f ◦ g zachováva afinné kombinácie,
podáme radšej dôkaz založený na vete 8.5.2, ktorý nám poskytne informáciu navyše.
Nech f = ϕ + u, g = ψ + v, kde ϕ: V → U, ψ: W → V sú lineárne zobrazenia a
u = f(0), v = g(0). Potom pre z ∈ W s využitím linearity ϕ dostávame
(f ◦ g)(z) = ϕ(ψ(z) + v) + u = (ϕ ◦ ψ)(z) + ϕ(v) + u.
Teda f ◦ g je afinné zobrazenie zložené z lineárneho zobrazenia ϕ ◦ ψ a posunutia o
vektor ϕ(v) + u.
Vzorec odvodený v našom dôkaze stojí za zaznamenanie. Pre lineárne zobrazenia
ψ: W → V , ϕ: V → U a vektory v ∈ V , u ∈ U platí
(ϕ + u) ◦ (ψ + v) = (ϕ ◦ ψ) + (ϕv + u).
8.5.5. Tvrdenie. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K, f : V → U je afinné
zobrazenie a M ⊆ V , N ⊆ U sú afinné podpriestory. Potom f(M) je afinný podpriestor
v U a f−1
(N) je afinný podpriestor vo V alebo prázdna množina.
Dôkaz. Nech f = ϕ + u, kde ϕ je lineárna časť f a u = f(0). Nech ďalej M = p + S,
N = q + T, kde p ∈ M, q ∈ N a S ⊆ V , T ⊆ U sú lineárne podpriestory. Potrebný
záver vyplýva z tvrdení 6.1.3, 8.2.2 a nasledujúcich rovností
f(M) = f(p) + ϕ(S),
f−1
(N) =
z + ϕ−1
(T), kde z ∈ V je ľubovoľné také, že ϕ(z) = q − u,
∅, ak neexistuje z ∈ V také, že ϕ(z) = q − u,
ktorých dôkaz prenechávame čitateľovi.
Keďže každé posunutie je bijekcia, afinné zobrazenie f = ϕ + u: V → U s lineárnou
časťou ϕ je injektívne práve vtedy, keď ϕ je injektívne. Podobne, f je surjektívne práve
vtedy, keď ϕ je surjektívne. Z toho už priamo vyplývajú ďalšie tri výsledky.
Prvý z nich zovšeobecňuje vetu 6.2.3 o dimenzii jadra a obrazu.
8.5.6. Veta. Nech f : V → U je afinné zobrazenie, pričom V je konečnorozmerný
vektorový priestor. Potom pre ľubovoľné y ∈ Im f platí
dim V = dim f−1
(y) + dim Im f.
Afinnou transformáciou vektorového priestoru V nazývame ľubovoľné afinné zobrazenie
f : V → V . Aj pre afinné transformácie platí obdoba dôsledku 6.2.4.
8.5.7. Dôsledok. Nech f : V → V je afinná transformácia konečnorozmerného vektorového
priestoru V . Potom f je injektívna práve vtedy, keď je surjektívna.
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 13
8.5.8. Tvrdenie. Nech f : V → U je afinné zobrazenie s lineárnou časťou ϕ a absolútnym
členom u = f(0). Potom f je bijektívne práve vtedy, keď ϕ je bijektívne. V tom
prípade aj inverzné zobrazenie f−1
: U → V je afinné a platí
f−1
= ϕ−1
− ϕ−1
(u).
Teda f−1
je kompozíciou lineárneho zobrazenia ϕ−1
a posunutia o vektor −ϕ−1
(u).
Nech U, V sú konečnorozmerné vektorové priestory a α, β sú bázy v U resp. vo V .
Rozšírenou maticou afinného zobrazenia f : V → U s lineárnou časťou ϕ a absolútnym
členom u vzhľadom na bázy β, α nazývame blokovú maticu
(f)α,β = (ϕ)α,β | (u)α .
Ak teda dim U = m, dim V = n, A = (ϕ)α,β je matica lineárneho zobrazenia ϕ v bázach
β = (v1, . . . , vn), α a a = (u)α sú súradnice vektora u v báze α, tak rozšírenou maticou
afinného zobrazenia f v bázach β, α je bloková matica
(f)α,β = (ϕv1)α, . . . , (ϕvn)α | (u)α = (A | a) ∈ Km×(n+1)
.
Súradnice bodu x ∈ V v báze β a súradnice jeho obrazu f(x) ∈ U v báze α sú tak
spojené rovnosťou
(fx)α = (ϕ)α,β · (x)β + (u)α = A · (x)α + a.
Samozrejme, ak f je lineárne zobrazenie, t. j. ak f = ϕ a u = 0, nemá význam rozširovať
maticu (ϕ)α,β o nulový stĺpec.
Z tvrdenia 8.5.4, presnejšie z formuly odvodenej počas jeho dôkazu, a z tvrdenia 8.5.8
s použitím výsledkov paragrafov 6.4 a 7.2 vyplýva náš záverečný výsledok.
8.5.9. Tvrdenie. Nech U, V , W sú konečnorozmerné vektorové priestory nad poľom
K a α, β, γ sú nejaké bázy priestorov U, V , resp. W.
(a) Ak g : W → V , f : V → U sú afinné zobrazenia, ktoré majú v príslušných bázach
rozšírené matice (g)β,γ = (B | b), (f)α,β = (A | a), tak ich kompozícia f ◦g : W →
U má v bázach γ, α rozšírenú maticu
(f ◦ g)α,γ = (A · B | A · b + a).
(b) Ak f : V → U je afinná bijekcia s rozšírenou maticou (f)α,β = (A | a) v bázach β,
α, tak k nej inverzné zobrazenie je afinná bijekcia f−1
: U → V , ktorá má v bázach
α, β rozšírenú maticu
f−1
β,α
= A−1
| − A−1
· a .
14 PAVOL ZLATOŠ: LINEÁRNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Cvičenia
1. Dokážte postupne záverečné štyri podmienky z tvrdenia 8.2.2.
2. Nech V je vektorový priestor nad poľom K.
(a) Tri afinne nezávislé body p0, p1, p2 ∈ V sa nazývajú nekolineárne. Dokážte, že p0, p1, p2 sú
kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke.
(b) Podobne, štyri afinne nezávislé body p0, p1, p2, p3 ∈ V sa nazývajú nekomplanárne. Dokážte,
že p0, p1, p2 p3 sú komplanárne práve vtedy, keď ležia v jednej rovine.
3. Nech V je vektorový priestor nad poľom K a p0, p1, . . . , pn, q ∈ V . Dokážte postupne nasledujúce
tvrdenia:
(a) Body p0, p1, . . . , pn sú afinne nezávislé práve vtedy, keď pre nejaké (ľubovoľné) i ≤ n sú
lineárne nezávislé vektory pj − pi, kde j ∈ {0, 1, . . . , n} {i}.
(b) q ∈ (p0, p1, . . . , pn) práve vtedy, keď q − p0 ∈ [p1 − p0, . . . , pn − p0]. Odvoďte z toho obe
rovnosti z tvrdenia 8.2.4.
(c) Ak body p0, p1, . . . , pn sú afinne nezávislé, tak q ∈ (p0, p1, . . . , pn) práve vtedy, keď vektory
p1 − p0, . . . , pn − p0, q − p0 sú lineárne závislé.
4. Vo vektorovom priestore R4 sú dané body p0 = (1, 1, 2, 2)T , p1 = (0, 1, 0, 1)T , p2 = (1, 2, 0, 3)T
a q = (0, 2, −4, 2)T , r = (−1, 2, −4, 1)T .
(a) Zistite, či platí q ∈ (p0, p1, p2), r ∈ (p0, p1, p2).
(b) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1, p2), (p0, p1, p2, q), (p0, p1, p2, r).
(c) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1, p2) ∩ (q, r), (p0, p1, p2) (q, r) a
určte vzájomnú polohu afinných podpriestorov (p0, p1, p2), (q, r).
(d) Vypočítajte dimenzie afinných podpriestorov (p0, p1) ∩ (q, r), (p0, p1) (q, r) a určte
vzájomnú polohu afinných podpriestorov (p0, p1), (q, r).
5. (a) Nájdite príklad troch priamok v R3 tak, aby ľubovoľné dve z nich boli mimobežné.
(b) Dokážte, že priamka a rovina v trojrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné.
(c) Vo vektorovom priestore R4 nájdite príklad mimobežnej priamky a roviny.
(d) Dokážte, že dve roviny vo štvorrozmernom vektorovom priestore nemôžu byť mimobežné.
(e) Nájdite príklad dvoch mimobežných rovín v R5.
6. Nech p0, p1, p2, p3, p4 sú ľubovoľné afinne nezávislé body vo vektorovom priestore V nad
poľom K. Potom roviny (p0, p1, p2), p4 + [p2 − p0, p3 − p0] sú čiastočne rovnobežné. Dokážte.
7. Repér vo vektorovom priestore sa zvykne definovať ako usporiadaná (n+1)-tica afinne nezávislých
bodov ρ = (r0, r1, . . . , rn) ∈ V n+1, taká, že (r0, r1, . . . , rn) = V , prípadne ako usporiadaná
(n + 1)-tica (r, β) = (r, v1, . . . , vn) ∈ V n+1, pozostávajúca z ľubovoľného bodu r ∈ V a bázy
β = (v1, . . . , vn) vektorového priestoru V . Dokážte nasledujúce dve tvrdenia:
(a) Nech ρ = (r0, r1, . . . , rn) je usporiadná (n+1)-tica bodov z V . Potom ρ je repér vo V v zmysle
prvej definície, práve vtedy, keď β = (r1 − r0, . . . , rn − r0) je báza vektorového priestoru V , t. j.
práve vtedy, keď (r0, β) je repér v zmysle druhej definície.
(b) Nech r je bod z V a β = (v1, . . . , vn) je usporiadaná n-tica vektorov z V . Potom (r, β) je
repér v zmysle druhej definície práve vtedy, keď ρ = (r, r+v1, . . . , r+vn) je repér v zmysle prvej
definície.
Z toho dôvodu nie je potrebné rozlišovať medzi repérmi v zmysle jednej či druhej definície.
8. Nech ρ = (r, β) je repér vo vektorovom priestore V nad poľom K. Afinnými súradnicami bodu
x ∈ V vzhľadom na repér ρ nazývame súradnice vektora x − r vzhľadom na bázu β, čiže (x)ρ =
(x−r)β . Ak je repér ρ známy z kontextu, hovoríme len o afinných súradniciach bodu x. Dokážte
postupne nasledujúce tvrdenia:
(a) (0, ε), kde ε = (e1, . . . , en) je kanonická báza, je repér v Kn a pre každé x ∈ Kn platí
(x)(0,ε) = x.
(b) Body repéru ρ = (r0, r1, . . . , rn) majú vzhľadom na tento repér afinné súradnice (r0)ρ = 0,
(r1)ρ = e1, . . . , (rn)ρ = en.
(c) Ak dim V = n a ρ = (r, β) je repér vo V , tak predpisom x → (x)ρ je definované bijektívne
afinné zobrazenie V → Kn a pre každé x ∈ V , c = (c1, . . . , cn)T ∈ Kn platí
8. AFINNÉ PODPRIESTORY A AFINNÉ ZOBRAZENIA 15
x = r + β · (x)ρ, (r + β · c)ρ = c.
9. V R3 sú dané body r0 = (5, 2, 1)T , r1 = (0, 2, 1)5, r2 = (5, 0, 2)T , r3 = (5, 2, 0)T .
(a) Dokážte, že ρ = (r0, r1, r2, r3) je repér v R3.
(b) Nájdite afinné súradnice bodov x = (4, 4, −3)T , y = (−5, −2, −1)T , z = (0, 0, 0)T vzhľadom
na repér ρ.
(c) Nájdite body p, q, r, ak poznáte ich afinné súradnice (p)ρ = (0, 2, 1)T , (q)ρ = (−1, 1, −1)T ,
(r)ρ = (0, 0, 0)T .
10. Nech π = (p, α), ρ = (r, β) sú dva repéry vo vektorovom priestore V nad poľom K. Potom afinné
súradnice ľubovoľného bodu x ∈ V vzhľadom na tieto repéry sú zviazané vzťahom
(x)π = Pα,β · (x − p)β = Pα,β · (x)ρ − (p)ρ ,
kde Pα,β je matica prechodu z bázy β do bázy α. Dokážte.
11. Dokážte tvrdenie 8.5.1. (Návod: Modifikujte dôkaz tvrdenia 8.2.1.)
12. Dokážte podmienky (1), (2) z dôkazu tvrdenia 8.5.2.
13. Doplňte vynechané dôkazy oboch rovností z dôkazu tvrdenia 8.5.5.
14. Na základe tvrdenia 8.5.5 doplňte dôkazy vety 8.5.6, dôsledku 8.5.7 a tvrdenia 8.5.8.
15. Predpokladajme, že dvaja pozorovatelia P a P popisujú udalosti v čase a v trojrozmernom priestore
vzhľadom na po dvoch rovnobežné a rovnako orientované súradné osi x, y, z, resp. x , y , z ,
pričom počiatok súradnej sústavy pozorovateľa P má z hľadiska pozorovateľa P v čase t = t0,
zodpovedajúcom času t = 0 pozorovateľa P , súradnice (x0, y0, z0)T . Nech navyše pozorovateľ P
sa vzhľadom na pozorovateľa P pohybuje rovnomerne priamočiaro rýchlosťou v = (vx, vy, vz)T
(pozri príklad 6.4.7 a cvičenie 6.14).
(a) Odvoďte tvar Galileovej transformácie, ktorou sú za týchto okolností v klasickej (t. j. v nerelativistickej)
fyzike zviazané časopriestorové súradnice bodových udalostí z hľadiska pozorovateľov
P resp. P :
t = t − t0, x = x − x0 − vxt, y = y − y0 − vyt, z = z − z0 − vzt.
Nahliadnite, že ide o afinnú transformáciu s rozšírenou maticou (Gv | − s0), kde Gv je matica
Galileovej transformácie z cvičenia 6.14 a s0 = (t0, x0, y0, z0)T .
(b) Nech f, g : R4 → R4 sú Galileove transformácie s rozšírenými maticami (Gv | − s0) resp.
(Gw | − s1), kde v, w ∈ R3, s0, s1 ∈ R4. Nájdite rozšírenú maticu kompozície afinných zobrazení
f ◦g a rozšírenú maticu inverzného zobrazenia f−1. Dokážte, že ide opäť o Galileove transformácie
uvedeného typu a vysvetlite fyzikálny význam získaných výsledkov.
16. Nech U, V sú vektorové priestory nad poľom K. Označme A(V, U) množinu všetkých afinných
zobrazení f : V → U. Dokážte postupne nasledujúce tvrdenia:
(a) A(V, U) s operáciami súčtu a skalárneho násobku definovanými po zložkách tvorí lineárny
podpriestor vektorového priestoru UV . A(V, U) navyše obsahuje vektorový priestor L(V, U) všetkých
lineárnych zobrazení ϕ: V → U ako svoj lineárny podpriestor. (Pozri príklad 1.6.5 a tvrdenie
6.5.1.)
(b) Priradením f → (f − f(0), f(0)) je definovaný lineárny izomorfizmus vektorových priestorov
A(V, U) → L(V, U) × U (pozri príklad 1.6.4).
(c) Nech α, β sú nejaké bázy priestorov U resp. V . Potom priradením f → (f)α,β je daný lineárny
izomorfizmus vektorových priestorov A(V, U) → Km×(n+1).
(d) Predpokladajme, že U, V sú konečnorozmerné a dim U = m, dim V = n. Odvoďte, či už z (b)
alebo z (c), že potom aj A(V, U) je konečnorozmerný a dim A(V, U) = m(n + 1).
(e) Ak V je konečnorozmerný, tak jeho duál V ∗ = L(V, K) tvorí nadrovinu v A(V, K) (pozri text
tesne pred tvrdením 6.5.3).