Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 18. září 2024.
4   Monotonie a kvadratické funkce
Cvičení konaná 14. 10. a 16. 10. 2024. Příklad 4.1:
1. Definujte (formálně) pojem „funkce / je rostoucí na intervalu J".
2. Definujte formálně „maximální interval, kde je funkce / rostoucí".
3. U funkcí z příkladů 3.1, 3.2 a 3.4 zjistěte, na kterých maximálních intervalech jsou rostoucí, resp. klesající.
4. Zformulujte precizně tvrzení, že složení rostoucích funkcí (na intervalu) je rostoucí funkce (na intervalu) a větu dokažte. Zejména si uvědomte, jaké všechny předpoklady je třeba uvést. Přesněji: pokud g je rostoucí funkce na intervalu J, kde I C D (g), a dále / je rostoucí funkce na intervalu J C D(f), potom ještě musíme něco předpokládat o množině {g(x); x G /}, abychom mohli dokázat, že f o g je rostoucí na intevalu I.
Příklad 4.2:   Nakreslete graf funkce
Určete všechny maximální intervaly, na nichž je funkce klesající (resp. rostoucí). Určete všechna x G IR splňující f(x) = 0. Určete zejména, kolik je takových reálných čísel v intervalu (0, 2tt).
Příklad 4.3:   Mějme funkci
Určete její definiční obor, obor hodnot, načrtněte její graf a určete, na kterých maximálních intervalech je tato funkce rostoucí nebo klesající.
Příklad 4.4: Nechť f a, g jsou rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D(f) H D(g). Rozhodněte, zda je rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem:
1. h(x) = f(x) +g(x)
2. h(x) = f(x) - g(x)
3. h(x
f (x) ■ g (x)
4. h(x
g (x)
5. h(x
g (x) ■ g (x)
6. h(x
7. h(x
i
V případech, kdy odpovídáte „ano", se pokuste o formální důkaz. V případech, kdy odpovídáte „ne", dejte protipříklad a navíc se pokuste (přidáním vhodných předpokladů pro funkce / a g) zformulovat platné tvrzení.
Příklad 4.5: Nechť g je rostoucí funkce na intervalu J, tj. zejména I C D (g) a nechť c G IR je pevně zvolené reálné číslo. Rozhodněte, zdaje rostoucí nebo klesající funkce h daná následujícím předpisem:
1. h(x) = g{x) + c,
2. h(x) = c — g (x),
3. h(x) = c ■ g (x).
Pozor, odpověď se může lišit v závislosti na paramatru c.
Příklad 4.6: Udejte příklad rostoucích funkcí f a g s definičním oborem IR takových, že funkce h, daná předpisem h(x) = f(x) ■ g(x), je klesající funkce na celém definičním oboru D(h) = R.
Nápověda: Pokuste se nejdříve načrtnout grafy vašich funkcí f, g ah. Poté se pokuste vymyslet nějaký vhodný předpis pro tyto funkce (jako složení elementárních funkcí).
Příklad 4.7: Nechť / je rostoucí funkce na celém definičním oboru D(f) = IR s oborem hodnot H(f) = (0, oo). Uvažujme dále funkci g danou předpisem g{x) = x ■ f (x). Dokažte, že funkce g je rostoucí na intervalu I = (0, oo).
V důkazu identifikujte krok, kde se využije předpoklad H(f) = (0,oo), a dále krok, kde se využije předpoklad, že I obsahuje pouze kladná reálná čísla.
Ukažte, že oba tyto předpoklady jsou nutné. Zejména dejte příklad rostoucí funkce / s definičním oborem D(f) = IR, takové, že H(f) obsahuje 0 nebo záporné číslo, pro niž funkce g{x) = x ■ f{x) není rostoucí na intervalu I = (0,oo). Poté zformulujte podobně tvrzení o existenci funkce / v druhém případě a dejte vhodný příklad takové funkce.
Příklad 4.8: Pomocí úpravy na čtverec odvoďte "vzoreček" pro řešení obecné kvadratické rovnice
ax2 + bx + c = 0,
kde a, 6, c G R, d / 0. Načrtněte graf kvadratické funkce f(x) = ax2 + bx + c pro a > 0 a pro a < 0. Určete, jaké maximum nebo minimum tato funkce nabývá a v kterém bodě.
Příklad 4.9: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby daná nerovnost platila pro všechna x E A. (Kreslete si, jak musí vypadat grafy příslušných kvadratických funkcí.)
a) (r + A)x2 - 2rx + 2r - 6 < 0, A = R.
b) rx2 - Ax + 3r + 1 > 0, A = (0, oo).
c) (r - 2)x2 + rx + 1 - r > 0, A = (0, oo).
d) (x - 3r)(x - r - 3) < 0, A = [1, 3].
Příklad 4.10: Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost (r — 2)x2 + rx + 3r + 2 > 0, platila pro všechna x G [3,5].
Příklad 4.11:   Určete všechny hodnoty parametru r G IR tak, aby nerovnost
{rx — l)(x + r) < 0
platila pro všechna x E A.
a) A = (0,1).
b) A =(-1,1).
c) A = (-2, 2).
d) A = (0,oo).
Příklad 4.12:   Určete, kdy pro řešení X\ < x2 rovnice
2x2 - 2(2a + l)x + a(a-l) = 0 platí x\ < a < X2- Nápověda: Vyznačte na grafu příslušné kvadratické funkce její hodnotu v a.
Příklad 4.13:   Určete, kdy pro řešení x\ a X2 rovnice
(a - 2)x2 - 2(a + 3)x + 4a = 0
platí X\ > 3 a x2 < 2.
Příklad 4.14:   Určete, pro která a G IR má následující polynom dvojnásobný kořen
(2a - 5)x2 - 2(a - l)x + 3.
Příklad 4.15:   Najděte nejmenší celé číslo k, pro něž má rovnice
x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2 = 0
dvě různá reálná řešení.
Příklad 4.16*: Nalezněte kvadratickou rovnici s celočíselnými koeficienty, jejímž jedním řešením je
_ y/E-y/Š
Příklad 4.17*: Označme
a=\73\/2T + 8, &=\/3V21
Dokažte, že součin i rozdíl těchto dvou reálných čísel je celočíselný a určete jej. Zjednodušte algebraické výrazy pro čísla a a b tak, aby obsahovala kromě celých čísel a obvyklých operací již pouze druhé odmocniny.
Nápověda: Napište si kvadratickou rovnici s dvojicí řešeni a, —b.