Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 11. listopadu 2024.
7   Řešení písemky a exponenciální a logarimické funkce
Cvičení konaná 11.11. a 13.11. 2024.
Příklad 7.1:   Mocniny a exponenciální funkce ax.
1. Pro a > 0 a n G Z definujte an.
2. Je-li a > 1 reálné číslo a, n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte.
3. Pro a > 0 reálné a :r = |, p G Z, g G N definujte ď.
4.* Pro a > 0 reálné &, x,y racionální, dokažte, že a^a^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^.
5. Pro a > 1 a x E R definujeme ď = supja^ G R; y G Q,y < x}. Udělejte totéž pro a G (0,1).
6. * Dokažte, že funkce     je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1).
7. * Pro a > 0 reálné a x, y reálná, dokažte, že cŕa^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a.
Řešeni: Většina podpříkladů je značně náročná. Rozhodně příklad přesahuje požadavky k ukončení tohoto předmětu, a proto nebude tento typ příkladu v písemkách.
Příklad 7.2:   Logaritmická funkce \ogax.
1. Definujte inverzní funkci k funkci /.
2. Definujte \ogax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď.
3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
Příklad 7.3:   Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí:
3. log^a*) =y\ogax. 4 log x = i2ii£
5. log. b = r^—.
6. blogaC = clogab.
7. \ogaV xy = loga x.
Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y.
Řešeni: 1) Předpoklady: a E (0,1)U(1, oo) a x,y E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ ER taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga(xy) = \oga(ak -ae) = \oga(ak+í) = k + £ = \oga x + loga y. Jde tedy o přímý důsledek prvního vztahu z 8.1.-7). 2) Předpoklady: a E (0,1) U (1, oo) a x, y E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ G R taková, že ak = x,ae = y. Potom \oga ^ = loga(^j) = \oga(ak~e) = k — £ = \ogax — \ogay. 3) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo), x G (0, oo) y E R. Důkaz: Označme k e M. taková, že ak = x. Potom \oga(xy) = \oga((ak)y) = \oga(ayk) = yk = y\ogax. Jde tedy o přímý důsledek druhého vztahu z 8.1.-7). 4) Předpoklady: a, b E (0,1) U (1, oo) a x G (0, oo). Důkaz: Označme k,£ G R taková, že ak = x, be = a. Potom log6:r = log6(afc) = \ogb((be)k) = \ogb(bke) = k ■ £ = \ogax ■ log6a. Podelením log6a = £ ^ 0 (uvědomte si, že log6a = 0 by znamenalo a = 1) dostáváme požadované. 5) Předpoklady: a,b E (0,1) U (l,oo). Důkaz: Stačí v předchozím zvolit x = b. 6) Předpoklady: a G (0,1) U (1, oo) a b, c E (0, oo). Důkaz: Označme k,£ E R taková, že ak = b,ae = c. Potom blog*c = b1 = (akf = (ae)k = ck = clo§>. 7) Předpoklady: a,y E (0,1) U (l,oo) a x E (0, oo). Důkaz: Podle 4) logay xy = )ogax\, což se s
využitím 3) dále rovná y'loga x = \ogax.
Příklad 7.4: Určete
1. 491_l1°g7 25i
2. log (log Vv^To).
3. 81^.
4. log2| + log4f.
5,  32 log3 2+log3 5 ^
log23      log49 log83'
7. 36logs5 + 101_logl°2 — 3logs}36.
Řešení: 1) §. 2) -1. 3) 625. 4) 0. 5) 20. tfj -log32. 7J 24.
Příklad 7.5:   Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x:
1. x = log100 40;    a = log2 5.
2. x = log6 16;    a = log12 27.
3. x = \og^;    a = log2, 6 = log3, c = log5.
4. x = log140 63;    a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2. i?eW: í; |±|. ž; ^ 5; -(2a+ 6 +2c). 4) ^L_.
Příklad 7.6:   Řešte v IR rovnice:
1. 4X + 2X+1 = 24.
2. I^2-2* = 1.
3. 6 • 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0.
4. (r+i=2*.
Řešeni: 1) 2. ^ — 1, 1, 2. 3) 1, —1. ^ i (lze snadno ukázat, že má právě jedno řešeni).
Příklad 7.7:   Řešte v IR rovnice:
1. log5 + \og(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20).
2- logo,5x ^2 - 14 logi6x ^3 + 40 log4s      = 0.
3. 15logs3 • ^i+iogsí^) = 1.
4. log \/l + x + 3 log \/l — x = log \/l — x2 + 2.
flesera: 1) 3/2, 10.     \/2/2, 1, 4. 5; 1/15, 1/3. 4) nemá řešení.
Příklad 7.8:   Řešte v IR nerovnice: 1   -L- < 1
3x+5 — 3x+1-l^
2. 8X + 18x - 2 • 27x > 0.
3- log(:c_2)(2x - 3) > \og(x_2)(2A - 6x).
4. xlog2* > 2.
flesera:     (-1,1]. 2) (-oo,0). 3) (2,3) U (27/8,4). 4) (0,1/2) U (2,oo).
Příklad 7.9:   a) Řešte v IR rovnici log3    • log9 x = 3.
b) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici log3(|,z| + l)2 • log9(|,z| + 1) = 3. Řešeni: a) x = 3^ nebo x = 3~A     z = 3^ - 1 02 = -3^ + 1.