Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 11. listopadu 2024.
7   Řešení písemky a exponenciální a logarimické funkce
Cvičení konaná 11.11. a 13.11. 2024.
Příklad 7.1:   Mocniny a exponenciální funkce ax.
1. Pro a > 0 a n G Z definujte an.
2. Je-li a > 1 reálné číslo a, n < m celá čísla, pak an < am. Dokažte.
3. Pro a > 0 reálné a rr = |, p G Z, g G N definujte ď.
4.* Pro a > 0 reálné &, x,y racionální, dokažte, že a^a^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^.
5. Pro a > 1 a x E R definujeme ď = supja^ G R; y G Q,y < x}. Udělejte totéž pro a G (0,1).
6. * Dokažte, že funkce     je rostoucí pro a > 1 a klesající pro a G (0,1).
7. * Pro a > 0 reálné a x, y reálná, dokažte, že cŕa^ = ax+y a (a:E)ž/ = a^. 8. Nakreslete graf exponenciální funkce pro různá a.
Příklad 7.2:   Logaritmická funkce \ogax.
1. Definujte inverzní funkci k funkci /.
2. Definujte \ogax jako inverzní funkci k exponenciální funkci ď.
3. Jak je to s monotonií logaritmické funkce? Nakreslete grafy logaritmické funkce pro různé základy.
Příklad 7.3:   Z vlastností exponenciálních funkcí dokažte tyto vlastnosti logaritmických funkcí: 3. log^) =y\ogax.
logb « '
5. loga6
logb « '
5,    bl°gac = Cl0gab.
7. \ogaV xy = \oga x. Doplňte vždy chybějící předpoklady na použité parametry a, b, c, x, y.
Příklad 7.4: Určete 1. 491^l1°g7 25i
5#  32 log3 2+log3 5 ^
6  -^ + ^___1—
log23      log49 log83'
7. 36logs5 + 101_logl°2 — 3logs}36.
Příklad 7.5:   Pomocí čísel a, b, c vyjádřete x: 1. x = log100 40;    a = log2 5. 2- x = log6 16;    a = log12 27.
3. x = \og^;    a = log2, 6 = log3, c = log5.
4. x = log140 63;    a = log2 3,6 = log3 5, c = log7 2.
Příklad 7.6:   Řešte v IR rovnice: 1. 4X + 2X+1 = 24.
2. log^ogVv7^).
3.   81'°S5 3.
4. log2| + log4f.
2. |rr
1.
3. 6-9
,x
13 • 6X + 6 • 4:
X
0.
Příklad 7.7:   Řešte v IR rovnice:
1. log5 + \og(x + 10) = 1 - \og(2x - 1) + log(21x - 20).
2- logo,5x ^2 - 14 logi6x ^3 + 40 log4s y/x = 0.
3. 15logs3 • ^i+iogsOO = i,
4. log \/l + x + 3 log y/1 — x = log \/l — X2 + 2.
Příklad 7.8:   Řešte v IR nerovnice: 1   -L- < i
3^+5 — 3x+1-l^
2. 8X + 18x - 2 • 27x > 0.
3- ^og(x_2)(2x - 3) > log(:c_2)(24 - 6x). 4. xlog2x > 2.
Příklad 7.9:   a) Řešte v IR rovnici log3    • log9 x = 3.
b) Využijte předchozí výsledek a vyřešte rovnici log3(|,z| + l)2 • log9(|,z| + 1) = 3.