Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 20. listopadu 2024.
8   Goniometrické funkce
Cvičení konaná 18. a 20. 11. 2024.
Příklad 8.1:   Odvoďte základní vztahy:
1. sin2 x + cos2 x = 1,
2. sin(—x) = — sinx,   cos(—x) = cosx,   tg(—x) = — tgx,
3. sin(x + 27r) = sinx,   cos(x + 2%) = cosx,   tg(x + 7r) = tgx,
4. sinx = sin(7r — x) = — sin(7r + x) = — sin(27r — x),
5. COS X = — COs(7T — x) = — COs(7T + x) = COs(27T — x),     tg X = — tg(7T — x).
6. cosx = sin(x + f) = sin(| — x),   sinx = cos(| — x).
Příklad 8.2*: Předpokládejme, že platí e%x = cosx + i sinx, kde x je libovolné reálné číslo. Dále předpokládejme, že pro umocňování reálného čísla e na komplexní čísla platí obvyklé vlastnosti pro umocňování. Odvoďte součtové vzorce
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,    cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y .
Součtových vzorců využijte k odvození vzorců (e) a (f) z předchozího příkladu.
Příklad 8.3:   Odvoďte dále vztahy:
1. sin2x = 2 sinx cosx,   cos 2x = cos2 x — sin2 x,
2. sin x + sin y = 2 sin      cos     ?   cos ^ + cos V = 2 cos      cos ?
3. sinx — siny = 2 sin      cos     ,   cosx — cosy = —2 sin sin
Nápověda: V částech 2. a 3. napište x = a + (3 a y = a — (3 a použijte součtové vzorce.
Příklad 8.4: Za předpokladu, že výrazy dávají smysl, dokažte následující rovnosti. Popište, pro které hodnoty tyto rovnosti platí.
1. tg(x + y) = -ÍSftípL
o v     •a;       1—tg a: tg?/'
2. tg(x-y) = ^-Jy ,
o v l+tgxtg?/'
3. tgx-tg(§ +x) = -1.
Nápověda: 1) Ve vztahu tg(x + y) = ^^^j použijte součtové vzorce pro sin(x + y) a cos(x + y).
2) Ve vztahu tg{x — y) = ^^Z^ použijte součtové vzorce pro sh\(x — y) a cos(x — ?/). 3,) Ve
výrazu tg (f + ^) = použijte vzorce pro sin(^ + x) a cos(| + rr).
Řešení: 1) Rovnost platí pokud {x, y, x + y} H {| + kir \ k G Z} = 0. ž1^ Rovnost platí pokud {x,y,x — y} H {| + A;7r | A; G Z} = 0. 3,) Rovnost platí pro i /y + /c7r, A; G Z.
Příklad 8.5:   Odvoďte následující vztahy (a promyslete, pro které hodnoty x G IR platí):
.        _ 2tgf
1. SIM - 1+tg2 | ,
1    +„2 ^
2. cosrr
3. tgx = j
i+tg2 f'
2 tg f
-tg' f '
Nápověda: Ve všech případech na pravé straně použijte tg | = a následně upravte složený zlomek.
Řešení: Ve všech případech musí platit x ^ (2k+ 1)tt, k G Z. V případě 3. navíc x ^ ^ + kir,
k e z.
Příklad 8.6:    a) Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokažte:
4 cotg 2x
sin2x
cotg2x — tg2x
b) Určete, pro která reálná čísla x mají výrazy smysl.
Řešení: a) Samozřejmě použijeme známé vztahy sin2x = 2 sin x cos x a cos2x = cos2 x — sin2x. Připomeňme vzoreček AA — BA = (A2 — B2)(A2 + B2), který pro A = cosx a B = sinx dává cos4x — sin4x = cos2 x — sin2 x = cos2x; protože cos2 x + sin2 x = 1 (pro libovolné x). S využitím těchto vztahů můžeme upravit pravou stranu takto:
a      i    o A    cos 2x a        cos 2x o '22
4cotg2x 4-—^        4- 2sinxcosx     n     cos2x       sin x cos'z
2
COtg2X - tg2X       cos2 a _ sin2 a cos* s-sin4 x sinXCOSX    COS4 X — SÍn4 X
Zde lze pokrátit zlomek výrazem cos4 x — sin4 x = cos 2x a také sin x cos x. Tím dostaneme výraz 2sinxcosx; který je roven sm2x, tj. pravé straně dokazované rovností.
b) Předně pro x musí být definovány hodnoty tg x a cotgrr. Tedy x nesmi být tvaru | + kir, resp. kir, pro k E Z. Tzn. x G' {k ■ | | fc G Z}. Dále potřebujeme, aby cotg2x ^ tg2x, tj. aby cos4x ý sin4x. Tato podmínka je ekvivalentní s podmínkou |cosx| ý |sinrr|, a tedy x ý f + ^'f; pro k e Z. Celkem x £ {k ■ f | k E 1} = {A; • f | k E 1} U {f + k ■ f | k E 1}.
Příklad 8.7:   Za předpokladu, že výrazy na obou stranách rovnosti dávají smysl, dokážte:
i. sin;+3cr = i+tgx+tg2 x+tg3 x,
2. i±š£2x =tg(f +ar),
cos 2x o v 4   1     / ?
3.
cos 2x
tg 3a _        3—tg2 x
tgx        1—3tg2x'
^    1—cos 2a+sin2a _      ts X
1+cos 2x+sin 2x        ° '
5. cos6 x — sin6 x = | (3 + cos2 2x) cos 2rr,
6. sinrr cos(í/ — x) + cosrrsin(í/ — x) = siny.
Nápověda: 1) Na pravé straně použijte tgx = upravte na společný jmenovatel a použijte
vztah sin2x + cos2x = 1.2) Použijte součtový vzorec pro tg(x + |); upravte složený zlomek a pak porovnejte s levou stranou. 3) Použijte součtový vzorec pro tg(3rr) = tg(rr + 2x), pak znova pro tg(2rr) = tg(x + x) a upravte složený zlomek. 4) Použijte vzorce pro sin(2x) a cos(2x) a také sin2 x + cos2 x = 1; výsledný zlomek pak zjednodušte. 5) Použijte vztah a6 — 66 = (a2 — b2)(a2 + ab + 62)(a2 — ab + b2). Přitom zde a2 + b2 = 1 a 1 — a262 = 1 — | sin2 2rr. 6) Použijte součtové vzorce.
Řešení: 1) Vztah má smysl pro x ^ kir + |; k E Z. ^ V jisté fázi se hodí rozšířit pravou stranu zlomkem ^ffžjřf^- Vztah má smysl pro x ý f + > k E li. 3) Vztah má smysl pro x ý =tf + ^-1^7^ A;7r; k E 1. 4) Vztah má smysl pro x ^ | + kn a x ^ —| + kn, k El. 5) Vztah má smysl pro každé x E IR. 6) Vztah má smysl pro každé x E IR.
Příklad 8.8:   Vypočtěte bez kalkulačky:
1. cos 15°,
2. tg 75°,
3. tg 20° + tg 40° + y/Š tg 20° tg 40°,
4. sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°,
Nápověda: 1) 15 = 45 — 30. 2) 75 = 45 + 30. 3) použijte vztah 8.4-1 pro argumenty 20° a 40°. 4) použijte vztahy z přikladu 8.1 na posunutí argumentů do základního intervalu. Potom součtový vzorec na součet prvních dvou členů a vzorec z 8.4-3 na třetí sčítanec. 5) použijte poslední vzorec z 8.3-3 v opačném směru.
Řešení: + ^3). 2)2 + y/Ž. 3) VŽ. 4) 0. 5) 0.
Příklad 8.9*:   Dokažte, že pro vnitřní úhly ct,/3,7 trojúhelníka platí:
cos a + cos p + cos 7=1+4 sin — sin — sin —.
Příklad 8.10:   Řešte v IR následující rovnice. Vždy určete počet řešení v intervalu [0,27r).
1. sin 2x = \/2 COS X,
2. 2 sin2 x + 7 cos x — 5 = 0,
3. 2 cos x cos 2x = cos x,
4. y/3 cosx + smi = 2,
5. sin 3x + sin x = sin 2x,
6. sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x,
7. sin 2x + cos 2x = sin rr + cos x.
Nápověda: 1) Použijte 8.3-1). 2) Nahraďte sin2x (pomocí goniometrické jedničky) výrazem 1 — cos2 x a řešte kvadratickou rovnici v proměnné y = cos x. 3) Po převedení na levou stranu, lze cosx vytknout. 4) Podělte 2 a použijte 8.2 zprava doleva. 5) Použijte 8.3-2) na levou stranu. 6) Použijte 8.3-2) zprava doleva. 7) Použijte 8.1-6) a 8.3-2).
Řešení: Ve všech případech se řešení periodicky opakují podobně jako v předchozím případě. Lze je tedy i podobným způsobem zapsat. My zde uvedeme pouze výčet řešení v intervalu [0,27r).
1 )   —    —    ^2l 37T
V 4' 2'  4 '  2 '
6) )   7T 5-7T
3, 3 .
J/2'2'6'6'6' 6'
Příklad 8.11:   Řešte graficky v IR následující nerovnice.
1. sinrr > ^
2. sinrr < cosrr,
3. tgrr < — y/Š.
Řešeni: Řešením je vždy sjednocení |JfcgZ Ik- Jednotlivé množiny Ik jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [{2k —       (2k + 1)tv], resp. [(k — |)7r, (k +
1) Ik = (f + 2kn,^ + 2kn).
2) h = (-f + 2A;7r,f + 2kn).
3) h = (-f + fc7r,-f+ fc7T).
Příklad 8.12:   Řešte v IR následující nerovnice.
1. sin3rr < sinrr,
2. 2 cos2 x + 5 cos x + 2 > 0,
3. sin x + cos x < ,
COS X '
4. sin2rr + sin x < 0,
5. 1 — cosrr < tg x — sin x,
6. sin x + sin 2rr + sin 3rr < 0,
7. sin 3rr > 4 sin x cos 2rr.
Nápovéda: 1) Použijte 8.3-3). 2) Použijte substituci y = cos x a řešte kvadratickou nerovnici. 3) Pronásobte cos x a použijte 8.1-1). Potom lze délit sinrr, ovšem pozor na znaménka při násobení a delení. 4) Použijte 8.3-2). 5) Pravá strana je součin levé strany a tgrr. 6) Sečtete (dle 8.3-2)) sinrr + sin3rr. 7) Vyjádřit obě strany pomocí sin x (za použití 8.2, resp. 8.3-1), s přihlédnutím k 8.1-1).
Řešení: Řešením je vždy sjednocení\jkeIiIk množin Ik- Jednotlivé množiny Ik jsou množiny řešení dané nerovnosti na intervalu [2kiT, (2k + 2)tt], resp. [{2k — 1)tt, (2k + 1)tv].
1) Ik = (l + 2kn, f + 2kn) U Cf + 2kn, f + 2kn) U (7f + 2^ 2ír + 2k^),
2) Ik = [-f+ 2fc7r,f+ 2fc7r],
3) Ik = (z + 2kn, f + 2kn) U (tt + 2kn, ^ + 2kn) U      + 2kn, 2tt + 2kn), l) Ik = [2zl + 2kn, tt + 2kn] U [4f + 2A;tt, 2tt + 2A;tt],
í h = (f + 2A;7r, f + 2A;tt) U      + 2Ä;7r, f + 2A;tt) U {2A;7r};
6) Ik = (| + 2A;tt, ^ + 2ä;tt) U (tt + 2kn, ^ + 2Ä;7r) U      + 2kn, 2tt + 2fc7r),
7) ik = h + 2kn,    + 2ibr) U (tt + 2ibr, ^ + 2kn) U       + 2kn, 2tt + 2ibr).