Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 27. listopadu 2024.
9   Inverzní funkce (goniometrických funkcí)
Cvičení konaná 2. a 4. 12. 2024.
Příklad 9.1: Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. Na těchto intervalech určete inverzní funkci.
1. f(x) = x2 + x — 6,
2. f(x) = Vx2 + 4x- 12.
Řešeni: 1) l\ = (—oo, —1/2] a I2 = [—1/2, 00); Pro l\ je inverzní funkce f^1(x) = — | — \j x + y> s definičním oborem [— ^, 00] a oborem hodnot I\; Pro I2 je inverzní funkce f~l(x) =
~\ + \/x + f> s definičním oborem [—^,00] a oborem hodnot I2. 2) l\ = (—00,—6] a I2 =
[2, 00); Pro l\ je inverzní funkce f~l{x) = —2 — \/x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot l\; Pro I2 je inverzní funkce f^(x) = —2 + y/x2 + 16, s definičním oborem [0, 00] a oborem hodnot J2.
Příklad 9.2: Funkce arcsin je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—f; f ]• Napište předpis inverzní funkce k funkci sin na intervalu
1. [2fc7r-f;2fc7r + f],
2. [(2k + 1)tt - f; (2/c + 1)tt + |] pomocí funkce arcsin.
3 Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí cos, arccos, resp. tg, arctg. Řešení: 1) arcsin x + 2kir. 2) — arcsin x + (2k + 1)tt.
Příklad 9.3: Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce / monotónní. Na tomto intervalu určete inverzní funkci.
1. /(x) = sinx • cosx,
2. f(x) = sinx + cosrr,
3. f (x) = y/Š ■ sin x + cos x,
4. f (x) = log(cosrr),
5. f (x) = log(log(rr+ 10)).
Řešeni: 1) f(x) = ±sin2a;, I = [-tt/4,tt/4], #(/) = [-1/2,1/2], tzn. f'1 (x) = |arcsin2rr s definičním oborem [—1/2,1/2] a oborem hodnot I.
2) f (x) = V2-coS(x-n/A), I = H(f) = [-y/2, y/2], tzn. f~\x) = - arccos(^f) + f s definičním oborem [—\/2, y/2] a oborem hodnot I.
3) f(x) = 2 ■ sin(rr + n/Q), I = [—|tt, |tt], H(f) = [-2,2], tzn. f'1 (x) = arcsin(f) - f s definičním oborem [—2,2] a oborem hodnot I.
4) Protože funkce cos (a tudíž i funkce f) nabývá v bode 0 svého maxima, existují dva maximální intervaly I\ a J2 obsahující bod 0, kde je f monotónní: I\ = (—1,0] a J2 = [0, |). V obou případech je H(f) = (—oo,0]. Pro I\ je inverzní funkce f~x(x) = — arccos(ÍO^), s definičním oborem (—oo,0] a oborem hodnot I\; Pro J2 je inverzní funkce f~x(x) = arccos(10:E), s definičním oborem (—oo, 0] a oborem hodnot J2.
5) Definiční obor funkce f je (—9, oo) a obor hodnot je IR. Funkce je na svém definičním oboru rostoucí. Tedy f~ľ(x) = 101QX — 10 má definiční obor IR a obor hodnot (—9, oo).
Příklad 9.4: Funkce arccos je inverzní funkce k funkci cos : [0,7r] —y [—1,1]. Pomocí této funkce vyjádřete funkci g, která je inverzní k funkci f(x) = 3 cos 2x — 1 uvažované na intervalu [f,7r]. (Definiční obor funkce g je tedy obor hodnot funkce /, pokud zúžíme definiční obor funkce / na interval [|,7r].)
Řešení: Pro x G [§,7r] máme f{x) = 3cos2rr — 1 G [—4,2]. (Poznamenejme, že funkce je na intervalu [f ,7r] rostoucí, a tedy funkce g je jako inverzní funkce k f dobře definována.) Proto g : [—4, 2] —y [f, 7r]. Pro dané y G [—4,2] chceme ze vztahu 3 cos 2x — 1 = y vypočítat pro toto y správnou hodnotu x G [§,7r]. Dostáváme cos2rr = íi-^/, kde G [—1,1]. Pokud nyní použijeme funkci arccos, dostaneme hodnotu a = 2x = arccos(ayi) G [0,7r]. My ale hledáme b = 2x G [tv, 2-k] s vlastností cos b = cos a. Takové b zřejmě splňuje b + a = 2%. Tedy 2x = b = 2n — a = 2n — arccos(^-). Odtudx = n — | arccos(^-). (Všimněme si, že |arccos(a|-) G [0, |], a proto x G [f,7r], jak bylo požadováno.) Závěr tedy je, že funkce g : [—4,2] —y [| ,7r] je dána předpisem g(x) = n — \ arccos(^j^).
Příklad 9.5: Následující vztahy lze použít pro výpočet arccos x a arctanrr při znalosti hodnoty arcsinrr. Dokažte tyto vztahy.
1. Pro libovolné x G [—1,1] platí arcsinrr + arccos x = |.
2. Pro libovolné x G IR platí arctanrr = arcsin í-^=).
Nápověda: 1) Použijte vztah cosy = sin(| — y) = x pro y G [0,n]. 2) Um.ocněte na druhou x = tsy =       a nahraďte cos2 y výrazem 1 — sin2 y. Následně rovnost upravte rovnost do tvaru
° a       cos y v    a a i
x2 = (x2 + 1) sin2 y, z níž lze hodnotu y = arctanx vypočítat pomocí funkce arcsinx.
Příklad 9.6:   Určete nejmenší periodu zadané funkce:
1. f(x) = sinx + cosx,
2. /(x) = sin 3x,
3. /(x) = | cos2x|,
4. f(x) = sin i,
5. /(x) = sinx2,
6. /(x) = sinx + tgx.
Řešení: 1) 2n. 2) f. 5; f.     není periodická. 5) není periodická. 6) 2ir.