Ml 130 — Příklady ze cvičení a domácí úlohy na procvičení Aktuální verze sbírky ze dne 27. listopadu 2024.
9   Inverzní funkce (goniometrických funkcí)
Cvičení konaná 2. a 4. 12. 2024.
Příklad 9.1: Najděte maximální intervaly, na kterých je funkce / monotónní. Na těchto intervalech určete inverzní funkci.
1. f(x) = x2 + x — 6,
2. f(x) = Vx2 + 4x- 12.
Příklad 9.2: Funkce arcsin je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—§;■§]• Napište předpis inverzní funkce k funkci sin na intervalu
1. [2fc7r-f;2fc7r + f],
2. [(2k + 1)tt - f; (2k + 1)tt + § ] pomocí funkce arcsin.
3 Navrhněte a řešte analogickou úlohu pro dvojice funkcí cos, arccos, resp. tg, arctg.
Příklad 9.3: Najděte maximální interval obsahující 0, na němž je funkce / monotónní. Na tomto intervalu určete inverzní funkci.
1. f(x)	= sinx ■ cosx,
2. f(x)	= sinx + cosx,
3. f(x)	= y/Š ■ sin x + cos x
4. f(x)	= log(cosrr),
5. f(x)	= log(log(x+ 10)).
Příklad 9.4: Funkce arccos je inverzní funkce k funkci cos : [0,7r] —> [—1,1]. Pomocí této funkce vyjádřete funkci g, která je inverzní k funkci f(x) = 3 cos 2x — 1 uvažované na intervalu [f,7r]. (Definiční obor funkce g je tedy obor hodnot funkce /, pokud zúžíme definiční obor funkce / na interval [|,7r].)
Příklad 9.5: Následující vztahy lze použít pro výpočet arccosrr a arctanx při znalosti hodnoty arcsinx. Dokažte tyto vztahy.
1. Pro libovolné x E [—1,1] platí arcsin :r + arccosa: = |.
2. Pro libovolné x E IR platí arctanrr = arcsin (^£2+1) •
Nápověda: 1) Použijte vztah cos y = sin(| — y) = x pro y E [0,n]. 2) Umocněte na druhou x = tg y = a nahraďte cos2 y výrazem, 1 — sin2 y. Následně rovnost upravte rovnost do tvaru x2 = (a?2 + 1) sin2 y, z níž lze hodnotu y = arctanx vypočítat pomocí funkce arcsin x.
Příklad 9.6:   Určete nejmenší periodu zadané funkce:
1. f(x)	= sin x + cos x
2. f(x)	= sin 3x,
3. /(*)	= | cos2rr|,
4. f(x)	= sin -,
5. f(x)	= sinrr2,
6. f(x)	= sin a* + tgx.