\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  1. cvičení z M1110 -- afiiní prostory, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ } Ukažte, že definice afinního prostoru pomocí operace sčítání bodů a vektorů je ekvivalentní definici afinního prostoru pomocí operace odčítání bodů. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Ukažte, že definice kombinace bodů
$$t^0A_0+t^1A_1+\dots +t^nA_n\myeq O+t^0(A_0-O)+t^1(A_1-O)+\dots+t^n(A_n-O)$$
nezávisí na volbě bodu $O$, právě když 
$$t^0+t^1+\dots+t^n=1.$$
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ }  Ukažte, že $(E_0,E_1,\dots,E_n)$ je bodová báze afinního prostoru, právě když $(E_0, E_1-E_0,E_2-E_0,\dots,E_n-E_0)$ je jeho afinní báze.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } Spočítejte barycentrické souřadnice těžiště trojúhelníka v bodové bázi tvořené vrcholy trojúhelníka. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } Nechť $\mathcal A_n=\{(x_0, x_1,\dots, x_n)\in \mathbb {K}^{n+1}; x_0=1\}$. Pro afinní podprostor $\mathcal B\subseteq \mathcal A_n$ najděte vektorový podrostor $\widehat{\mathcal B}\subset \mathbb{K}^{n+1}$ takový, že $\mathcal B\subset \widehat{\mathcal B}$ je nadrovina neprocházející počátkem.
Pro $\mathcal B=\{(1,x)\in \mathbb{K}^{n+1}; x=(x_1,x_2,\dots,x_n), \  Ax=b\}$ popište  $\widehat{\mathcal B}$ rovněž implicitně.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ } Zobrazení $\varphi:\A\to \B$ mezi afinními prostory je afinní, právě když zachovává afinní kombinace bodů. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } Dokažte, že afinní zobrazení $\varphi: \A_n\to\A_k$ jednoznačně odpovídají lineárním zobrazením $\psi:\K^{n+1}\to \K^{k+1}$ splňujícím
$\psi(\A_n)\subseteq \A_k$.
\end{zad}




\end{document}

