1. cvičení z M1110 - afiiní prostory, podzim 2024
Příklad. 1. Ukažte, že definice afinního prostoru pomocí operace sčítání bodů a vektorů je ekvivalentní definici afinního prostoru pomocí operace odčítání bodů.
Příklad. 2. Ukažte, že definice kombinace bodů
t°A0 + t1A1 + ■■■ + tnAn = O + t°(A0 - O) + t1(A1 - O) + • • • + ť(An - O) nezávisí na volbě bodu O, právě když
í° + í1 + --- + ín = 1.
Příklad. 3. Ukažte, že (E0, Ei,..., En) je bodová báze afinního prostoru, právě když (E0, Ei — E0, E2 — E0,..., En — Eq) je jeho afinní báze.
Příklad. 4. Spočítejte barycentrické souřadnice těžiště trojúhelníka v bodové bázi tvořené vrcholy trojúhelníka.
Příklad. 5. Nechť An = {(x0, xi,..., xn) e Kn+1; x0 = 1}. Pro afinní podprostor B C An najděte vektorový podrostor B C Kn+1 takový, že B C B je nadrovina neprocházející počátkem. Pro B = {(l,x) e ~kn+1;x = (xi, x2,..., xn), Ax = b} popište B rovněž implicitně.
Příklad. 6. Zobrazení tp : A —> B mezi afinními prostory je afinní, právě když zachovává afinní kombinace bodů.
Příklad. 7. Dokažte, že afinní zobrazení tp : An —?■ Ak jednoznačně odpovídají lineárním zobrazením ip : Kn+1 —> Kfc+1 splňujícím ip(An) C Ak-
i