2. cvičení z Ml 110 - projektivní prostory, podzim 2024
Příklad. 1. Zopakujte si definici projektivního prostoru V (V) s aritmetickým základem V. Co jsou přímky v projektivním prostoru?
Příklad. 2. Představme si dvourozměrný projektivní prostor "P(IR3) jako sféru S2, kde ztotožníme protilehlé body. Jak si můžeme v tomto modelu představovat přímky? Jak je to s průniky přímek? Jak je to s průniky přímek ve třírozměrném projektivním prostoru?
Příklad. 3. Dokažte, že lineární zobrazení zadávající kolineaci je určeno jednoznačně až na násobek. Odtud plyne, že grupa kolineaci projektivního prostoru Vn je PGL(n + 1, K) = GL(n + 1,K)/K*.
Příklad. 4. Popište konstrukci projektivního rozšířrní A2 afinního prostoru A2. Co jsou vlastní a nevlastní body tohoto rozšířrní? Pokuste se tuto kontrukci popsat pro obecný afinní prostor A. To znamená, definujte pomocí A vektorový prostor V s operacemi sčítání vektorů a násobení skalárem, v němž je A nadrovinou neprocházející počátkem.
Příklad. 5. Popište vztah mezi injektivními afinními zobrazeními tp : An —> Ak a kolinea-cemi ip : Vn —> Vk a ukažte, že grupa afinních transformací afinního prostoru An je
Příklad. 6. Uvažujme parabolu x2 = (xi)2 ve dvourozměrném afinním prostoru. Co je její projektivní rozšíření? Spočtěte, kde se potkávají její ramena {(1 : x\ : x\) E R2, x\ > 0} a
Příklad. 7. Najděte kolineaci, která převádí dvojici přímek p : x\ + x2 = 1, q : x\ + x2 = 0 na dvojici přímek r : yi = 1, s : y2 = 0. Ukažte, že tato kolineace nemůže být afinní transformací.
Příklad. 8. Najděte kolineaci, která převádí kružnici x\ + x\ = 1 na parabolu yi + Ayl = 0. Ukažte, že tato kolineace nemůže být afinní transformace.
{(1 : Xl : x2) e R2,
xi < 0}.
1