3. cvičení z M1110 - kuželosečky a kvadriky, podzim 2024 Příklad. 1. Co je kvadrika v reálném afinním prostoru Co je kvadrika v reálném projektivním prostoru V(Rn+1)l Co je rozšíření kvadriky z afinního prostoru do jeho projektivního rozšíření? Demonstrujte rozšíření na příkladech kružnice a paraboly. U projektivních rozšíření kuželoseček v těchtom příkladech, najděte jejich nevlastní body. Kw^nl^ v IR) (a) přejme ^ WKiídčL (V) A inř>w# (2.) ŇevUšínx bott (.0-0-4) 2 Příklad. 2. Je-li kvadrika v projektivním prostoru zadána Q = {[x] E V(Rn+1); f (x, x) 0}, kde / je reálná symetrická forma na Rn+1, pak její komplexní rozšírení je Qc = {[x}eV(Cn+1)-f(x,x) = 0}. Důvodem, proč uvažujeme komplexní rozšírení kvadrik, je skutečnost, že komplexní rozšírení jsou na rozdíl od reálných kvadrik neprázdná. Uveďte nějaký příklad. Důvodem ( fwc uva^ujeno kompiew Yv&ireHi kvadrikt je, , re chcetoe,*^ kv&foik.^ rko Oi^ihhiw ) prostom koY^fov^ doval y £ umb^wi Příklad. 3. Z lineární algebry II víme, že každou reálnou symetrickou bilineární formu lze psát v souřadnicích vhodné báze pomocí pomocí součtu kvadrátů s koeficienty nejdříve 1, pak -la nakonec 0. Takovéto bilineární formy až na násobek dávají tzv. projektivní klasifikaci kvadrik. Napište rovnice pro projektivní klasifikaci kuželoseček. /Jt-f 1 v0 \ v v, V. v0------vá'--v< -> R 4 *6 ,2 ^ Z ?ro/efcfa'VHi' klasrfcWe ^ge|££ecčL( kvadriky v &í) \ uvoliv* ^redlvicfM fříw&íc ^ 2 =0 Příklad. 4. Ukažte, že platí: dvě komplexní rozšíření kuželoseček lze převést na sebe pomocí kolineace v Ví, právě když mají stejnou klasifikační rovnici. Q A # /maji' séefnov U&Si'-fi'fačľii ydvvw'cí A & 3 ™&]\ sh^j'hoii Ci'^hQhuvii M\rCenon o 'O D = TTA T Příklad. 5. Zopakujte si pojem polárně sdružených bodů kvadriky Q = J™ .=0 aijxiXj = xTAx v V{Kn+1). Označení [x] rh [y]. Ukažte, že pokud pro X0 e Q jt X^ = {Y GV(Kn+1y>X0á\Y} nadrovinou, jde o tečnou nadrovinu kvadriky Q v bodě X0. ToläYne sdvui&He hodt^ vzhledem k& kvadrice. Qj f Hadrovna, v (PÍK*"1) nebo cele fltt"') //Vi • foryn4 v fy VokuM je j/Vi. ^e>ŕkM4. hulov*'t fe> dim ^citv*-* fttfŽrgW SlÁ/éUlďRJi/l' Mirtozé A ^ H+f) , kvodu° Rfr&ULti-Rvf &e<£hď v\a.d\ro\/i'ýi4b . freeht^ Híí) ^ kňVLa, v § faíova.'t * ^10)^^0 . X'/ŕ) Jô ír - \ T&chéb prochat ' hodem ~~ 1 'I I) L< = *><0 * "'H*' fcrfrwaČHg' . fesYme proto ícws**"" ™v-mc yT A x - 0 (V ( 3, t) A > = # PosfcaWW 6 - 3>f "0 -> ^-3^-6. 2) = 4 >^ ='3 To vím de feeeeví jsou L 3, Y 3 + hi.Ori) Y< =3 Příklad. 7. Určete tečny kuželosečky 4xx + 2x2 - 4:Xix2 -4 = 0 rovnoběžné se směrem vektoru n = (1, 2). vektorem C^, 2.) s hei/faafchi'^ hodem becnt^ (0:4- 2), UJ T^éo y2 = £-2>7 . Dosazením do rovv\(a^ CO, 13 +b(i,z) £>,-y2 = -2. f^Oj r fc UZ) ^ a ^ Příklad. 8. Určete kuželosečku procházející body A1 = (0:1: 1),A2 = [0,1], A3 = [1 0] ^ = [1,-1], As = [-1,1]. Tomci íui&loeeČktf hledejme ve -tvaru Matice ^ |f | | \ 4 * t Z T- V / Ai & Q, a. -ik-t c ^0 //) AzgQ atet ~0 (3) A* £rQ> Aib-£ + ^--e-t f- =0 As-eť^ 0,1^ -c -cL +í ~0 ls) Dosažní' eto f --kóu fápypičiis ku žslosečltfi je- Y,z v * * - 2 * V i + 3 * , f 3 y , - £ Příklad. 9. Střed kvadriky v afinním prostoru je bod projektivního rozšíření afinního prostoru, který je polárně sdružený se všemi nevlastními body. Je-li Q = {[x] e V(Rn+1);xTAx = 0}, napište rovnice pro střed. Najděte vlastní nebo nevlastní střed kuželoseček: (1) x\ - áxtx2 + x\ + 8zi + 2x2 - 1 = 0. (vlastní střed S = (1 : 2 : 3)) (2) x\ - 4zi + 2x2 + 5 = 0. (nevlastní střed S = (0 : 0 : 1)) Středí S = K .-sf £ /o^l^ Se všemi ýievláštw mť \p&d(^ [O 4 O... o) /\ / ^ \ = # (i? 0 0...O*) A í ;A =-0 do So * a£i S, * 4Z