3. cvičení z Ml 110 - kuželosečky a kvadriky, podzim 2024
Příklad. 1. Co je kvadrika v reálném afinním prostoru *4.n(IR)? Co je kvadrika v reálném projektivním prostoru "P(IRn+1)? Co je rozšíření kvadriky z afinního prostoru do jeho projektivního rozšíření? Demonstrujte rozšíření na příkladech kružnice a paraboly. U projektivních rozšíření kuželoseček v těchtom příkladech, najděte jejich nevlastní body.
Příklad. 2. Je-li kvadrika v projektivním prostoru zadána Q = {[x] E "P(IRn+1); f (x, x) = 0}, kde / je reálná symetrická forma na IRn+1, pak její komplexní rozšíření je
Qc = {[x]eV(Cn+1);f(x,x) = 0}.
Důvodem, proč uvažujeme komplexní rozšíření kvadrik, je skutečnost, že komplexní rozšíření jsou na rozdíl od reálnych kvadrik neprázdná. Uveďte nějaký příklad.
Příklad. 3. Z lineární algebry II víme, že každou reálnou symetrickou bilineární formu lze psát v souřadnicích vhodné báze pomocí pomocí součtu kvadrátů s koeficienty nejdříve 1, pak —la nakonec 0. Takovéto bilineární formy až na násobek dávají tzv. projektivní klasifikaci kvadrik. Napište rovnice pro projektivní klasifikaci kuželoseček.
Příklad. 4. Ukažte, že platí: dvě komplexní rozšíření kuželoseček lze převést na sebe pomocí kolineace v V2, právě když mají stejnou klasifikační rovnici.
Příklad. 5. Zopakujte si pojem polárně sdružených bodů kvadriky Q = X^ľj=o aíjxíxj = xTAx v "P(Kn+1). Označení [x] rh [y]. Ukažte, že pokud pro X0 E Q je
X$ = {Y eV(Kn+1);X0(t\Y}
nadrovinou, jde o tečnou nadrovinu kvadriky Q v bodě X0.
Příklad. 6. Najděte tečny kuželosečky
2x\ — AX1X2 + x\ — 2xi + 6x2 — 3 = 0
procházející bodem [3,4].
Příklad. 7. Určete tečny kuželosečky
4ei + 2x2 - Axxx2 -4 = 0 rovnoběžné se směrem vektoru n = (1,2).
Příklad. 8. Určete kuželosečku procházející body Ai = (0 : 1 : 1), A2 = [0,1], A% = [1,0], A4 = [1,-1], A5 = [-1,1].
Příklad. 9. Střed kvadriky v afinním prostoru je bod projektivního rozšíření afinního prostoru, který je polárně sdružený se všemi nevlastními směry. Je-li Q = {[x] E V (Wl+1); xT Ax = 0}, napište rovnice pro střed. Najděte vlastní nebo nevlastní střed kuželoseček:
(1) x\ - Ax^2 + xl + 8x1 + 2x2 - 1 = 0. (vlastní střed S = (1 : 2 : 3))
(2) x\ - 4xi + 2x2 + 5 = 0. (nevlastní střed S = (0 : 0 : 1))
1
2
Příklad. 10. Ukažte, že vlastní střed S kvadriky Q podle předchozí definice má geometrickou vlastnost středu, tj. je-li S + v E Q, pak rovněž S — v E Q pro nějaký vektor v ze zaměření afinního prostoru.