4. cvičení z Ml 110 - metrická klasifikace kvadrik, podzim 2024
Příklad. 1. Najděte afinní soustavu souřadnic, v níž má následující kuželosečka kanonickou rovnici v metrické klasifikaci.
3x^ + 10x^2 +      — 2xi — 14x2 — 13 = 0.
Řešení. Vlastní číslo Ai = 8 s vlastním vektorem ui = (l/\/2, l) a A2 = — 2 s vlastním vektorem u2 = (l/y/2,-1 /\/2). Střed S = [2, -1], hyperbola s rovnicí y\ - & = 1. □
Příklad. 2. Najděte kanonickou rovnici kuželosečky
x\ — 2x\X2 + x\ — Axi — 6x2 + 3 = 0.
Řešení. Vlastní číslo Ai = 2 s vlastním vektorem u± = (l/y/2, — 1/\/2~) a A2 = 0 s vlastním vektorem u2 = (l/y/2,1 /y/2). Nemá vlastní střed. Vrchol je V = [1 /40, 21 /40], parabola s rovnicí 2yf — 5\/2y2 = 0. □
Příklad. 3. Najděte kanonickou rovnici kvadriky
x\ — Ax\ + 6x1X3 + x3 + 4xi + 16x2 — 4x3 — 16 = 0.
Řešení. Ax = A, Ul = (l/y/2, 0, l/y/2) a A2 = -2,u2 = (l/v/5,0,-1/^), A3 = -4, m3 = (0,1, 0). Střed je S* = [1, 2, —1]. Jednodílný hyperboloid s rovnicí — 2y\ +4y| — 4y| + 4 = 0. □
Příklad. 4. Najděte kanonickou rovnici kvadriky
hx\ + 8x2 + 5xg + 4xxx2 — 8x!X3 + 4x2x3 + 6xx + 6x2 + 6x3 — 27 = 0
Řešení. Nestředová. Vlastní čísla Ai,2 = 9, ui = -^=(0,2,1), u2 = ^(—5, —2,4), A3 = 0, u3 = |(2, -1, 2). Vrchol je V = [(28/9, -37/18, 28/9]. Rovnice 9xf + 9x^ + 6x3 = 0. □
Příklad. 5. Najděte kanonickou rovnici kvadriky
xi + xl ~ 2xix2 + 2xi + 2x2 - 2\/2x3 -8 = 0.
Řešení. Nemá vlastní střed. Vlastní čísla Ai = 2, u\ = (l/\/2,-l/\/2,0) aA2,3 = 0,vlastní vektory u = (a, a, b). Mezi nimi zvolíme singulární vlastní směr w3 = |(1,1, — y/2) a k němu kolmý u2 = |(1,1, \/2). Vrcholy tvoří přímku, vybereme z nich = [2, 2, 0]. V bázi V, ui,u2, u3) je rovnice y\ + 2y3 = 0. Parabolická válcová plocha. □
1