6. cvičení z M3110 - dualita a polyedry, podzim 2024
Příklad. 1. Najděte duální bázi a* = (J1,/2,/3) k bázi a = (e1,e2,e3) prostoru IR3, jestliže
ei = (0,0,l)T,    e2 = (2,0,l)T,    e3 = (l,2,3)T.
Řešení. Hledejte fl ve tvaru fl(x) = anXi + ai2x2 + ai3x3. Pak matice A = (a^) splňuje rovnici
A ■ (ei e2 e3) = -E.
□
Příklad. 2. Najděte bázi a = (e1; e2, e3) v IR3 tak, aby báze a* = (f1, f2, f3) ^(x) = 2xľ - x2,    f2(x) = x2 - x3.   f3(x) = xx + x2 + x3 byla k ní duální.
Řešení. et = (2/5, -1/5, -1/5)T, e2 = (1/5, 2/5, -3/5)T, e3 = (1/5, 2/5.2/5)T. □
Příklad. 3. Najděte popis duálního zobrazení tp* k lineárnímu zobrazení tp : Kn —> Kfc, if(x) = A ■ x, kde x jsou souřadnice vektoru standardníá báze zapsané ve sloupci.
Řešení. Jestliže píšeme souřadnice v duální bázi do řádku, dostáváme <p*(y) = y ■ A. □
Příklad. 4. Zopakujte si definici faktorového vektorového prostoru. Dokažte: Jestliže V © Z = U, pak vektorový prostor U /V je izomorfní s podprostrporem Z.
Řešení. Izomorphismus ip : Z —^ U /V je zadán předpisem <p(z) = [z] E U /V. □
Příklad. 5. Popište všechny roviny procházející v IR3 přímkou
x\ + x2 — x3 = 0,    x\ — x2 + x3 = 0.
Řešení. Najdeme směrový vektor přímky, p = [(0,1,1)T]. K němu kolmé vektory (6, —a, a) jsou normálové vektory rovin obsahujících přímku p. Proto všechny roviny jsou obsahující přímku p jsou zadány rovnicí
bxi — ax2 + ax3 = 0.
□
Příklad. 6. Užitím Motzkinovy eliminace rozhodněte, zda má systém lineárních nerovností
x,y,z>0
4> x + y + z>2 3 > x + y> 1 2 > z
nějaké řešení. Pokud ano, najděte aspoň jedno.
i
Řešení. Provádíme postupně eliminace proměnné x
y,z>o
4 - y - z > 0 3 - z > 0 1 + z > 0 2 > z
Eliminací y dostaneme
z > 0 4- ^ > 0 2 > z
Tedy 2 > z > 0. Volme z = 1 a dopočítejme í/ai.