\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  8. cvičení z M3110 - lineární programování - tenzorový součin, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.\ }  Nechť $U$ a $V$ jsou vektorové prostory nad $\K$ dimenze $n$ a $p$. Popište bázi vektorového prostoru bilineárních forem na $U\times V$,
značíme ho $\operatorname{Lin}_2(U,V;\K)$, a určete jeho dimenzi. 
\end{zad}

\begin{res} Každá bilineární forma na $U\times V$ je určena svými hodnotami na dvojicích $(u_i,v_j)$, kde $u_i$ tvoří bázi $U$ a $v_j$ tvoří bázi $V$. Báze
$\operatorname{Lin}_2(U,V;\K)$ je dána bilineárními formami $f^i\odot g^j$, kde $f^i$ je duální báze k $u_i$ a $g^j$ je duální báze k $v_j$.
\end{res}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.\ }  Definice vektorového součinu dvou vektorových prostorů konečné dimenze je
$$U\otimes V\cong \operatorname{Lin}_2(U,V;\K)^*.$$ 
Společně s touto definicí uvažujme bilineárním zobrazením 
$$t:U\times V \to  U\otimes V=\operatorname{Lin}_2(U,V;\K)^*: t(u,v)=u\otimes v:\Phi\mapsto\phi(u,v) .$$
To má tzv. univerzální vlastnost. Zformulujte, co to znamená, a proveďte důkaz.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.\ } Jestliže bilineární zobrazení $t:U\times V\to X$ a $s:U\times V\to Y$ mají obě výše uvedenou univerzální vlastnost, pak existuje izomorfismus 
$\varphi :X\to Y$ takový, že $\varphi\circ t=s$.
 \end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } Nechť $U$ a $V$ jsou konečně dimenzionální vektorové prostory nad $\K$ a nechť $F$ je volný vektorový prostor nad množinou $U\times V$.
Uvažujme vektorový podprostor $R$ prostoru $F$ generovaný vektory tvaru
$$a(u,v)-(au,v), a(u,v)-(u,av), (u+v,z)-(u,z)-(v,z), (u,v+z)-(u,v)-(u,z).$$
Potom faktorový vektorový prostor $F/R$ společně s bilineárním zobrazením 
$$t:U\times V\to F/R, t(u,v)=[(u,v)]$$
má univerzální vlastnost z příkladu 2 a tudíž je podle příkladu 3 izomorfní tenzorovému součinu. Zde $[(u,v)]$ je třída z $F/R$ určená dvojicí $(u,v)$.   
\end{zad}

          
\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ }   Z univerzální vlastnosti dokažte, že vektorový součin je komutativní a asociativní.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }   Z univerzální vlastnosti dokažte, že pro každá dvě lineární zobrazení $\varphi: U\to X$ a $\psi: V\to Y$ existuje právě jedno lineární zobrazení
$\varphi\otimes\psi:U\otimes V\to X\otimes Y$ takové, že $\varphi\otimes\psi(u\otimes v)=\varphi(u)\otimes\psi(v)$.
\end{zad}
\end{document}


