8. cvičení z M3110 - lineární programování - tenzorový součin, podzim 2024
Příklad 1. Nechť U a V jsou vektorové prostory nad K dimenze nap. Popište bázi vektorového prostoru bilineárních forem na U x V, značíme ho Lin2(ř7, V; K), a určete jeho dimenzi.
Řešení. Každá bilineární forma na U x V' je určena svými hodnotami na dvojicích (itj, Vj), kde Ui tvoří bázi U a v j tvoří bázi V. Báze Lm2(U, V; K) je dána bilineárními formami fl 0 gi, kde fl je duální báze k Ui a gi je duální báze kvj. □
Příklad 2. Definice vektorového součinu dvou vektorových prostorů konečné dimenze je
U®V^ Lm2(U,V;K)*. Společně s touto definicí uvažujme bilineárním zobrazením
t :U xV        ®V = Lm2(U, V; K)* : t(u, v) = u ® v : $ ^ <f>(u, v). To má tzv. univerzální vlastnost. Zformulujte, co to znamená, a proveďte důkaz.
Příklad 3. Jestliže bilineární zobrazení t : U x V —> X a s : U x V —> Y mají obě výše uvedenou univerzální vlastnost, pak existuje izomorfismus tp : X —> Y takový, že tp o t = s.
Příklad4. Nechť U a V jsou konečně dimenzionální vektorové prostory nad K a nechť F je volný vektorový prostor nad množinou U x V. Uvažujme vektorový podprostor R prostoru F generovaný vektory tvaru
a(u, v) — (au, v), a(u, v) — (u, av), (u + v, z) — (u, z) — (v, z), (u, v + z) — (u, v) — (u, z). Potom faktorový vektorový prostor F/R společně s bilineárním zobrazením
t : U x V -> F/R,t(u,v) = [(u,v)]
má univerzální vlastnost z příkladu 2 a tudíž je podle příkladu 3 izomorfní tenzorovému součinu. Zde [(u, v)] je třída z F/R určená dvojicí (u, v).
Příklad 5. Z univerzální vlastnosti dokažte, že vektorový součin je komutativní a asociativní.
Příklad 6. Z univerzální vlastnosti dokažte, že pro každá dvě lineární zobrazení tp : U —> X a ip : V —> Y existuje právě jedno lineární zobrazení (p (g) tp : U ®V—)■ X ®Y takové, že
ip (g) tp(u <g) v) = <p(u) <g) 4>(v).
i