9. cvičení z M3110 - tenzorový součin, podzim 2024
Příklad 1. Pro vektorový prostor U nad K napište obě zobrazení realizující izomorfismus
U a K (8> U.
Příklad 2. Nechť U je vektorový prostor s bázemi a = (ui, u2,..., un) a (5 = {vi, v2,..., vn a nechť A = {a1-)íj=i je matice taková, že
(UUU2, • • • , Un) = (VUV2, ...,Vn)-A,      tj.     Uj = ^
Vidj.
i=l
Najděte matici B takovou, že pro duální báze a* = (f1, f2,..., /"") a (3* = (g1, g2,..., gn) platí
ľ	= 5	g2	, tj. ř = j2bi9
v/v		Ví? V	i=i
jaký je vztah matic A a 5 s maticemi přechodu (id)a/3 a (id)^.^*?
Příklad3. Nechť U je vektorový prostor s bazí (ui,u2) a duální bází (f1, f2). Vyjádřete tenzor
(Z1 - ľ) ® K + 2m2) Gí/*® č/ = Tl{U) v bázi («1, v2) a duální bází (g1, g2), jestliže
Příklad 4. Uvažujme zadání příkladu 1. Spočítejte souřadnice vektoru u v bázi (3 pomocí souřadnic v bázi j3 a matice A. Analogicky proveďte pro lineární formu /.
Příklad 5. Spočtěte souřadnici t£ tenzoru f2 <g> f1 <g> u3 Q m + f3 ® J3 ® uľ <g> w2 G T2 (K3) v nové bázi
/l  0 0N
(■^1,^2,^3) = (mi,m2,m3)   2   1 0
\3  2 1.
Příklad 6. Popište izomorfismus Hom(č7, V) = V^t/*. Ukažte, že když lineární zobrazení v souřadnicích báze a = (ui, u2,..., un) v U a /3 = {v-i,v2,..., vk) ve V má matici (a*), pak odpovídající tenzor í £ Vr (g> £/* má v bázích /3 a a* souřadnice a*, tj.
t = J2ah®f3-
Příklad 7. Definujte zobrazení evaluace e : U* ®U —> K a zobrazení 5 : K —> U (g) f/*. Spočtěte pro ně složení
(id®e) o (5® id) : U -+ U,   a   (e ® id) o (id ®ô) : f/* U*.
Znázorněte graficky.