10. cvičení z M3110 - symetrické a antisymetrieké tenzory, orientovaný objem, podzim 2024 Příklad 1. Nechť e* je báze U a p duální báze. Spočtěte kontrakci tenzoru (1) 3 ■ Z1 ® ei ® e2 - 2 • /2 ® e2 e2 podle 1. a 2. složky. (2) f2 ® f1 ® es ® ei + /3 ® /3 ® et ® e2 podle druhé a čtvrté složky. £ i 4 <£>*>) - f **) ŕ--? £ ® #M ® i Příklad 2. Vypočtěte tenzorový součin různých matic. Cf : 14—7 V , *t ■ ' ^ A = W/Ó #H C*1r„^r)^^ K i__' St~tr 3 -i 1 S / j 2. S- S~ 10 é -3- 4b ~2-0 6 4Z C?) 4* C ji. 4 , 2. Příklad 3. Nechť stopa čtverové matice je označena tr A. Vypočtěte tr(A®B) pomocí tr *4 atrB. ®V)®(l4e>v)Jk #W 114, 14) *■ U © //* •^W- O, V) - V ®V £M#^tt' Cf (£> : //<£>(/ 14® V ^/b^t^k ' Příklad 4. Symetrická mocnina. Pro vektorový prostor U dimenze n nad K napište definici symetrické mocniny SqU jako kvocientu prostoru (g)9 U. Jak pomocí báze prostoru U popíšeme bázi SqU a jaká je dimenze SqUl Tvrzení o dimenzi dokažte. Zformulujte univerzální vlastnost symetrické mocniny SqU. i 4*1 (f} f i 3 0 . \ - 4* o wyto o----- S^M --> W 1 Příklad 5. Symetrické tenzory Pomocí grupy permutací q prvků definujte symetrické tenzory v 09 U. Co platí pro souřadnice symetrických tenzorů? Definujte zobrazení symetrizace tenzoru Sym:0tf-*$£/: V textu k přednášce (kapitola 8) je dokázáno, že obrazem tohoto zobrazení je podprostor symetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. Spočítejte symetrizaci tenzoru t — ui u2 — 3u4 ux e (g)2 U. 7\ $c*r ft4 (E^; Příklad 6. Symetrická mocnina a polynomy. V (Kn)* uvažujme duální bázi ke standardní bázi v Kn. Je tvořena formami x\ xi(u) je i-tá souřadnice vektoru u ve standardní bázi. Uvědomte si symetrická mocnina Sq(Kn)* je prostor homogenních polynomů stupně q v n proměnných r ^^^^ Příklad 7. Antisymetrická mocnina. Pro vektorový prostor U dimenze n nad K napište definici antisymetrické mocniny A9Č7 jako kvocientu prostoru (g)9 U. Jak pomocí báze prostoru U popíšeme bázi A"U a jaká je dimenze A f e 3^ J fit ctísm; ^ne^ Příklad 8. Antisymetrické tenzory Pomocí grupy permutací q prvků definujte antisymet-rické tenzory v (g)9 U. Co platí pro souřadnice antisymetrických tenzorů? Definujte zobrazení antisymetrizace tenzoru i q Alt:(g)£/->0£/. V textu k přednášce (kapitola 8), že obrazem tohoto zobrazení je podprostor antisymetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. Spočítejte antisymetrizaci tenzoru t = u1®u2® (u^ — lu\) e (g)3 U. f -p Příklad 9. Zopakujte si definici antisymetrická mocniny lineárního zobrazení. Uvažujte vektorový prostor U dimenze n s bází ui,u2, ■ ■ ■ ,un a lineární zobrazení ip : U -» U s maticí (tp)ata - (aj). Spočítejte An(p(ui A u2 A ■ • • A , f A*), -~, = -te )a (2 4^) a - ■ * (2«í>6 1 H 'Li ' c~ ^ d ^ « W ^ A *o , . A -A «>„ v = \ a.,, ^ % --■ ^* ff') ř'-2) ) = otel A ■ A ■• R je objemová forma taková, že na standardní bázi je Vol(ei A e2 A e3) = 1. Dokažte, že potom (1) Vol(«i A u2 A u3) = ±1 na každé ortonormální bázi. (2) Jestliže od báze v1,v2,v3 přejdeme Grammovým-Scmidtovým algoritmem k ortogonální bázi ui,u2.u3, pak Volfa A v2 A v3) = Volfa A ii2 A ií3). (3) Rovněž determinant Grammovy Schmidtovy matice (vi}Vj)se nezmění. (4) |Volfa /\v2Av3)\ = y/detifavj)). / , . . - / ^- ^ \ / • \ [IM* 0 0 \ Ä 1 4l<( 4cLl Ac^) Al* ^3 ) ( 0 |uj ^ - í duli U J ÍajII 2- 2. - frflať f *>ř - au, io^>) - tufa 12 Příklad 12. Pomocí standardní objemové formy a skalárního součinu v M3 definujte vektorový součin dvou vektorů. Spočítejte u x v pro u = (2,1,3) a i; = (3,1, -2). Jaký je vztah vektoru MXoa vektorů u a v? Jaký je geometrický význam velikosti vektoru u x u? Jaká je orientace trojice u x v, v, u vzhledem ke stantardní bázi? Air f /^-^ ^ \ 4S \ 4-' fr- čí ^ 1 = ^3 = 1^ 4r 0 4^ Ar" 0 /V /ir 0 \ 4i1 ^ ^ 4tb 4rh 4t* ^3 4, 2 1 Ar - i^^r? = votUt^^-o Jut Ar L ť S"*1 ^ AA Y^(Aoi Arf .^^) = <Ĺ^4ŕfAt+*>> =- H