\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def \Z{\mathbb Z}
\def\N{\mathbb N}
\def\K{\mathbb K}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\i{\operatorname{i}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\P{\mathcal P}
\newcommand\myeq{\mathrel{\overset{\makebox[0pt]{\mbox{\normalfont\tiny\sffamily def}}}{=}}}

\begin{document}
 
\parindent=0pt
\begin{center}
{\bf  10. cvičení z M3110 - symetrické a antisymetrické tenzory, orientovaný objem, podzim 2024}
\end{center}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} Nechť $e_i$ je báze $U$ a $f^j$ duální báze.  Spočtěte kontrakci tenzoru
\begin{enumerate}
\item $3\cdot f^1\otimes e_1\otimes e_2-2\cdot
f^2\otimes e_2\otimes e_2$ podle 1. a 2. složky.
\item  $f^2\otimes f^1\otimes e_3\otimes e_1+f^3\otimes f^3
  \otimes e_1\otimes e_2$ podle druhé a čtvrté složky.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad} {\bf 2.} Vypočtěte tenzorový součin různých matic.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.} Nechť stopa čtverové matice je označena $\operatorname{tr} A$.
Vypočtěte $\operatorname{tr} (A\otimes B)$ pomocí $\operatorname{tr} A$
a $\operatorname{tr} B$.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 4.\ } {\bf Symetrická mocnina.} Pro vektorový prostor $U$ dimenze $n$ nad $\K$ napište definici symetrické mocniny $S^q U$ jako kvocientu prostoru $\bigotimes ^q U$.   Jak pomocí báze prostoru $U$ popíšeme bázi $S^qU$ a jaká je dimenze $S^q U$? Tvrzení o dimenzi dokažte.  Zformulujte univerzální vlastnost symetrické mocniny $S^q U$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 5.\ } {\bf Symetrické tenzory} Pomocí grupy permutací $q$ prvků definujte symetrické tenzory 
v $\bigotimes ^q U$. Co platí pro souřadnice symetrických tenzorů? 

Definujte zobrazení symetrizace tenzoru 
$$\operatorname{Sym}: \bigotimes ^q U\to \bigotimes ^q U.$$
V textu k přednášce (kapitola 8) je dokázáno, že obrazem tohoto zobrazení je podprostor symetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. 

Spočítejte symetrizaci tenzoru $t=u_1\otimes u_2-3u_4\otimes u_1\in \bigotimes^2 U$. 
\end{zad}



\bigskip
\begin{zad}{\bf 6.\ }  {\bf Symetrická mocnina a polynomy.} V $(\K^n)^*$ uvažujme duální bázi ke standardní bázi v $K^n$.
Je tvořena formami $x^i$, $x^i(u)$ je $i$-tá souřadnice vektoru $u$ ve standardní bázi. Uvědomte si, že symetrická mocnina $S^q (\K^n)^*$ je prostor homogenních polynomů stupně $q$ v $n$ proměnných $x^1,x^2,\dots,x^n$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 7.\ } {\bf Antisymetrická mocnina.} Pro vektorový prostor $U$ dimenze $n$ nad $\K$ napište definici antisymetrické mocniny $\Lambda^q U$ jako kvocientu prostoru $\bigotimes ^q U$.   Jak pomocí báze prostoru $U$ popíšeme bázi $\Lambda^qU$ a jaká je dimenze $\Lambda^q U$? Tvrzení o dimenzi dokažte.  Zformulujte univerzální vlastnost antisymetrické mocniny $\Lambda^q U$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 8.\ } {\bf Antisymetrické tenzory} Pomocí grupy permutací $q$ prvků definujte antisymetrické tenzory 
v $\bigotimes ^q U$. Co platí pro souřadnice antisymetrických tenzorů? 

Definujte zobrazení antisymetrizace tenzoru 
$$\operatorname{Alt}: \bigotimes ^q U\to \bigotimes ^q U.$$
V textu k přednášce (kapitola 8) je dokázáno, že obrazem tohoto zobrazení je podprostor antisymetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. 

Spočítejte antisymetrizaci tenzoru $t=u_1\otimes u_2\otimes (u_4-7u_1)\in \bigotimes^3 U$. 
\end{zad}
 

\bigskip
\begin{zad}{\bf 9.\ }  Zopakujte si definici antisymetrická mocniny lineárního zobrazení. Uvažujte vektorový prostor $U$ dimenze $n$ s bází $u_1,u_2,\dots,u_n$ a lineární zobrazení $\varphi:U\to U$   s~maticí $(\varphi)_{\alpha,\alpha}=(a^i_j)$.
Spočítejte $\Lambda^n \varphi (u_1\wedge u_2\wedge\dots\wedge u_n)$.
\end{zad}

          
\bigskip
\begin{zad}{\bf 10.\ } Na základě předchozí úlohy dokažte, že pro čtvercové matice platí $\det (AB)=\det A\cdot \det B$.  
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 11.\ } Na $\R^3$  uvažujme standardní skalární součin. Nechť $\operatorname{Vol}:\Lambda^3\R^3\to \R$ je objemová forma taková, že  na standardní bázi je $\Vol(e_1\wedge e_2\wedge e_3)=1$. Dokažte, že potom
\begin{enumerate}
\item $\Vol(u_1\wedge u_2\wedge u_3)=\pm 1$ na každé ortonormální bázi.
\item Jestliže od báze $v_1,v_2,v_3$ přejdeme Grammovým-Schmidtovým algoritmem k ortogonální bázi $u_1,u_2.u_3$,
pak $$\Vol(v_1\wedge v_2\wedge v_3)=\Vol(u_1\wedge u_2\wedge u_3).$$
\item Rovněž determinant Grammovy Schmidtovy matice $\langle v_i,v_j \rangle $ se přechodem k  $\langle u_i,u_j \rangle $ nezmění.
\item $|\Vol (v_1\wedge v_2\wedge v_3)|=\sqrt{\det ( \langle v_i,v_j \rangle)}$.
\end{enumerate}  
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 12.} Pomocí standardní objemové formy a skalárního součinu v $\R^3$ definujte vektorový součin dvou vektorů.
Spočítejte $u\times v$ pro $u=(2,1,3)$ a $v=(3,1,-2)$. Jaký je vztah vektoru $u\times v$ a vektorů $u$ a $v$? Jaký je geometrický význam velikosti vektoru $u\times v$? Jaká je orientace trojice $u\times v, v, u$ vzhledem ke stantardní bázi, jsou-li $u$ a $v$ lineárně nezávislé? 
\end{zad}
\end{document}


