10. cvičení z M3110 - symetrické a antisymetrické tenzory, orientovaný objem,
podzim 2024
Příklad 1. Nechť   je báze U a p duální báze. Spočtěte kontrakci tenzoru
(1) 3 • f1 <g> ei <g> e2 - 2 • J2 <g> e2 <g> e2 podle 1. a 2. složky.
(2) J2 (g) J1 (g) e3 (g) ex + J3 (g) J3 (g) ex <g) e2 podle druhé a čtvrté složky.
Příklad 2. Vypočtěte tenzorový součin různých matic.
Příklad 3. Nechť stopa čtverové matice je označena tr A. Vypočtěte tr(A <g> B) pomocí tr A atrR
Příklad 4. Symetrická mocnina. Pro vektorový prostor U dimenze n nad K napište definici symetrické mocniny SqU jako kvocientu prostoru (£)9 U. Jak pomocí báze prostoru U popíšeme bázi SqU a jaká je dimenze SqU7 Tvrzení o dimenzi dokažte. Zformulujte univerzální vlastnost symetrické mocniny SqU.
Příklad 5. Symetrické tenzory Pomocí grupy permutací q prvků definujte symetrické tenzory v <£)9 U. Co platí pro souřadnice symetrických tenzorů? Definujte zobrazení symetrizace tenzoru
g g Sym:(g)ř/->(g)ř/.
V textu k přednášce (kapitola 8) je dokázáno, že obrazem tohoto zobrazení je podprostor symetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. Spočítejte symetrizaci tenzoru t = ui®u2 — 3w4 (g> uľ G 02 U.
Příklad 6. Symetrická mocnina a polynomy. V (Kn)* uvažujme duální bázi ke standardní bázi v Kn. Je tvořena formami x\ xl{u) je i-tá souřadnice vektoru u ve standardní bázi. Uvědomte si, že symetrická mocnina S^K™)* je prostor homogenních polynomů stupně q v n proměnných x1, x2,..., xn.
Příklad 7. Antisymetrická mocnina. Pro vektorový prostor U dimenze n nad K napište definici antisymetrické mocniny AqU jako kvocientu prostoru 09 U. Jak pomocí báze prostoru U popíšeme bázi AqU a jaká je dimenze AqU7 Tvrzení o dimenzi dokažte. Zformulujte univerzální vlastnost antisymetrické mocniny AqU.
Příklad 8. Antisymetrické tenzory Pomocí grupy permutací q prvků definujte antisymetrické tenzory v (£)9 U. Co platí pro souřadnice antisymetrických tenzorů? Definujte zobrazení antisymetrizace tenzoru
g g Alt:(g)ř/->(g)ř/.
V textu k přednášce (kapitola 8) je dokázáno, že obrazem tohoto zobrazení je podprostor antisymetrických tenzorů a že tento podprostor je izomorfní symetrické mocnině. Spočítejte antisymetrizaci tenzoru t = ui <g> u2
i
Příklad 9. Zopakujte si definici antisymetrická mocniny lineárního zobrazení. Uvažujte vektorový prostor U dimenze n s bází ui,u2,... ,un a lineární zobrazení tp : U —> U s maticí (<f)a,a =       Spočítejte An(^(-ui A u2 A • • • A un).
Příklad 10. Na základě předchozí úlohy dokažte, že pro čtvercové matice platí det(AB) = detA ■ detB.
Příklad 11. Na IR3 uvažujme standardní skalární součin. Nechť Vol : A3IR3 —> IR je objemová forma taková, že na standardní bázi je Vol(ei A e2 A e3) = 1. Dokažte, že potom
(1) Vol(iti A u2 A it3) = ±1 na každé ortonormální bázi.
(2) Jestliže od báze i>i, i>2, ^3 přejdeme Grammovým-Schmidtovým algoritmem k ortogonální bázi ui,u2.u3, pak
Vol(-Ui A v2 A v3) = Vo1(mi A u2 A u3).
(3) Rovněž determinant Grammovy Schmidtovy matice (ví, Vj) se přechodem k (uí, Uj) nezmění.
(4) | Vol^x Av2Av3)\ = v/det((^,^)).
Příklad 12. Pomocí standardní objemové formy a skalárního součinu v IR3 definujte vektorový součin dvou vektorů. Spočítejte u x v pro u = (2,1, 3) a v = (3,1, —2). Jaký je vztah vektoru u x v a vektorů u a ví Jaký je geometrický význam velikosti vektoru u x ví Jaká je orientace trojice u x v, v, u vzhledem ke stantardní bázi, jsou-li u av lineárně nezávislé?