11. cvičení z M3110 - orientace, kvaterniony a Smithův normální tvar, podzim 2024
Příklad 1. Uvažujme uzavřenou lomenou čáru ABC D A, kde
A= [0,1], B= [3,3], C= [5,0], D =[3,5].
Výpočtem, nikoliv z obrázku, rozhodněte,
(1) jaká je orientace lomené čáry,
(2) zda uzavřená lomená čára ohraničuje čtyřúhelník,
(3) pokud ano, zdaje čtyřúhelník konvexní,
(4) které strany čtyřúhelníka jsou vidět z počátku.
Příklad 2. Pomocí vektoru osy a úhlu popište složení S o R rotací
i? okolo (1,-1,1) o úhel +2tt/3,   S okolo (1,1,1) o úhel +tt/3.
Příklad 3. Pomocí vektoru osy a úhlu popište složení S o R rotací
R okolo (1, 0,1) o úhel + tt/2,    S okolo (1, 2,1) o úhel + 2tt/3.
Příklad 4. Určete Smithův normální tvar celočíselné matice
/4	-4	0	16\
0	6	4	0
4	0	4	10
\8	6	-4	
Řešení. Smithův normální tvar je matice s diagonálními prvky 2, 2,4, 280. □
Příklad 5. Abelovská grupa G je dána generátory gi, g2.g%.a relacemi
20i + 4#2 - 8g3 - 10#4 = 0, 40i + 2#2 + 2g3 + 4#4 = 0.
Pomocí Smithova normálního tvaru najděte izomorfismus mezi G a součinem cyklických grup.
Řešení. Generátory grupy G jsou obrazy standardní báze Z4, relace jsou dány obrazem zobrazení Z2 —> lŕ : x \-> Rx, kde
I 2 4\
fí=     4 2
-8 2"
v-10 V
Její SNT je PRQ = S = diag(2, 6). Přitom
/l	0	0	0\
2	-1	0	0
-4	3	1	0
I"5	4	0	v
1
Vezmem-li v Iŕ generátory P 1eí,P 1e2, P 1e$,P 1eA, dostaneme, že
G = Z4/ imR = Z/2 x Z/6 x Z x Z.
Příklad 6. Pomocí S NT ukažte, že Z/15 = Z/3 x Z/5.
Příklad 7. Určete Smithův normální tvar celočíselné matice
/ 2 4-8 -10\
4 2 2 4
4 8 8-8'
\-10 16 4 2 /
SNT je diag(2, 6,12,120).