Příklady pro 8. cvičení a úlohu
(1) Spočtěte souřadnice
(a) t\2 tenzoru t G T2(IR2), jehož souřadnice jsou v bázi (e1; e2) všechny rovny 1, v nové bázi
(ei,e2) = (ei,e2) \
(b) t\2 tenzoru t = f1 <g> f2 <g> (ei + e2) G T^(R2) v nové bázi
'1 ť
(ei,e2) = (ei,e2y ( 2 g
(c) tenzoru f2 <g> J1 <g> e3 <g> ex + J3 <g> f 3 <g> ex <g> e2 G T| (IR3) v nové bázi
/l  0 0N
(ěljěijěi) = (ei,e2,e3)   2   1 0
V3  2 1,
(d) r^23 tenzoru ŕ G T32(IR3) se všemi souřadnicemi rovnými dvěma v bázi (ei, e2, 63) v nové bázi
/l  2 3N
(ěljěijěi) = (ei,e2,e3)   0   1 2
V° 0 i,
(2) Nechť U je vektorový prostor s bazí (e1;e2) a duální bází (Z1,/2). Vyjádřete tenzor (J1 - J2) <g> (ei + 2e2) G T^řJ) v bázi (ě^ě^) a duální bází (Z1,/2), jestliže
JV " V7  2j l/,
(3) Spočtěte kontrakci tenzoru
(a) 3 • f1 (g) ei (g) e2 — 2 • J2 ® e2 ® e2 podle 1. a 2. složky.
(b) (/i-2/3 + 3/4)®(e1 + 3e2-e3)
(c) (f1 + ľ + ŕ + f4) ®ex + (J1 + 2/2 + 2/3 + 4/4) ®e2 + 2(/1-/2-J4) ®e3
(d) f2 (g) J1 (g) e3 (g) ei + f 3 (g) J3 (g) ei (g) e2 podle druhých složek.
(4) Nechť ŕ G T£(U) je tenzor odpovídající lineárnímu zobrazení ip : U —> U. Ukažte, že pro dané u G U je (p(u) G U kontrakcí tenzoru t ®u podle 1. a 2. složky.
(5) Stopa tup lineárníhon zobrazení ip : U —> U je kontrakce tenzoru t G U* (g) f/, který odpovídá lineárnímu zobrazení y?. Spočtěte tuto stopu pomocí složek matice zobrazení ip v bázi a.
l