© R. Plch, P. Šarmanová, 2010
Trojný integrál
Fubiniova věta Transformace I. Transformace II.
		
		
		
		
		
Fubiniova věta za 100.
Převeďte trojný integrál J J J f {x, y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] e R3: x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 5} zvýrazněná na obrázku.
tl.u3d
"5 /   ľh—x /   ľh—x—y
^ J U U f (xiViz) áx^áy^áz I I f0 (f0 (f0 f (x^y^z) áz^áy^áx
"5 /   ľh—x / fh—x—y
f (x, y, z) áz )áy )áx
□
•J L     ^- ^
CH   [([([       f {x^y^z) áx^áy^jáz
'0   VO VO
Fubiniova věta za 200.
Převeďte trojný integrál JJj^ f {x, y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] eť: 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < x2 + + y2 + 1} zvýrazněná na obrázku.
t2.u3d
□
□
•1 /   fl+x /   /-x2+y2 + l
f(x,y,z) áz )áy )áx
'o \Jo \Jo
rl /   rl /   /-^2+y2 + l
)d^
f(x,y,z) áx )áy )áz
'o Vo Vo
□
□
•1 /   rl+x /   r>x2+y2 + l
'o \Jo \Jo
f(x,y,z) áz^jáyjáx
/ (^ž/,*) dz^da^dy
'0   VO V0
Fubiniova věta za 300.
Převed te trojný integrál J J J f (x,y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] e R : x > 0, y > 0, z > 0, 2x + y < < 4, z < 4 - x2} zvýrazněná na obrázku.
t3.u3d
□
□
/  V /    V /      f(x^^z") ^xjáyjáz
ľ2 /   M—2:e / r4—x2
f (x, y, z) áz dy dar
'o Vo
□
□
"4 /   />2a; /   />4—x1
f(x,y,z)áz dy dar
'o Vo Vo
/•2 /   M / r4:—x2
f (x, y, z) áz dy dar
'o Vo Vo
Fubiniova věta za 400.
Převeďte trojný integrál j j j f {x,y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] e R3: x > 0, y > 0, z > 0, x + y < 1, z < < xy} zvýrazněná na obrázku.
t4.u3d
•1 /   pl-x / pxy
^ i U   U ^x,y'^ áz^áy^áx
d   /   ([    (/ f(x^y^z) ^áy^jáz
'0 V0
Transformace I. za 100.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] G R3: x2 + y2 < 9, 0 < y, 0 < z < 2}. Množina A je zobrazena na obrázku.
test6.u3d
□
□
»2tt /   rl / z-2
'0 V0
/•7t   /    />3  / />2
J ráz^jár^j
L U U "k)dr)d"
□
□
((L (L ráz)ár)á*
/>3 /   />2 / /.27t
'o Vo Vo
r d(p^ dz^
dr
Transformace I. za 200.
Jaký integrál vznikne transformací / / / áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: 1 < x2 + y2 < 4, 0 < z < 3, x <
A
< 0, y > O}. Množina A je zobrazena na obrázku.
test8.u3d
Transformace I. za 300.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x,y, z] <E M. : 1 < x + y <4,0<2<3 — y}. Množina A je zobrazena na obrázku.
test5.u3d
□
□
ŕ (ľ27T ( ŕ~v
K U U rdz)dr)d*
ľ2 /   ľ27ľ /   f 3-y
A d/A i
(U U r2d2)drK
□
□
"2-7T /   ^2 /   /"3—r sin tp
'o    Vi Vo
/•27t /   ľ\ / />3—rsintp
'o   Vo Vo
Transformace I. za 400.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: x2 + y2 — y < 0, x2 + y2 > z > O}. Množina A je zobrazena na obrázku.
testl0.u3d
|    |  J       [J   [J r^r^j^Z |    |  J (^J (^J fáz^jár^já(p
0    VO        VO /      / *>U v/sinp
Transformace II. za 100.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: x2 + y2 + z2 < 1, ^Ac2 + y2 < z2}. Množina A je zobrazena na obrázku.
tsfl.u3d
□
□
-2tt / /•!
r2 sin ů ár
'o   Vo Vo
/•£ /   /-27t / />2
r sin-#dr
'o   Vo Vo
áů
□
□
»7t  / z-2
r2 sin-#dr
'o   Vo Vo
ľ^r  /   /-7t / z-2
r sin-#dr
'o   Vo Vi
áů
Transformace II. za 200.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] <E M. : z > x + y ,1 < x + y + z < < 4, z > 0, x > 0}. Množina A je zobrazena na obrázku.
tsf2.u3d
□
□
-2tt / z-2
r sin-#dr
'o   vo Vi
r sin-#dr
)d.)
d# d#
□
□
4  /    ľ 2
r sin-#dr
"2tt / z-2
r2 sin i? dr
'o   vo Vi
)d.)
áů
Transformace II. za 300.
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: x2 + y2 + z2 — z > 0, x2 + y2 + + z2 — 2z < 0, \Jx2 + y2 < z}. Množina A je zobrazena na obrázku.
|    |  J* ^   ^      r2smůdr^dcp^dů Q r2sin#dr^d^)d#
Transformace II. za 400.
Jaký integrál vznikne transformací integrálu
áxáyáz do sférických souřadnic, je-li:
A = {[x, y, z}: x2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 + {z - 2)2 < 4, x > 0} . Množina A je zobrazena na obrázku.
tsf4.u3d
| | J^Jq (^Jq r2smůár^já^áů +      ^jí ^jí r2 sin i? dr^ di?
| | fj^f* (fQ r2smůár^ácp^jdů +      (^J* ^jí r2 sin # dr^) d<^ dtf
| | ^3 ^y*2 ^jí r2smůdr^dcp^jdů +(^J * ^jí      r2 sintfdr^d^dtf
| | J^Q^ r2dr^jdcp^dů + Jj ^jí   ^jf      r2sin#dr^)d^di?