© R. Plch, P. Šarmanová, 2010
Trojný integrál
ABC
A
Jaký integrál vznikne transformací J J J áxáyáz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] £ M. : z > x + y ,1 < x + y + z < < 4, z > 0, x > 0}. Množina A je zobrazena na obrázku.
tsf2.u3d
-2tt / z-2
'0    VO VI
r2 sin i? dr r2 sin i? dr
d# d#
4 / r 2
r2 sin-#dr
"2tt / z-2
r sin-#dr
'o   Vo Vi
y,)
A
Převeďte trojný integrál J J J f (x,y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = + y2 + 1} zvýrazněná na obrázku.
{[x, y, z] e R3: 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < x2 +
t2.u3d
•1 /   pl+x /   px2+y2 + l
f (x, y, z) áz )áy )áx
'o \Jo \Jo
aar
f {x, y, z) áx )áy )áz
•1 /   pl+x /   px2+y2 + l
'0   \J0 \J0
aar
f (x, y, z) ázJáxjáy
A áx\ <
f {x, y, z) áz )áy )áx
A
Převeďte trojný integrál / / / f (x,y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] G R3: x > 0, y > 0, z > 0, x + y < 1, 2; <
< a:?/} zvýrazněná na obrázku.
t4.u3d
•1 /   pl-x / f-xy
f(x,y,z) áz^áy^áx
f1 ( fx ( fxy \ \
J   \J   \J    ^X,y' ^ áz)áy)áx
'0   \J0 \J0
•1 /   px / pxy
L (/ (/ f (x^y^z) áx^áy^áz
rxy /   r-l-x /   ľl \ \
/    ( /     ( J  fix^y^z) dxjáyjáz
'o wo
A
Jaký integrál vznikne transformací j j j áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = { [x, y, z] e R3: 1 < x2 + y2 < 4, 0 < z < 3, x < < 0, y > O}. Množina A je zobrazena na obrázku.
test8.u3d
W2 ( ŕ ( ŕ
r dz ) dr j d(p
'o   Vo Vi
"4 /   /-3 / /*7ľ
r dtp ) dz ) dr
'o Vo Vo
'tt/2
B
Jaký integrál vznikne transformací j j j áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] G R3: x2 + y2 < 9, 0 < y, 0 < z < 2}. Množina A je zobrazena na obrázku.
test6.u3d
•2tt /   rl / z-2
'o   Vo Vo
/•7T  /    />3  / />2
'0   VO VO
r dz j ár j dip J ráz\ár\á(p
((f (íj^M^
B
Převeďte trojný integrál / / / / (x, y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] e R3: x > 0, y > 0, z > 0, 2x + y <
< 4, z < 4 - x2} zvýrazněná na obrázku.
a
t3.u3d
"4 /   p2x /   />4—x2
'0   W0 V0 /•2 /   />4—2:e /   />4—:e2
'0 V0
f(x,y,z) áxjáyjáz f(x,y,z) áz^áy^áx
"4 /   />2a; /   />4—ar
'0   W0 \J0 ľl /   M /   /"4—:e2
'o vo yo
/ (x,y, z) áz^áy^áx f {x, y, z) áz^áy^áx
B
Jaký integrál vznikne transformací / / / áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: 1 < x2 + y2 < 4, 0 < z < 3 - y}.
Množina A je zobrazena na obrázku.
a
test5.u3d
f(f(f f(f(f-v,
r dz^j dr^j dip r2 dz\ dr\ dip
fl'K /   fl /   f 3—r sin tp fl'K /   r>\ /   />3—rsin</p \ \
B
Jaký integrál vznikne transformací j j j dxdydz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: x2 + y2 + z2 < 1, \J x2 + y2 < z2}. Množina A je zobrazena na obrázku.
tsfl.u3d
-2tt / pi
'0    VO VO
'o   Vo Vo
r2 sin i? dr ) d(£ 1 d$ r2 sin i? dr 1 dcc 1 d$
»7T  / />2
'o   Vo Vo
/"í   /    /"7T  / Z-2
'o   Vo Vi
r2 sin$dr )d(£ )d$ r2 sin$dr Idcc )ď#
c
Jaký integrál vznikne transformací j j j áxáyáz do válcových souřadnic, je-li A = {[x, y, z] e R3: x2 + y2 — y < 0, x2 + y2 > z > O}. Množina A je zobrazena na obrázku.
testl0.u3d
c
Převeďte trojný integrál J J J f {x, y, z) áxáyáz na trojnásobný, je-li množina A = {[x, y, z] e R3: x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 5} zvýrazněná na obrázku.
tl.u3d
"5 /   fb—x / rb—x—y
f {x, y, z) áx^áy^áz
L (/ (/ ^x,y,z^ áz^áy^áx
'0   \J0 \J0
"5 /   ľh / ľh
i\dy\<
j yj     yj        f (x,y,z) dzjdyjdx
ŕ í ľ5 í f5~x~y \ \
j   (J  l J f (x,y,z) dxjdyjdz
c
Jaký integrál vznikne transformací / / / áxáyáz do sférických souřadnic, je-li A = {[x, y, z] £ M. : x + y + z — z > 0,x + y +
'a
+ z2 — 2z < 0, \Jx2 + y1 < z}. Množina A je zobrazena na obrázku.
-2-7t / />2cosi9
r2 sin-^dr
'o   Vo Vo
r sin-#dr
)d.)
ŕj /   ŕ2ir / />2cosi9
/   í /    í /        r2 sin ů ár \ ái^> \ áů
'0    V ^0 \Jcosu
j r2 sin i? ár ) d(£ 1 d$
c
Jaký integrál vznikne transformací integrálu
áxdydz do sférických souřadnic, je-li:
A= {[x, y, z] : x2 + y2 + z2 < 4, x2 + y2 + (z - 2)2 < 4, x > 0} . Množina A je zobrazena na obrázku.
tsf4.u3d
'0
r2 sin ů dr^ dep ^ áů + J i^j i^j r2 sin ů dr^j d<p^«
o vo
r2 sin#dr )d<p )d# + /   ( /   ( /  r2sin#dr )d<p )d#
'o   V-§ Vo /    /        J\ V-f \Jo
~*   '   ľTL   ,   ľ2 \        \ ľTL   ,   ľTL   , „4COS0
r2 sin
'o Vo
ů dr^j dip^j dů + J* (^J2 ^ r2 sin í? drj d</^ di? r2dr^d^jdtf + J  (^J   (^J       r2 sin ů dr^j dip^j dů